基于ShiShkin網(wǎng)格奇異攝動兩點邊值問題的有限法及其計算有效性

池岸楓 熊之光 王易

摘要：本文針對一類奇異攝動兩點邊值問題，討論了基于ShiShkin網(wǎng)格的有限元法及其收斂性，并通過數(shù)值例子驗證了有限元法計算有效性。

關(guān)鍵詞：奇異攝動，兩點邊值問題，ShiShkin網(wǎng)格，有限元法

1.前言

近年來，許多從事微分方程的研究者越來越關(guān)注于最高階導(dǎo)數(shù)前含有小參數(shù)的微分方程。在自動控制理論、非線性振動理論、量子力學(xué)、氣體動力學(xué)和一般動力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展中，都會遇到這一類含有小參數(shù)的微分方程定解問題。對于線性奇異攝動兩點邊值問題：

（1）

其中ε是很小的正參數(shù)0<ε≤1。假設(shè)在[a，b]上p（x），q（x），f（x）是充分光滑函數(shù)。對于奇異攝動兩點邊值問題，因小參數(shù)會產(chǎn)生邊界層，普通的數(shù)值方法在均勻網(wǎng)格上很難得到理想的數(shù)值解。為了得到奇異攝動問題穩(wěn)定可靠的數(shù)值解，有必要在其邊界層區(qū)域放置比邊界層外區(qū)域的更多的網(wǎng)格點，以適應(yīng)問題的奇異攝動特性。我們采用分段統(tǒng)一的ShiShkin網(wǎng)格來解決邊界層問題。本文將基于這樣的Shishkin網(wǎng)格Jh[1-2]，采用有限元法對問題（1）進(jìn)行求解。

2 有限元方法及其格式及其

我們定義Sobolev空間H10（I），I=[a，b]為：

則等式（1）的弱形式是：尋找y（x）∈H10（I）滿足

（2）

對任意v（x）∈H10（I）成立。在區(qū)間I對應(yīng)的ShiShkin網(wǎng)格Jh上定義有限元空間

其中Pm（Ij）表示在Ij=[xj-1，xj]上所有階數(shù)≤m的單變量多項式構(gòu)成的空間。（2）對應(yīng)的m次有限元yh∈Sh滿足

（3）

對任意v（x）∈Sh成立。

設(shè)對應(yīng)Shishkin網(wǎng)格Jh有限元空間基函數(shù)為φi（x），i=1，2，…，n，則

（4）

將（4）的表達(dá)式代入（5），并且v（x）取為φi（x），i=1，2，…，n，我們就可以得到

（5）

我們對線性問題（1）的有限元方法的研究得到了如下的結(jié)論[3-4]：

定理1yh∈Sh是方程（3）的m次有限元解，在ShiShkin網(wǎng)格Jh的所有節(jié)點上

（6）

3 數(shù)值例子與計算有效性

本小節(jié)給出一個數(shù)值例子，通過該數(shù)值例子討論有限元法的有效性。

例1考慮如下奇異攝動兩點邊值問題（這是左邊界層問題，見文獻(xiàn)[5]中的例題3.1）。

（7）

其精確解為

微分方程（3.15）中p（x）=-1，q（x）=1，f（x）=-1對應(yīng)的有限元格式為，尋求yh∈S0h使得

對于不同的小參數(shù)和剖分?jǐn)?shù)N，當(dāng)λ=2時，我們基于Shishkin網(wǎng)格分別計算了問題（7）的一次元，二次元和三次元，表1和表2分別給出了ε=0.001，ε=0.01及剖分?jǐn)?shù)為N=1000時，在9個點上的一次元，二次元和三次元誤差。表3給出了不同ε中一次元和二次元在剖分?jǐn)?shù)N成倍增長時誤差及誤差比。

從表1-表3可看出在基于Shishkin網(wǎng)格下用有限元求解奇異攝動兩點邊值問題是有效的。有限元的精度不僅與剖分密度有關(guān)，也與有限元的次數(shù)有關(guān)。即當(dāng)剖分密度越大，有限元次數(shù)越高，則有限元精度越高。

參考文獻(xiàn)：

[1]M.K.Kadalbajoo and D.Kumar，A computational method for singularly perturbed nonlinear differential-difference equations with small shift，Appl. Math.Model.34（2010），2584-2596.

[2]Ram KishumLodhi and Hradyesh Kumar Mishra，Quintic B-spline method for solving second order linear and nonlinear singularly perturbed two-point boundary value problems， Journal of Computational and Applied Mathematics，319 （2017），170-187.

[3]陳傳淼.有限元超收斂構(gòu)造理論[M].湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

[4]陳傳淼，黃云清，有限元高精度理論[M].湖南科學(xué)技術(shù)出版社， 1995.

[5]R.E. OMalley， Introduction to Singular Perturbations， Academic Press， New York， 1974.

作者簡介：

池岸楓（1994.1），女，漢族，湖南湘潭人，學(xué)士，研究生， 主要從事微分方程數(shù)值解法研究

熊之光（1964.11），男，土家族，湖南鳳凰縣人，教授，主要從事微分方程數(shù)值解法研究

【項目基金】國家自然科學(xué)基金項目（11571102）資助課題