具有雙時滯及Holling II型功能反應(yīng)捕食模型的Hopf分支

，

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

在種群動力學(xué)研究中，時間因素對捕食系統(tǒng)的影響是不容忽視的，并且近年來關(guān)于時間對捕食系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了許多有價值的成果，因此對含時滯項捕食系統(tǒng)的研究很有必要。在捕食模型中，功能反應(yīng)函數(shù)是一個關(guān)鍵性的因素。文獻[1-6]中研究了時滯與功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌模型，文獻[7]中研究了食餌、捕食者2種群模型，文獻[8-10]中對具有延遲的捕食者-獵物系統(tǒng)進行研究，文獻[8]中探討了有時滯項和Holling II型功能反應(yīng)函數(shù)的2種群捕食模型在每個平衡點的穩(wěn)定性和正平衡點處的Hopf分支。本文中考慮到種群的生物學(xué)意義，只對正平衡點處的穩(wěn)定性和Hopf分支進行研究，探討雙時滯3種群之間的捕食模型的正平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性。

1 系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性

基于雙時滯和Holling II型反應(yīng)函數(shù)對種群密度的影響，本文中研究以下具有雙時滯3種群之間的捕食模型，

(1)

式中：x1(t)、x2(t)、x3(t)分別為時間t處的一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種的種群密度；r1為一級食餌的內(nèi)稟增長率；r2和r3分別為二級食餌和捕食者的死亡率；a1為一級食餌相互之間的競爭率；a2為二級食餌捕食一級食餌的營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率；a3和a4分別為捕食者對二級食餌的捕獲率和消化率；m為捕食者的半飽和度；a1、a2、a3、a4、r1、r2、r3、m均為大于0的常數(shù)；τ1為追捕時間；τ2為成熟期。 時滯τ1、τ2基于以下假設(shè)： 捕食者的變化情況取決于在之前一段時間內(nèi)食餌和捕食者的數(shù)量。 假設(shè)x2(t)和x3(t)這2種群有相同的追捕時間τ1和相同的成熟期τ2，根據(jù)生態(tài)學(xué)中種群密度的實際意義，系統(tǒng)(1)定義在三維向量空間+3={(x1,x2,x3)∈3∶x1≥0,x2≥0,x3≥0}上且初值滿足條件

x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))∈C+=

{(-τ,0],+3},x1(t),x2(t),x3(t)>0。

其中C+為定義在定義域為(-τ，0]、值域為+3的連續(xù)函數(shù)的集合，τ為時滯量。

下面討論系統(tǒng)(1)正平衡點處的穩(wěn)定性。

定理1 當系統(tǒng)(1)滿足條件

(2)

其中

證明：如果系統(tǒng)(1)存在平衡點,則應(yīng)滿足

(3)

解(3)可得每個種群密度均不為0的平衡點只有

p1=

q=

λ3+p1λ2+(p2λ+q)e-λτ。

(4)

根據(jù)條件，顯然有p1>0,p2>0,q>0。

當τ=0時，特征方程(4)變?yōu)?/p>

λ3+p1λ2+p2λ+q=0。

(5)

由p1>0,p1p2-q>0，可得

H1∶p1>0，

證明：當τ>0時，假設(shè)特征方程(4)的一個純虛根為λ=iω(ω>0)，則ω滿足

由兩式平方相加可得

qcosωτ)2。

(6)

整理式(6)可得

即

從而得出ω0所對應(yīng)的多個τ0,即

根據(jù)Bulter[12]引理，得證。定理3證畢。

2 Hopf分支的存在性

證明：將λ=λ(τ)代入特征方程(4),有

λ(p2λ+q)e-λτ，

則

顯然

則有

定理4證畢。

3 數(shù)值模擬

下面驗證當τ=0(見圖1)和τ≠0(見圖2、3)時，系統(tǒng)(1)在正平衡點的穩(wěn)定性,并在分支參數(shù)值不同時對系統(tǒng)(1)進行模擬?？紤]系統(tǒng)

經(jīng)計算可得該系統(tǒng)的正平衡點E*(0.65, 1.5, 0.2)，進一步計算可以得出τ0=0.785 4，取τ1=0.3,τ2=0.4時，τ=τ1+τ2=0.7<τ0，則E*(0.65,1.5,0.2)是穩(wěn)定的平衡點(見圖2)；當τ1=0.3,τ2=0.5,即τ=τ1+τ2=0.8>τ0，E*(0.65,1.5,0.2)不具有穩(wěn)定性，可以產(chǎn)生周期解(見圖3)。

(a)x1(t)隨時間的變化(b)x2(t)隨時間的變化(c)x3(t)隨時間的變化(d)解曲線x1(t)、x2(t)、x3(t)—一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種在t時刻的種群密度;τ1—追捕時間;τ2—成熟期;E?—正平衡點。圖1 在τ1=τ2=0條件下E?穩(wěn)定時各分量的變化及解曲線

(a)x1(t)隨時間的變化(b)x2(t)隨時間的變化(c)x3(t)隨時間的變化(d)解曲線x1(t)、x2(t)、x3(t)—一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種在t時刻的種群密度;τ=τ0+τ1—時滯量;τ0—臨界滯量;τ1—追捕時間;τ2—成熟期;E?—正平衡點。圖2 在τ=0.7<τ0,τ1=0.3,τ2=0.4條件下E?穩(wěn)定時各分量變化及解曲線

(a)x1(t)隨時間的變化(b)x2(t)隨時間的變化(c)x3(t)隨時間的變化(d)解曲線x1(t)、x2(t)、x3(t)—一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種在t時刻的種群密度;τ=τ0+τ1—時滯量;τ0—臨界滯量;τ1—追捕時間;τ2—成熟期;E?—正平衡點。圖3 在τ=0.8>τ0,τ1=0.3,τ2=0.5條件下E?不穩(wěn)定時各分量變化及解曲線

4 結(jié)論

本文中討論了一類帶Holling II型功能反應(yīng)的三維捕食系統(tǒng)并且引進了2個時滯項，分析了系統(tǒng)的正平衡點在時滯等于0和不等于0時的穩(wěn)定性。隨著分支數(shù)值的增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，當時滯小于臨界值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當時滯大于臨界值時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，會產(chǎn)生Hopf分支，并產(chǎn)生周期解。在第II類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng)中引入隨機項進行進一步討論是以后的研究方向。