扎根教材 變式拓展 提高學(xué)考復(fù)習(xí)時(shí)效
——2018年4月浙江學(xué)考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題評(píng)卷感悟

浙江省海寧中學(xué) 李安毓 (郵編：314400)

摘 要 以2018年4月浙江省學(xué)考數(shù)學(xué)第25題函數(shù)壓軸題為例，結(jié)合自己的閱卷經(jīng)歷與實(shí)踐，談?wù)剛€(gè)人的一些閱卷感悟，同時(shí)給出今后浙江省學(xué)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的一些建議，希望對(duì)一線教師同仁有所啟示.

關(guān)鍵詞 學(xué)考復(fù)習(xí)；評(píng)卷；感悟

2018年4月浙江省學(xué)考選考已落下帷幕，本次學(xué)考筆者有幸代表學(xué)校參加了省教育考試院組織的網(wǎng)上評(píng)卷工作.為期六天的數(shù)學(xué)學(xué)考閱卷工作，時(shí)間緊、責(zé)任大、任務(wù)重，雖然很累，但通過(guò)這項(xiàng)任務(wù)為下一屆學(xué)考復(fù)習(xí)備考提供了真實(shí)素材，對(duì)今后進(jìn)一步提高自身的課堂教學(xué)研究水平提供了有力保障.筆者本次參加的學(xué)考評(píng)卷題組是最后一道解答題第25題函數(shù)壓軸題，該題全省平均分只有1.94分.作為解答題的壓軸題，真正充分發(fā)揮了對(duì)不同層次的學(xué)生的區(qū)分功能，畢竟數(shù)學(xué)學(xué)考A等第的取得并非易事，能拿到A等第的也只是少數(shù)同學(xué).就試題本身而言，有些學(xué)考試題如同高考試題一樣往往起源于教材而高于教材，因此學(xué)考復(fù)習(xí)的有效性在于對(duì)教材的回歸，作為一線教師要想提高學(xué)考復(fù)習(xí)實(shí)效，就應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生從教材中來(lái)，回到教材中去.

1 考題呈現(xiàn)：似曾相識(shí)燕歸來(lái)

圖1

直線x=t(0

(Ⅰ) 分別求函數(shù)f(t)和g(t)的解析式；

(Ⅱ)是否存在區(qū)間(a,b)，使得函數(shù)f(t)和g(t)在該區(qū)間上均單調(diào)遞減？若存在，求b-a的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

作為本次數(shù)學(xué)學(xué)考卷的最后一題“函數(shù)壓軸題”，該題主要考查學(xué)生分段函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性等概念，以及分段函數(shù)解析式的求解、函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的判斷和證明等核心知識(shí).本題以函數(shù)為載體考查學(xué)生運(yùn)算求解和邏輯推理與證明等核心素養(yǎng)能力，以及“數(shù)形結(jié)合” 、“分類討論”思想和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.此題緊扣教材，作為數(shù)學(xué)解答題的壓軸題，語(yǔ)言簡(jiǎn)練，無(wú)論是分段函數(shù)解析式的求解，還是函數(shù)單調(diào)性的討論，都源于教材，解題時(shí)下手容易，但又層次多、區(qū)分度強(qiáng)，具有明顯的“浙江特色”.

2 解法探究：橫看成嶺側(cè)成峰

圖1 圖2

第(Ⅱ)問(wèn)解法探究：

解法1 單調(diào)性定義的視角

從而

即

解法2 構(gòu)造函數(shù)的視角

二次函數(shù)f(t)的單調(diào)性同解法1.

構(gòu)造函數(shù)

從而

即

解法3 導(dǎo)數(shù)的視角

設(shè)

點(diǎn)評(píng) 該方法主要利用導(dǎo)數(shù)作為工具來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，在學(xué)完導(dǎo)數(shù)知識(shí)之后證明或判斷函數(shù)單調(diào)性有兩種方法：一是單調(diào)性定義，一是利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)判斷.相比之下單調(diào)性定義步驟比較繁瑣，利用導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單方便.但本題中由于函數(shù)g(t)解析式是一個(gè)分式函數(shù)形式較為復(fù)雜，求導(dǎo)計(jì)算量較大，很多同學(xué)求導(dǎo)出錯(cuò)，以至于判斷單調(diào)性失敗.

解法4 導(dǎo)數(shù)放縮的視角

二次函數(shù)f(t)的單調(diào)性判定同解法3.

解法5 二階導(dǎo)數(shù)法的視角

3 尋根探源：那人卻在燈火闌珊處

查閱教材可以發(fā)現(xiàn)，在人教版必修1教材的復(fù)習(xí)參考題中找到了本道函數(shù)壓軸題的源頭.

圖4

源頭 (人教版必修1教科書(shū)第113頁(yè)第三章《函數(shù)的應(yīng)用》復(fù)習(xí)參考題B組第2題)如圖4，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形面積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式，并畫出函數(shù)y=f(t)的圖象.

點(diǎn)評(píng) 教材中的原型是求△OAB位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形的面積表達(dá)式f(t)并畫出圖象，學(xué)考試題中命題者把它改為：求左側(cè)部分多邊形Ω各邊長(zhǎng)的平方和f(t)與倒數(shù)和g(t)的函數(shù)解析式，并探究f(t)和g(t)共同的單調(diào)遞減區(qū)間.事實(shí)上，本道學(xué)考題就是對(duì)教材原題的一個(gè)變式拓展，設(shè)置梯度明顯提升，尤其是第(Ⅱ)問(wèn)設(shè)置了兩個(gè)函數(shù)共同的單調(diào)遞減區(qū)間的存在性問(wèn)題，試題的探究意味濃厚并具有一定的開(kāi)放性.很多一線教師往往更傾向于對(duì)高考題專門進(jìn)行研究和賞析，殊不知有相當(dāng)一部分學(xué)考題也是一道靚麗的風(fēng)景線，是值得我們?nèi)ラ_(kāi)墾和挖掘的一塊“寶藏”，就像這道來(lái)源于課本卻高于課本的函數(shù)壓軸題一樣，從課本習(xí)題搖身一變成了一道精彩的學(xué)考試題.正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“好的問(wèn)題如同蘑菇一樣它們大都成堆生長(zhǎng)，找到一個(gè)之后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找很可能就有好多個(gè)”，在接近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置有探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，變式拓展，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與探究，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的好途徑！

4 學(xué)生答題情況綜述

本道學(xué)考函數(shù)壓軸題全省平均分為1.94分，可見(jiàn)學(xué)生在這道函數(shù)題目上得分率非常低，在函數(shù)的復(fù)習(xí)中存在著很大問(wèn)題，主要反映在以下方面：

5 今后浙江學(xué)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考建議

5.1 回歸教材，關(guān)注基礎(chǔ)，變式提升

教材中的例題和習(xí)題往往是學(xué)考題和高考題的一個(gè)發(fā)源地和素材聚集地，學(xué)考、高考試題源于教材卻高于教材，近幾年來(lái)無(wú)論是學(xué)考還是高考，命題人越來(lái)越重視對(duì)學(xué)生基本概念的準(zhǔn)確理解和把握.因此在平時(shí)的學(xué)考復(fù)習(xí)中，應(yīng)扎根教材立足基礎(chǔ)，學(xué)考復(fù)習(xí)課應(yīng)充分發(fā)揮教材中的例題習(xí)題以及探究題思考題的作用，接近學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”合理地對(duì)教材中的典型題目進(jìn)行變式提升、拓展推廣，通過(guò)變式教學(xué)舉一反三，抓住本質(zhì)，深入挖掘其教學(xué)功能，從而使學(xué)生形成系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能跳出題海，提高學(xué)考復(fù)習(xí)時(shí)效.正如波利亞所說(shuō)：“拿一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題各方面，使得通過(guò)這道題就好像一道門戶把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域！”

5.2 注重答題規(guī)范性訓(xùn)練，提高學(xué)生的規(guī)范答題意識(shí)

在平時(shí)的學(xué)考復(fù)習(xí)教學(xué)中，除了對(duì)解題方法的訓(xùn)練，還應(yīng)對(duì)學(xué)生的規(guī)范答題、優(yōu)化答題做針對(duì)訓(xùn)練.例如在本道學(xué)考?jí)狠S題中相當(dāng)一部分同學(xué)不知所云，寫了一大片廢話，邏輯混亂，丟分嚴(yán)重.閱卷給分的基本原則是踩點(diǎn)給分，而踩點(diǎn)給分的重點(diǎn)關(guān)注的是學(xué)生在解答過(guò)程中所呈現(xiàn)和暴露出來(lái)的思維過(guò)程，這就要求學(xué)生在解題時(shí)能夠規(guī)范表達(dá)出思維過(guò)程.筆者認(rèn)為，根本原因就是沒(méi)有規(guī)范和優(yōu)化答題意識(shí)，導(dǎo)致失分嚴(yán)重.教師在平時(shí)學(xué)考復(fù)習(xí)時(shí)，若能注重引導(dǎo)學(xué)生在解題步驟書(shū)寫過(guò)程中，明確評(píng)分細(xì)則，分步書(shū)寫循序漸進(jìn)，教師應(yīng)注重板書(shū)示范，讓學(xué)生關(guān)注步驟的表述規(guī)范性和邏輯連貫性.同時(shí)學(xué)考畢竟是重要的考試，還應(yīng)注意書(shū)寫字跡清楚端正、過(guò)程整潔清晰，不隨意涂改亂畫.

5.3 立足通性通法，恰當(dāng)滲透巧法妙法

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多名師和專家們都大力呼吁要關(guān)注和注重學(xué)生對(duì)“通性通法”的掌握，淡化特殊技巧避免巧解的機(jī)械訓(xùn)練.筆者認(rèn)為，因?yàn)楦呖己蛯W(xué)考試題的設(shè)置對(duì) “通性通法”重點(diǎn)考查，我們的確應(yīng)該加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練，但通性通法并不排斥巧法妙法的運(yùn)用.作為一名明智的數(shù)學(xué)教師，我們不盲目追求“巧法妙法”的大量機(jī)械訓(xùn)練，但也應(yīng)適當(dāng)鼓勵(lì)對(duì)某些典型習(xí)題的一題多解，用欣賞的眼光看待“巧解妙解”，提倡解法的多元化，多一種方法多一條出路.同時(shí)應(yīng)注重因地制宜，因材施教，在基礎(chǔ)薄弱的學(xué)校或班級(jí)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)通性通法的掌握，在學(xué)生基礎(chǔ)好、能力強(qiáng)、素養(yǎng)高的學(xué)校或班級(jí)在注重通性通法的基礎(chǔ)上恰當(dāng)滲透巧法妙法，使其在考場(chǎng)上走好尋常路，同時(shí)又要讓一些具有創(chuàng)造性和發(fā)散性思維的學(xué)生能夠脫穎而出！做好了這些，才有可能切實(shí)提高學(xué)考復(fù)習(xí)備考時(shí)效！