關(guān)于正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)教學的幾點思考

上海市嶺南中學 劉華為 (郵編：200435)

1 關(guān)于四種典型教材不同處理方式的思考

筆者認真研讀了人教版、北師大版、華師大版和上教版教材，對比各版本不同的處理方式，真切地感受到編者在進度安排、內(nèi)容取舍和細節(jié)處理等方面的精心雕琢與匠心獨運，也對三個函數(shù)的教學有了全面的理解和深度的思考．

從進度安排上來看，人教版教材把正比例函數(shù)和一次函數(shù)的教學安排在八年級《數(shù)學》下冊(第19章“一次函數(shù)”)，反比例函數(shù)安排在九年級《數(shù)學》下冊(第26章“反比例函數(shù)”)學習，期間還穿插學習了二次函數(shù)；北師大版教材把正比例函數(shù)和一次函數(shù)的教學安排在八年級《數(shù)學》上冊(第4章“一次函數(shù)”)，反比例函數(shù)安排在九年級《數(shù)學》上冊(第6章“反比例函數(shù)”)學習；華師大版教材則把這三個函數(shù)的教學均安排在八年級《數(shù)學》下冊(第17章“函數(shù)及其圖象”)；上教版教材把正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的教學安排在八年級《數(shù)學》下冊(第18章“正比例函數(shù)和反比例函數(shù)”)，一次函數(shù)則安排在八年級《數(shù)學》下冊(第20章“一次函數(shù)”)學習．單就進度安排而言，筆者更欣賞華師大版教材把三個函數(shù)安排在同一章節(jié)的處理策略，減少了由于跨時段學習引起的知識遺忘而造成的長時間舊知復(fù)習環(huán)節(jié)，既突出三者之間的關(guān)聯(lián)性，又使教學一氣呵成，更有利于知識遷移和新知的有效生成；人教版教材把二次函數(shù)的學習放在反比例函數(shù)之前，使學生對函數(shù)圖象有了直線和拋物線兩種認識，為畫反比例函數(shù)圖象時需用光滑曲線連接相鄰兩點埋下了伏筆，降低了難度．特別是從函數(shù)解析式的特征來看，沿襲了從整式到分式的學習習慣，尊循了認知規(guī)律，注重了學情發(fā)展；上教版教材把反比例函數(shù)教學穿插在正比例函數(shù)和一次函數(shù)之間，意在突出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在認知方式的相似度和性質(zhì)學習的對比度，雖有一定的創(chuàng)新，但卻有違認知規(guī)律之嫌，畢竟從正比例函數(shù)到一次函數(shù)的遷移更自然，兩者聯(lián)系也更緊密，尤其學生在掌握一次函數(shù)圖象也是一條直線后，更易理解畫反比例函數(shù)圖象時為什么相鄰兩點之間需用光滑曲線連接(后文將詳細闡述)；相比較而言，北師大版教材卻顯得中規(guī)中矩，沿襲了傳統(tǒng)的進度安排，自然也就缺少了創(chuàng)新味．

從內(nèi)容取舍來看，單就性質(zhì)而言，相同的是上述四個版本教材均把函數(shù)的單調(diào)性和反比例函數(shù)所在的象限與k的符號關(guān)系作為教學重點，無論是新知生成還是性質(zhì)應(yīng)用都作了精心安排，以突出其重要性．不同的是，對于“正比例函數(shù)圖象與比例系數(shù)k的符號關(guān)系”和“一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限與k和b的符號關(guān)系”，上教版教材均把二者歸納為性質(zhì)，并作為教學重點以突顯其重要地位；人教版教材只把前者作為性質(zhì)，至于后者則通過一道習題(配套教材99頁第12題)引導學生自我歸納整理，重要性自然也就打了折扣；而北師大版教材和華師大版教材對二者均淡化處理，不僅沒有作為性質(zhì)，而且只是通過一道習題(分別見北師大版配套教材第99頁第8題和華師大版配套教材習題17.5第1題)對其中一兩種情形偶有涉及，學生能否全面掌握要取決于教師對教材的處理能力和學生的感悟與遷移能力，其重要性自然也就更加遜色了．那么學生掌握這兩個性質(zhì)究竟有沒有積極意義呢？首先有助于學生對函數(shù)單調(diào)性的理解與認識．試設(shè)想一下：當k>0時學生腦海里浮現(xiàn)一次函數(shù)的圖象必經(jīng)過第三、第一象限，并自左至右逐漸上升，那自然就能理解函數(shù)值y是隨著x的增大而增大了；其次有利于對函數(shù)及其圖象的全面認識．眾所周知，研究圖形主要包括形狀、大小和位置，對于函數(shù)圖象當然也不例外，更何況讓學生了解k決定一次函數(shù)圖象的形狀(即變化趨勢)且b決定圖象的位置，還為高中學習直線的斜率與截距奠定了堅實的基礎(chǔ)；最后有利于學生能力的發(fā)展．在探究圖象位置與k和b的符號關(guān)系時，對培養(yǎng)學生觀察能力、分析能力和歸納能力都大有裨益，特別是關(guān)于“若直線y=kx+b不經(jīng)過第一象限試確定k與b的取值范圍”這類逆向思考的問題，無疑就是訓練學生思維嚴謹性的絕好素材．更何況增加這兩個性質(zhì)的學習并未過重增加學生的負擔，反而為解決類似問題提供了知識基礎(chǔ)、思路引領(lǐng)和方法指導，實乃有利無害也！

從細節(jié)處理來看，人教版教材關(guān)于性質(zhì)“k>0時正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第三、第一象限”的表述就比上教版教材的“k>0時正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、第三象限”的表述更為精妙與科學，雖然有違數(shù)字從小到大的表達習慣，但卻與“圖象從左至右逐漸上升”及“y隨著x的增大而增大”性質(zhì)中關(guān)于x的變化趨勢的表述高度吻合，便于學生理解與掌握性質(zhì)；北師大版教材非常注重知識生成過程的精心設(shè)計，每條性質(zhì)的形成都要經(jīng)過“做一做”“想一想”和“議一議”等環(huán)節(jié)，讓學生在動手操作、獨立思考、相互討論和歸納完善后才逐步掌握．換言之，學生是性質(zhì)的建構(gòu)者，全程參與了知識的生成過程，自然對性質(zhì)的理解與應(yīng)用也就更加得心應(yīng)手；華師大版教材在注重知識生成過程的同時還更加注重生本互動環(huán)節(jié)的精心設(shè)計，每條性質(zhì)都沒有直接顯現(xiàn)在教材中，而需要填寫關(guān)鍵詞甚至關(guān)鍵句．這就有效避免了只重結(jié)果的走馬觀花式教材閱讀方式，促成學生要想得到性質(zhì)就必需完成教材設(shè)計的探究過程．特別是，學生獨立思考總結(jié)的性質(zhì)未必科學與完善，但經(jīng)歷與教師提供的標準答案對比反思后，必然能強化思維的嚴謹性和語言的規(guī)范性，從而提升歸納整理能力，可謂一舉多得也．

基于以上分析，筆者依托所執(zhí)教的上教版教材涵蓋內(nèi)容最為全面的特征，優(yōu)化整合其他版本教材的科學處理方式，圍繞“圖象所經(jīng)過象限與k和b的符號關(guān)系——單調(diào)性——平行性(兩個一次函數(shù)圖象的位置關(guān)系)——直線的傾斜度(或反比例函數(shù)圖象與兩坐標軸的趨近度)與k的絕對值的大小關(guān)系”等性質(zhì)，大膽設(shè)計出“正比例函數(shù)——一次函數(shù)——反比例函數(shù)”的一體化教學流程，采用“做一做——想一想——議一議”的互動式學習模式，以促進學生在參與性質(zhì)建構(gòu)的過程中認識性質(zhì)理解性質(zhì)用好性質(zhì)，也取得了不錯的效果，但究竟是否科學還有待專家進一步指正．不過，身為一線教師當然更加期待能有一套能集眾家之長的完善教材為己所用，以求在教學實施中水平自然上升到一定的高度，從而大大提高課堂效率，造福學生，畢竟個人對教材的研究水平和處理能力皆十分有限．

2 關(guān)于課堂教學熱點的思考

2.1 由實際問題引入真的那么重要么？

據(jù)筆者調(diào)研，皆由實際問題引入三個函數(shù)的概念是所有教材(不僅局限于本文所涉及的四種教材)的共同處理方式，也是廣大同仁的統(tǒng)一授課模式，變化僅局限于所選取的背景材料不同而已．不過2017年5月8日在黃山市舉行的以“創(chuàng)新”為主題的第三屆全國名師展示課活動中，筆者所執(zhí)教的“一次函數(shù)(第一課時)”卻從平移入手，借寫出由正比例函數(shù)y=kx的圖象向上和向下平移后所對應(yīng)的函數(shù)解析式引入一次函數(shù)的概念(詳細過程請參考文)，以突出了兩個函數(shù)間的本質(zhì)聯(lián)系，促成由正比例函數(shù)到一次函數(shù)各性質(zhì)的縱向遷移，體現(xiàn)了由舊知到新知的遞進式發(fā)展模式(而教材均由實際問題引入?yún)s是一種獨立的平行關(guān)系，未能很好地反映兩個函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系)，創(chuàng)新味濃厚，也得到了觀摩老師和與會專家裴光亞教授的充分肯定(見文)．

但筆者在參加區(qū)職稱評審時，同樣的設(shè)計卻受到某位評委的“質(zhì)疑”：如此設(shè)計難道不會給學生造成一次函數(shù)是由正比例函數(shù)圖象平移而來的誤解嗎？該專家指出一次函數(shù)就是來源于實際生活，課堂教學務(wù)必要尊重教材的處理方式，切不可隨意設(shè)計．且不說一次函數(shù)是否一定由實際問題衍生而來，單就學生的認知方式而言可謂是豐富多彩千變?nèi)f化，完全沒有必要被“數(shù)學來源于生活又服務(wù)于生活”的理念套死，更何況形式是為內(nèi)容服務(wù)的，無論一次函數(shù)是來源于生活提煉也好，還是來源于舊知遷移也罷，只要教學設(shè)計能引導學生主動參與建構(gòu)，凸顯知識間的本質(zhì)聯(lián)系，便于理解、掌握與運用新知，推動能力的發(fā)展，就不失為一種成功的創(chuàng)新設(shè)計，完全不必刻意追究其源于何處成于何方．否則，就有固步自封甚至舍本逐末之嫌了，畢竟教材是用來用的而不是用來套的．

2.2 僅觀察圖象是否為學生獲取性質(zhì)的完善方式？

毫無疑問，先描點畫出函數(shù)圖象，再通過觀察圖象得出函數(shù)相關(guān)性質(zhì)是初中生學習函數(shù)的主要認知方式，意在借助形的直觀性強化學生對函數(shù)性質(zhì)的認識與理解，以突出數(shù)形結(jié)合思想，特別是用形研究數(shù)的優(yōu)越性．但筆者在教學實施中發(fā)現(xiàn)一個奇怪的現(xiàn)象：總有學生在運用性質(zhì)處理問題時犯了“反用”的低級錯誤(如對于正比例函數(shù)y=kx而言，常把k<0與k>0的結(jié)果相混淆)，雖然經(jīng)過大量習題反復(fù)操練后似乎達到熟能生“巧”了，但隨著時間的推移這類錯誤往往又會在部分學生中死灰復(fù)燃．

那么這類錯誤形成的根源究竟何在？解決問題的突破口又在哪里？筆者經(jīng)過大量的調(diào)研后發(fā)現(xiàn)，其根本原因在于學生對兩個函數(shù)性質(zhì)的學習只關(guān)注了記憶沒有注重理解，這當然與教師對圖象與性質(zhì)的教學方式密不可分．首先，通過觀察圖象得出性質(zhì)就是一種典型的記憶性學習，只不過突出了直觀性，便于加深印象而已；其次，教師的口訣式教學也對記憶性教學有推波助瀾之效．如口訣“撇大捺小吃定k、上正下負鎖死b；增大增大線為撇、增大減小線為捺(意思是指：直線為撇k為正，直線為捺k為負；直線與y軸交點在x軸上方時b>0，直線與y軸交點在x軸下方時b<0；函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大直線為撇，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小直線為捺)”雖然言簡意賅生動形象，但只加深記憶，根本無助于學生對性質(zhì)的理解；最后，大量重復(fù)操練的配套習題也只是發(fā)揮培養(yǎng)熟練工的“特”效，本質(zhì)上還在加強記憶，無法真正期待由量變引起質(zhì)變．總之，這些強化記憶性的教學策略，無論怎么挖掘抑或創(chuàng)新，都不能加深學生對性質(zhì)的理解，一旦出現(xiàn)記憶紊亂，即使面對經(jīng)過一三象限的一次函數(shù)圖象學生也想不起k>0了．

那么如何才能加深學生對性質(zhì)的理解呢？筆者的體會是對函數(shù)性質(zhì)教學切忌過于依賴形的直觀而忽視對數(shù)的分析，務(wù)必要加強“以式析性”(即根據(jù)解析式剖析性質(zhì)的理論依據(jù))研討，引導學生不僅經(jīng)歷“由形到數(shù)”的觀察，還體會“由數(shù)到形”的演繹，才能成“數(shù)形結(jié)合”兩全之美也(“數(shù)無形少直觀，形無數(shù)難入微”)．具體地說，如對于正比例函數(shù)y=kx而言，由圖象得出“當k>0時圖象經(jīng)過第三、第一象限和y隨著x的增大而增大”后，再從數(shù)的角度深入分析，引導學生理解：正是由于k>0，所以y與x同正同負，對應(yīng)點的橫縱坐標同號，因此圖象必然經(jīng)過三一象限；同樣正是由于k>0，當x1

2.3 畫反比例函數(shù)圖象的切入點究竟在哪里？

眾所周知，用描點法畫反比例函數(shù)圖象是教學的一大難點，基于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)性，課堂教學往往通過回顧用描點法畫正比例函數(shù)圖象的基本步驟，引導學生仿畫反比例函數(shù)圖象．遺憾的是，學生畫出的反比例函數(shù)圖象往往錯誤百出，如光滑曲線變成折線、兩支變一支、圖象與坐標軸相交和圖象在無限趨近兩坐標軸時突然轉(zhuǎn)向等．而造成上述錯誤的“罪魁禍首”正是教師所設(shè)計的由畫正比例函數(shù)向畫反比例函數(shù)圖象遷移情境，由于兩個圖象差異較大(形狀由直到曲、數(shù)量由一條到兩支、與坐標軸交點從有到無等)，根本無法直接遷移，學生依葫蘆畫瓢，出錯自然也就在所難免了．

對照問題3，可放手讓學生自己分析歸納，再次體驗“由式想形”的過程，逐步歸納出：當x逐漸減小時y的值逐漸增大，且越來越接近于0但始終小于0，所以圖象越來越接近于x軸(但始終在x軸的下方)且向左無限延伸；當x值越來越接近于0(始終小于0)時，y的值越來越小，所以圖象越來越接近于y軸(但始終在y軸的左側(cè))且向下無限延伸．

2.4 學生錯把反比例函數(shù)圖象畫出折線的根源在何處？

描點法畫反比例函數(shù)圖象時，學生常常把相鄰兩點用線段連接(即把圖象畫成折線)．針對這一現(xiàn)象一般認為是學生缺少由直線到曲線的必要遷移經(jīng)驗所致，即在畫反比例函數(shù)圖象之前，學生只畫了直線型的一次函數(shù)圖象，因而不可能想到要用光滑的曲線連接．不過筆者對此卻有不同的思考，認為缺乏對一次函數(shù)(含正比例函數(shù))圖象的深度解讀才是學生犯錯的根本原因之所在．如果在學習一次函數(shù)時不只是讓學生掌握一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，而且還了解常函數(shù)y=b的圖象是一條平行于x軸的直線、x=a表示的是一條垂直于x軸的直線；反之，平面直角坐標系內(nèi)任一條不平行于坐標軸的直線對應(yīng)的解析式只能是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，平行于x軸的直線的解析式只能為常函數(shù)y=b，垂直于x軸的直線只能表示為直線x=a，且線段和射線的表達式也只能是這三者之一，不同的是變量的取值范圍不再是一切實數(shù)，而是其一部分．有此鋪墊，學生在畫反比例函數(shù)圖象時，至少相鄰兩點不可能再用線段(或折線)連接了(也正因為如此，上教版教材把一次函數(shù)的教學安排在反比例函數(shù)學習之后就略顯不妥)．至于為什么一定要用光滑曲線，不妨作如下解讀：由橫坐標x的從小到大(或從大到小)依次取值排除了左右起伏的波浪線(其實，這種圖形也不可能作為函數(shù)圖象，否則一個x值對應(yīng)多個y值，與函數(shù)的定義相矛盾)，而根據(jù)函數(shù)值y隨著x的增大而減小(或增大)又可排除上下起伏的波浪線，故而只能用含一定變化趨勢的光滑曲線連接了．

2.5 “由式想形”畫圖象是否有違學生的認知規(guī)律？

有同仁擔心：常規(guī)的處理策略(即教材的處理方式)是引導學生先用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象，再觀察圖象得性質(zhì)，而“由式想形”的處理策略卻是先依據(jù)解析式得出性質(zhì)再畫圖象，是否違背了學生的認知規(guī)律？其實這就是“由形到數(shù)”和“由數(shù)到形”的問題，而這是“數(shù)形結(jié)合”的兩個方面，都是學生的認知方式，并沒有違背認知規(guī)律之嫌．更何況著名數(shù)學家華羅庚教授強調(diào)“數(shù)無形少直觀”且“形無數(shù)難入微”，只有把兩者有機地融合才是完善的認知方式．但問題在于“先形后數(shù)”時，由于學生缺乏必要的作圖經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，無法獨立畫出圖象(除非事先知道形狀)，只能依賴教師逐步糾錯“引導”，強加味濃厚，可信度卻淡了不少．大有明知不可為卻偏為之的悲壯，意在讓學生體驗作圖的操作過程，獲得的卻是錯誤百出的尷尬．而且由于受前攝抑制的影響，這些先入為主的錯誤往往會對學生后續(xù)學習造成不少負遷移．而“先數(shù)后形”卻不同，學生不僅易于接受由解析式剖析性質(zhì)的切入點，還能獲得描點法正確作圖的成就感，最后體驗由圖形觀察性質(zhì)的直觀感受，豈不兩全齊美？特別是“由式想形”的處理策略有利于培養(yǎng)學生“先理性分析再動手操作”的良好思維習慣和處事習慣，對其后續(xù)發(fā)展更有深遠的意義．更何況，先畫圖再糾錯是強塞，而“由式想形”則基于理解，熟優(yōu)熟劣一目了然．

當然，關(guān)于課堂教學的思考可謂“仁者見仁智者見智”，也很難有個統(tǒng)一標準或完美的答案．但不管怎樣，加強對不同版本教材和相關(guān)論文的研究，集百家教研成果之精華，并結(jié)合教學實踐大膽探索與反思，在基于知識理解和能力之上積極尋求突出重點的設(shè)計和突破難點的對策，不斷提高課堂效率，也許是每一位執(zhí)教者走向成熟并不斷提升的有效途徑．