移動載荷作用下周期性高架橋有限元模型

，，

(1.江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013; 2.東南大學(xué) 成賢學(xué)院，江蘇 南京 200092)

目前，高架橋已經(jīng)成為高速鐵路的一種重要結(jié)構(gòu)形式。在列車移動載荷作用下，高架橋動力響應(yīng)的研究對高架橋的設(shè)計(jì)及維護(hù)有重要意義，因此前人對結(jié)構(gòu)在移動載荷作用下的動力響應(yīng)已開展了大量研究[1-2]。為了便于施工,正常路段的高架橋通常設(shè)計(jì)成等跨距形式,因此，高架橋可以簡化為周期性結(jié)構(gòu)。近年來，隨著理論和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，學(xué)者們在周期性結(jié)構(gòu)對移動載荷的動力響應(yīng)方面開展了一些研究，并建立了求解此類問題的一些半解析及數(shù)值方法。 文獻(xiàn)[3-4]中最早提出了周期支撐的三維軌道模型，彈性半空間上的Euler-Bernoulli梁對移動荷載的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究。 劉維寧等[5]考慮了動力互等定理，對周期軌道結(jié)構(gòu)在半無限彈性空間體上受移動荷載作用的問題進(jìn)行了相應(yīng)研究，通過疊加周期解析計(jì)算出無窮積分。 劉維寧等[6]通過Laplace變換和傳遞矩陣(transfer matrix，TM)法研究了周期支承軌道對移動荷載的動力響應(yīng)。 Chebli等[7]利用系列Fourier變換方法，建立了求解周期性結(jié)構(gòu)對移動載荷的動力響應(yīng)的一種新方法，該方法能將整個周期性結(jié)構(gòu)的求解簡化為求解其中一個單元，大大減少了計(jì)算量。 Sheng等[8]將不平順軌頭的周期設(shè)置成軌枕間距的整數(shù)倍，然后采用Fourier級數(shù)法研究不同數(shù)量的勻速移動荷載下輪道之間的相互作用力。 文獻(xiàn)[9-10]中根據(jù)辛數(shù)學(xué)法研究了周期不平順軌道與車輛的耦合系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。 Lu等[11]利用TM法和系列Fourier變換方法，建立了周期性簡支梁型高架橋的力學(xué)模型，得出周期性高架橋(periodic viaduct，PV)的特征方程以及高架橋?qū)蝹€移動荷載的動力響應(yīng)，對波在某一跨的傳播進(jìn)行分析得出整個周期性高架橋的動力響應(yīng)。

由于文獻(xiàn)[11]中建立的TM法僅適用于均質(zhì)的周期性高架橋結(jié)構(gòu)，對幾何或材料非均質(zhì)的周期性高架橋結(jié)構(gòu)，該法很難應(yīng)用，因此，需要建立計(jì)算PV對移動載荷動力響應(yīng)的有限元模型。為了建立上述有限元模型，本文中首先采用Fourier變換方法，得出移動載荷的頻率波數(shù)域表達(dá)式，利用PV代表性跨的有限元方程，并結(jié)合簡諧荷載作用下PV的周期性條件，可得PV受頻率波數(shù)域內(nèi)單位簡諧荷載作用下的動力響應(yīng)，對PV的頻率波數(shù)域內(nèi)的響應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的Fourier逆變換，即得PV在移動載荷作用下的動力響應(yīng)；基于所建立的有限元模型，給出一些算例。

1 PV的簡化力學(xué)模型

將高架橋簡化為周期性結(jié)構(gòu)，如圖1所示。高架橋每跨只由1個橋墩構(gòu)成，并且橋墩底部均為剛性連接。每跨上部結(jié)構(gòu)由左梁、右梁、梁-梁連接彈簧、左梁-墩連接彈簧和右梁-墩連接彈簧組成。其中3根彈簧和其所連接的左梁、右梁和墩的端部構(gòu)成梁-梁-墩(beam-beam-pier, BBP)接頭。假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)如圖1所示在0跨BBP接頭的中心，左梁、墩和右梁分別用a、b和c表示，梁-梁彈簧、左梁-墩彈簧和右梁-墩彈簧分別用t、l和r表示。

圖1 周期性高架橋受移動載荷作用

本文中將移動載荷簡化為垂直分量和水平分量力，因此圖1就是簡化的PV對移動載荷的動力響應(yīng)的有限元模型。

2 移動載荷作用下PV動力響應(yīng)表達(dá)式

本文中的研究會涉及到時空內(nèi)的Fourier變換。對時域內(nèi)的函數(shù)，其Fourier變換可定義為

(1)

式中：ω為圓頻率；t為時間；上標(biāo)～表示為頻域內(nèi)的變換。對空間域函數(shù)，F(xiàn)ourier變換可定義為

(2)

式中：x為空間變量；k為波數(shù)；上標(biāo)^表示為波數(shù)域內(nèi)的變換。

當(dāng)移動荷載在x軸上以速度v運(yùn)動，其表示為

f(x,t)=f0δ(x-x0-vt),

(3)

式中：δ為狄拉克函數(shù)；f0為移動荷載的幅值；x0為0時刻荷載的坐標(biāo)。對式(3)進(jìn)行時空域Fourier變換，得載荷頻率波數(shù)域內(nèi)的表達(dá)式為

2πf0eikx0δ(kv-ω)。

(4)

(5)

式(5)表明，在移動荷載作用下，PV頻域內(nèi)的響應(yīng)為

(6)

3 單位簡諧荷載作用下PV的動力響應(yīng)

3.1 梁及墩的控制方程

如圖1所示，移動荷載作用下PV的梁和墩發(fā)生軸向振動和彎曲振動。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，梁和墩的彎曲振動和軸向振動的控制方程為

(7)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)線彈性固體模型，構(gòu)件材料的復(fù)模量[12]可表示為

(8)

式中：Eα1和Eα2為標(biāo)準(zhǔn)固體模型的彈性參數(shù)；ηα為黏滯系數(shù)。

3.2 單跨的有限元方程

3.2.1 梁及墩的有限元方程

本文中梁和墩均用兩節(jié)點(diǎn)的單元來離散，任一單元的2個節(jié)點(diǎn)分別用i和j來代表，構(gòu)件α包含Eα個單元和Nα個節(jié)點(diǎn)，Nα=Eα+1。各個構(gòu)件都包含2個端部節(jié)點(diǎn)和Nα-2個內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，下文中接頭節(jié)點(diǎn)表示為3個構(gòu)件連接彈簧的端部節(jié)點(diǎn)，而內(nèi)部節(jié)點(diǎn)表示為I, 其+I(I+)表示為兩梁左(右)端節(jié)點(diǎn)以及墩頂(底)部節(jié)點(diǎn)和其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的集合。

由于梁和墩都會產(chǎn)生軸向彎曲和振動，并且節(jié)點(diǎn)具有3個自由度，因此梁和墩位移向量可表示為

(9)

根據(jù)虛功原理[13]，得出單元有限元方程

(10)

(11)

3.2.2 BBP節(jié)點(diǎn)處的連接條件

(12)

(13)

(14)

(15)

式中T1和T2表達(dá)式見附錄C。同理，墩頂處節(jié)點(diǎn)的集中等效節(jié)點(diǎn)力向量的表達(dá)式為

(16)

(17)

利用式(12)—(14)，方程(15)—(17)可改寫為

(18)

式中彈簧剛度矩陣S表達(dá)式見附錄C。

3.2.3 單跨的有限元方程

(19)

(20)

(21)

在建立的有限元方程中，設(shè)節(jié)點(diǎn)的順序?yàn)樽罅旱娜抗?jié)點(diǎn)、墩節(jié)點(diǎn)(除墩底節(jié)點(diǎn)外)及右梁的全部節(jié)點(diǎn)、墩底節(jié)點(diǎn)。其中梁節(jié)點(diǎn)的編號順序是沿x軸正方向，墩節(jié)點(diǎn)的編號順序是沿z軸正方向。建立整體有限元方程

(22)

式中K和M為PV單跨剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，表達(dá)式見附錄D。將式(18)代入式(22)，得到單跨的有限元方程

(23)

3.3 單位簡諧荷載作用下PV的動力響應(yīng)

將整跨節(jié)點(diǎn)劃分為左節(jié)點(diǎn)、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)、右節(jié)點(diǎn)和底部節(jié)點(diǎn)4個部分，則整跨位移向量可以表示為

(24)

(25)

單位簡諧荷載ei(ωt-kx)作用下，PV的相鄰跨左端的位移和集中力向量之間相位差為e-ikL(L為梁的長度)，則各跨左端和右端的位移和集中力向量有如下關(guān)系：

(26)

(27)

式中λ=e-ikL。

4 驗(yàn)證及算例分析

為了驗(yàn)證本文中建立的有限元模型，材料參數(shù)的選取與文獻(xiàn)[11]中一致。將PV第0跨左截面頻域內(nèi)響應(yīng)與文獻(xiàn)[11]中采用TM法得到的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對比。圖2給出了2種方法所得的移動載荷速度為100、150 m/s時所引起的第0跨左截面頻域內(nèi)剪力。從圖可以看出，2種方法得出的的結(jié)果比較吻合，因此驗(yàn)證了本文中建立的有限元模型。

(a)移動載荷速度為100 m/s時的剪力

(b)移動載荷速度為150 m/s時的剪力圖2 有限元法和傳遞矩陣法所得到計(jì)算跨左截面頻域內(nèi)剪力的比較

本文中PV計(jì)算跨的參數(shù)確定源于文獻(xiàn)[15-19]中選取，如表1所示。PV的梁截面等效為矩形截面，墩截面等效為圓形截面，梁的彈性模量取C30。梁間軌道剛度是根據(jù)軌枕間隙長度確定，支座彈簧剛度是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[20]中橡膠支座剛度確定，且左梁-墩的連接彈簧和右梁-墩的連接彈簧剛度不同，具體數(shù)值見表2。

表1 梁墩的計(jì)算參數(shù)

表2 梁-梁、左梁-墩和右梁-墩的彈簧剛度的取值

在計(jì)算中，PV的左梁、右梁和墩均劃分為100個相同有限單元。由于當(dāng)頻率大于30 Hz時PV的動力響應(yīng)很小，因此本文中只給出了頻域在30 Hz內(nèi)的結(jié)果。 計(jì)算跨取PV的第100跨，當(dāng)移動載荷速度為50 m/s時頻域內(nèi)采12 001個樣點(diǎn)數(shù)，相應(yīng)的時域內(nèi)計(jì)算范圍為0～500 s；當(dāng)速度為100 m/s時頻域內(nèi)采9 001個樣點(diǎn)數(shù)，相應(yīng)的時域計(jì)算范圍為0～300 s。

圖3給出了移動載荷速度為50、100 m/s時計(jì)算跨左端截面頻域內(nèi)的剪力值。從圖中可以看出，速度不同，剪力共振峰的個數(shù)明顯不同，雖然都處在第二通帶內(nèi)，但速度為50 m/s時共振峰的個數(shù)要多于速度為100 m/s時的。圖4給出了移動載荷速度為50、100 m/s時計(jì)算跨左端截面時域內(nèi)的剪力值。結(jié)果表明，荷載的速度對高架橋的時域內(nèi)響應(yīng)有顯著影響，對于速度為50、100 m/s這2種情形，荷載通過計(jì)算截面時，2種情形的剪力值很接近，但是，當(dāng)速度為100 m/s時，剪力衰減較快。此外，速度為50 m/s時高架橋的響應(yīng)幾乎與載荷的到達(dá)時間對稱，但是，當(dāng)速度為100 m/s時，高架橋的響應(yīng)出現(xiàn)類似沖擊波特征，即高架橋在載荷到達(dá)前無明顯的響應(yīng)。

(a)移動載荷速度為50 m/s時頻域內(nèi)的剪力(b)移動載荷速度為100 m/s時頻域內(nèi)的剪力圖3 周期性高架橋在移動載荷速度為50、100 m/s時的剪力頻域響應(yīng)

(a)移動載荷速度為50 m/s時域內(nèi)的剪力(b)移動載荷速度為100 m/s時域內(nèi)的剪力圖4 周期性高架橋在移動載荷速度為50、100 m/s時的時域內(nèi)剪力

5 結(jié)論

本文中提出了一種計(jì)算移動載荷作用下PV動力響應(yīng)的有限元數(shù)值計(jì)算方法。采用Fourier變換將移動載荷作用下PV的動力響應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為頻率波數(shù)域內(nèi)單位簡諧荷載下PV的動力響應(yīng)問題?？紤]梁-梁-墩處的連接條件，建立了PV代表跨的有限元方程，利用Fourier逆變換求得PV在時域內(nèi)的動力響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果與TM方法得出的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文中提出的模型。

1)移動荷載的速度會影響高架橋頻域內(nèi)響應(yīng)的峰值個數(shù)，速度增加，峰值個數(shù)會減少；此外，隨著載荷速度的增加，高架橋時域內(nèi)的響應(yīng)呈現(xiàn)類似沖擊波特征。

2)從本文中的算例可以發(fā)現(xiàn)，有限元法和TM法在運(yùn)用于均質(zhì)等截面梁和墩時結(jié)果一致。實(shí)際上，有限元法比TM法有更好的適用性，還適用于非均質(zhì)、非等截面的周期性高架橋。此外，該模型還可推廣到考慮樁土相互作用的情形下，非均質(zhì)的周期性高架橋?qū)σ苿虞d荷的動力響應(yīng)。

3)雖然本文中提出的有限元模型針對無限周期性高架橋，但在實(shí)際工程中，對跨數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的有限周期性高架橋，也可應(yīng)用此模型來近似地分析其對移動載荷的動力響應(yīng)。