對2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ第16題的賞析

新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 李昌成 車燕昭 (郵編：830002)

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一……數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用.

考試大綱指出：高考對能力的考查，強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，就是以數(shù)學(xué)知識為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料.

現(xiàn)在的高考題正在積極落實(shí)新課標(biāo)和考試大綱精神，每年都會(huì)命制一些凸顯能力立意的試題，增加試卷的區(qū)分度，以選拔優(yōu)秀人才.2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ第16題就是一個(gè)典型例子.

1 試題呈現(xiàn)

題目 已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是______.

2 分析解答

解法1f′(x)=2cosx+2cos2x，由f′(x)=0，得2cos2x+cosx-1=0，解得

解法2 由于y=2sinx的最小正周期為2π，y=sin2x的最小正周期為π，由最小公倍數(shù)法知，f(x)的最小正周期為2π.下面給出證明：

f(x+2π)=2sin(x+2π)+sin2(x+2π)=2sinx+sin(2x+4π)=2sinx+sin2x=f(x)，所以本函數(shù)的最小正周期為T=2π.

所以T為f(x)+h(x)的一個(gè)周期.可以類似證明差、積、商情形.

下面在(0，2π)內(nèi)研究本函數(shù)：

分析3 本題基本背景是三角函數(shù)，那么對于角的處理極為重要.本題中可以考慮用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，二倍角，擴(kuò)角降冪等知識處理函數(shù)，從解法2可以發(fā)現(xiàn)最后的函數(shù)形式還是稍微有些復(fù)雜.我們可以再做角的文章，以期簡化函數(shù)，方便解答.

評注 從以上解法探究可以發(fā)現(xiàn)，本題以三角函數(shù)為背景，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，綜合考查了三角和導(dǎo)數(shù)的知識和技能，對學(xué)生的能力要求還是較高的.學(xué)生若死盯著三角函數(shù)，僅依靠三角函數(shù)的知識、方法，甚至是技巧都是無濟(jì)于事的.這正是本題命題意圖，希望學(xué)生有扎實(shí)的功底，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，縝密的思維等能力.對于靠刷題應(yīng)對高考的學(xué)生而言，此題顯得舉步維艱.本題若變形成：“已知函數(shù)f(x)=2sinxsin2x，則f(x)的最小值是____.”學(xué)生感覺就會(huì)舒坦多了，因?yàn)檫@兩題具有異曲同工之妙.但是，能力就體現(xiàn)在創(chuàng)新之中.

3 立意分析

能力立意的高考命題，強(qiáng)調(diào)向能力測量轉(zhuǎn)變，考查學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，本題在能力立意方面非同一般，在親切平和中默默綻放.

應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識強(qiáng)烈.學(xué)生猛然一看，并不可怕，題面就是再常見不過的三角函數(shù)，經(jīng)過命題專家精心處理，題目脫去老套和俗氣.學(xué)生就三角論三角沒有出路，必須開拓思路，借助導(dǎo)數(shù)或基本不等式強(qiáng)大功能，方可推進(jìn)解答.這是一種創(chuàng)新，也是一種應(yīng)用，更是能力提升，知識融合.

邏輯思維能力凸顯.從三角函數(shù)入手，抽絲剝繭，周期性縮小思考面；數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)分類討論；三角公式的選擇構(gòu)造不同的函數(shù)；導(dǎo)數(shù)最終完美收官；奇偶性的巧妙應(yīng)用；多項(xiàng)均值不等式的構(gòu)造.這一系列動(dòng)作的主線就是邏輯思維的考查.

運(yùn)算能力貫穿其中.無論哪一種辦法均離不開對應(yīng)的運(yùn)算，本題有三角運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算等諸多運(yùn)算，每一步若出錯(cuò)都不會(huì)露出任何蛛絲馬跡，最終讓學(xué)生勞而無功.尤其是最值部分的運(yùn)算，要么次數(shù)較高，要么夾雜概念，都是對學(xué)生的運(yùn)算考驗(yàn).

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生基本的技能技巧，更要在培養(yǎng)能力上下工夫，切勿讓題海戰(zhàn)術(shù)耽誤了學(xué)生的青春時(shí)光.思維的訓(xùn)練，能力的培養(yǎng)都是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的必經(jīng)之路.