全分離、半分離與不分離
——例談含參問題的求解策略

浙江省杭州市富陽區(qū)二中 馬華明 (郵編：311400)

對于含有參數(shù)的方程有解與不等式恒成立問題，我們通常采取的方法是分離變量或不分離而討論參數(shù)，筆者通過最近的學(xué)習和嘗試，發(fā)現(xiàn)采用“半分離”的方法，解有些題目更加方便.今日撰文盡可能將“全分離、半分離與不分離”都呈現(xiàn)出來與大家共享，并請大家批評指正.

例1 若存在實數(shù)a，對任意的x∈[0,t](t∈Z)，不等式x|x-a|≤x+4恒成立，則整數(shù)t的最大值為______.

法一 (全分離)x=0時，顯然成立；

所以整數(shù)t的最大值為6.

法二 (半分離)x=0時，顯然成立；

法三 (不分離)要使x∈[0,t](t∈Z)時，x|x-a|≤x+4恒成立，顯然，a>0時，t更大.由圖知，當直線y=x+4與y=-x(x-a)相切時，t最大且t是方程x(x-a)=x+4的大根，解得

所以t的最大值為6.

法二 (半分離)

顯然a≤0時，g(x)、h(x)無兩交點，所以a>0；

當g(x)、h(x)有唯一公共點時，在此公共點有公切線，

設(shè)公共點為(x0,y0)，則

法三 (不分離)

當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在定義域上最多一個零點，不合題意，舍去.

小結(jié) 從以上兩例可以看出，“半分離”較之“不分離”避免了參數(shù)討論，較之“全分離”又有函數(shù)簡單的優(yōu)點，在教學(xué)實踐中，學(xué)生普遍喜歡“半分離”的方法.“半分離”就是把原來含參又復(fù)雜的函數(shù)分解成一邊有參一邊無參的兩個簡單易確定、易作圖的函數(shù)，再根據(jù)題意和圖象來尋找答案的方法.

再看下面幾道考題，也能發(fā)現(xiàn)“半分離”簡單易懂.

例3 (浙江省2017年11月學(xué)考21題)若不等式|2x-a|+|x+1|≥1的解集為R，則實數(shù)a的范圍是__________.

法一 (全分離)原不等式可化為，對任意實數(shù)x有

a≤2x+|x+1|-1或a≥2x-|x+1|+1，由圖知，a≤-4,a≥0.

法二 (半分離)|2x-a|+|x+1|≥1?|2x-a|≥1-|x+1|.

例4 (2018年4月浙江學(xué)考22題)若不等式2x2-(x-a)|x-a|-2≥0對于任意x∈R 恒成立，則實數(shù)a的最小值是______.

解 (半分離)原不等式化為2x2-2≥(x-a)·|x-a|

例5 (2017年4月學(xué)考25)已知函數(shù)f(x)=3|x-a|+|ax-1|,其中a∈R.

(1)當a=1時,寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)為偶函數(shù),求實數(shù)a的值;

(3)若對任意的實數(shù)x∈3〗,不等式f(x)≥3x|x-a|恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解 (1)(2)略.

(3)由題意知,對任意的實數(shù)x∈3〗,不等式|ax-1|≥(3x-3)|x-a|恒成立.

顯然,當實數(shù)x∈1〗時,不等式|ax-1|≥(3x-3)|x-a|恒成立,

所以只需考慮不等式|ax-1|≥(3x-3)|x-a|對實數(shù)x∈恒成立.

全分離太煩.

法二 (不分離)ax-1≥(3x-3)|x-a|，分別畫出兩邊的函數(shù)圖象知，

例6 討論關(guān)于x的方程2lnx=x3-2ex2+tx根的個數(shù).

法一(全分離)

因x-e與lnx-lne同號,所以x≤e，

f(x)在(0,e)上單增,在(e,+∞)上單減.

且當x→0時,f(x)→-∞,當x→+∞時,f(x)→-∞.

法二 (半分離)

易得g(x)在(0,e)上單增,在(e,+∞)上單減,且當x→0時,g(x)→-∞ ；

當x→+∞時,

又h(x)是二次函數(shù),開口向上,對稱軸為x=e,h(x)min=h(e)=t-e2.如圖所示:

例7 已知a>0，函數(shù)f(x)=|x2+|x-a|-3|在區(qū)間[-1,1]上的最大值為2，則a=______.

解 (兩重絕對值要脫去太難，因此轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再半分離)

即x∈[-1,1]時，|x2+|x-a|-3|≤2恒成立(等號要取)，

所以-2≤x2+|x-a|-3≤2?1-x2≤|x-a|≤5-x2.