數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更需要在數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)中落實
——以“導(dǎo)數(shù)的概念”(第一課時)教學(xué)為例

安徽省阜陽市教育科學(xué)研究所 王志剛 (郵編：236031)安徽省阜陽市第三中學(xué) 鄭建華 (郵編：236000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》，首次提出高中數(shù)學(xué)課程要“凝練學(xué)科核心素養(yǎng)”，指出“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是黨的教育方針的具體化、細(xì)化”.各學(xué)科基于本學(xué)科凝練的學(xué)科核心素養(yǎng)，明確了學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科課程后應(yīng)該達(dá)成的價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力，因此在學(xué)科教學(xué)中認(rèn)真落實學(xué)科核心素養(yǎng)，對全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育都有非常重要的意義.數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)凝練在“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析”六個方面，是通過數(shù)學(xué)教學(xué)使學(xué)生逐步形成的“數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”.李邦河院士說過，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”[2]，可見，數(shù)學(xué)概念就是這些數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力的集中體現(xiàn).在數(shù)學(xué)概念體系中，一些處于核心位置的概念密切聯(lián)系著其他一些概念，這些概念可以衍生、推出其他的數(shù)學(xué)概念，這樣的數(shù)學(xué)概念我們稱之為“數(shù)學(xué)核心概念”.抓住數(shù)學(xué)的核心概念就便于理解數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中把握住數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要策略.筆者就以 “導(dǎo)數(shù)的概念”(人民教育出版社出版高中數(shù)學(xué)A版教材，選修1-1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)一節(jié)的教學(xué)為例，就數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)中如何落實等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，談?wù)劰P者的做法，求教于同行.

1 教材內(nèi)容解讀

圖1

導(dǎo)數(shù)的概念是第三章第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)的第二課時，第一課時3.1.1 的主要內(nèi)容是平均變化率，教材選擇了“氣球膨脹”和“高臺跳水”兩個不同背景，分別給出其平均變化率在數(shù)量上的精準(zhǔn)描述，在此基礎(chǔ)上探求瞬時變化率，揭示了瞬時變化率與平均變化率的關(guān)系，明確了研究瞬時變化率的必要性，并且用思考欄目提出了“觀察函數(shù)y=f(x)的圖象(圖1),

平均變化率表示什么？” ，為導(dǎo)數(shù)概念的引入創(chuàng)設(shè)了一個良好的問題情境.

3.1.2節(jié)的主要內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的概念.教材結(jié)合上節(jié)高臺跳水情境定義了瞬時速度的概念，提出 “如何求運(yùn)動員的瞬時速度”引導(dǎo)學(xué)生開展探究，通過計算發(fā)現(xiàn)當(dāng)△t無限趨近于0時，平均速度都無限趨近于一個確定的值，類比到一般函數(shù)，抽象概括給出函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，然后介紹其產(chǎn)生的歷史背景和導(dǎo)數(shù)在生產(chǎn)、生活等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.

一般地，導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的起點是極限，但現(xiàn)在極限的概念在課程標(biāo)準(zhǔn)中要求不高，考慮到學(xué)生的理解能力，也為了使教學(xué)的重點落腳于對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，教材中通過計算用“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù).因此教學(xué)中應(yīng)該設(shè)法讓學(xué)生對“無限逼近的過程”有親身的經(jīng)歷和感悟，只有經(jīng)歷了這樣的過程，學(xué)生才能準(zhǔn)確理解導(dǎo)數(shù)的概念，體會導(dǎo)數(shù)思想及其豐富內(nèi)涵.在實際教學(xué)中不要盲目追求理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性，以免教學(xué)的重心偏移.

2 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求

《課標(biāo)》(2017年版)對“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”提出如下三點要求：(1)通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵及思想；(2)體會極限思想；(3)通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.[1]

從上可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)已經(jīng)將如何“理解導(dǎo)數(shù)的意義、學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念”表述得非常清楚了，不僅提出了學(xué)生要“學(xué)什么”，規(guī)定了“怎樣學(xué)”，并且明確了學(xué)習(xí)過程中包含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.1 學(xué)什么

“學(xué)什么”具體地說包括三方面：(1)在導(dǎo)數(shù)概念形成的過程中，通過分析具體的實例，讓學(xué)生親身經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的逼近過程，在這一過程中使學(xué)生體會、感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)處理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；(2)在導(dǎo)數(shù)幾何意義學(xué)習(xí)過程中，通過具體的函數(shù)圖象，使學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；(3)在導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生歷史背景和應(yīng)用廣泛性的介紹，以及例題的解決過程中，滲透數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

2.2 怎樣學(xué)

“怎樣學(xué)”也表現(xiàn)在三個方面：(1)讓學(xué)生通過數(shù)據(jù)計算某一時段的運(yùn)動員的平均速度，探索解決“如何求高臺跳水運(yùn)動員在某一時刻的瞬時速度”這一問題，抽象出瞬時速度的概念；(2)導(dǎo)數(shù)的概念是在數(shù)值計算后體會、感悟無窮逼近的過程中，觀察平均速度的變化趨勢時，由特殊到一般逐步抽象概括形成的；(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是通過函數(shù)圖形直觀想象呈現(xiàn)的.

2.3 教學(xué)設(shè)計與學(xué)習(xí)的思維導(dǎo)圖

基于以上分析，筆者設(shè)計了如下的教學(xué)與學(xué)習(xí)的思維導(dǎo)圖：

3 課堂片段實錄與評價

3.1 創(chuàng)設(shè)情景，提出問題的過程

問題1 回顧上一節(jié)的高臺跳水問題，知道運(yùn)動員在不同時刻速度是不同的，用平均速度來描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)會出現(xiàn)一個問題：運(yùn)動員在某一時刻是運(yùn)動著的，但在這一時刻平均速度確為0.數(shù)值與現(xiàn)實的矛盾，告訴我們用平均速度刻畫物體在某一時間段運(yùn)動狀態(tài)有時也不精準(zhǔn)，因此需要求運(yùn)動員在某一時刻的速度，即瞬時速度，那么怎樣求運(yùn)動員在某一時刻比如t=2時的瞬時速度呢？

生：根據(jù)物理學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，我們可以將這個問題轉(zhuǎn)化為求平均速度問題.

師：很好，求哪一時間段內(nèi)的平均速度呢？有什么要求？

生：求t=2附近這段時刻，時間段越短越好.

師：為什么？談?wù)勀愕南敕ǎ?/p>

生：時間段越短，速度變化的越小，運(yùn)動員在該段的平均速度就越接近t=2時刻的瞬時速度.

師:理解得很精準(zhǔn).時間段選取在t=2附近,該如何理解？

生：時間段應(yīng)該選擇在t=2之前或之后.

師：能否舉出一些具體時間段？

生：可以，比如時間段[2,2.1],[1.99,2]和[2,2.001]

師：很了不起！為了方便起見，我們約定，把“從時刻t1到時刻t2這段時間”簡記為[t1,t2]，為探求t=2時刻的瞬時速度，上述區(qū)間可以統(tǒng)一寫成[2,2+△t](△t>0)或[2+△t,2](△t<0).

評價 通過分析求運(yùn)動員在跳水過程中某一時間段內(nèi)的平均速度的想法，縮短時間區(qū)間，運(yùn)用逼近思想，在交流探究活動中直觀呈現(xiàn)平均速度無限逼近瞬時速度的條件，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2 數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、感受“無限逼近”的過程

表1

表2

評價 “逼近”思想是形成導(dǎo)數(shù)概念的核心思想，學(xué)生對概念的認(rèn)識需要借助于大量的直觀形象和數(shù)據(jù)，因此，在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中，要通過數(shù)學(xué)運(yùn)算讓學(xué)生直觀感受不論時間從2時的左邊或右邊無限逼近2，平均速度的變化發(fā)展趨勢呈現(xiàn)一定的規(guī)律性.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的活動，真正地體會到從平均速度到瞬時速度的發(fā)展變化過程，在運(yùn)算推理中感受“逼近”思想，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 引導(dǎo)探究，構(gòu)建模型的過程

師：當(dāng)△t趨近于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢？

生：通過填表發(fā)現(xiàn)，雖然各組取的△t有所不同，但當(dāng)所取的△t越來越接近于0時，各組計算出來的平均速度都不約而同的趨近于一個確定的常數(shù)-13.1.

師：上述運(yùn)算過程有統(tǒng)一的表達(dá)方式嗎?

只需要△t取-0.1,-0.01,-0.001,-0.00001…或0.1,0.01,0.001,0.00001…當(dāng)△t趨近于0時，很容易發(fā)現(xiàn)平均速度趨近于一個確定的常數(shù)-13.1.

師：你真棒，你對這一問題做了高度的抽象歸納，找出數(shù)據(jù)運(yùn)算的共性，同時建立了一個函數(shù)模型，降低了數(shù)據(jù)的運(yùn)算難度，更能突出數(shù)學(xué)的本質(zhì).

這個環(huán)節(jié)需要一個較長的時間，在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過親自動手計算，小組合作探究，抽象概括完成了所提出問題，而且已經(jīng)實踐了如何求導(dǎo)數(shù)的過程，學(xué)生在運(yùn)算中感受逼近的思想，為導(dǎo)數(shù)概念的建立奠定基礎(chǔ),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.4 抽象概括，概念生成的過程

(1)物理模型

問題2 一般地，我們怎樣表示運(yùn)動員在某個時刻t0的瞬時速度呢？請?zhí)畋?，并說說你的想法.

表3

評價 通過表格對比使學(xué)生認(rèn)識到平均速度當(dāng)△t趨近于0時的極限就是瞬時速度，為抽象概括導(dǎo)數(shù)概念提煉出一個具體的極限模型.體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生抽象概括、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(2)數(shù)學(xué)建模的過程

教師：通過上面的分析，我們看到“位移對于時間的瞬時變化率”就是瞬時速度.如果將運(yùn)動員高臺跳水問題中的函數(shù)用y=f(x)來表示，那么函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率如何表示？完成表格4.

表4

教師：請用自己的語言敘述函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率.

評價 通過對一般函數(shù)y=f(x)類比來定義t0時刻的瞬時速度，剝離具體問題的背景和實際意義，用純數(shù)學(xué)的方式表示函數(shù)在t0的瞬時變化率，抽象得到導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)概念水到渠成、自然地出現(xiàn).導(dǎo)數(shù)概念的建立過程反映了數(shù)學(xué)建模的思想，也反映了數(shù)學(xué)抽象概括的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(3)數(shù)學(xué)應(yīng)用，理解概念的過程

在鞏固概念的教學(xué)環(huán)節(jié)，通過介紹導(dǎo)數(shù)的歷史文化和廣泛應(yīng)用，解決例1中的問題，讓學(xué)生模仿重現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的建立過程，并說明結(jié)果的實際意義.

評價 使學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，并且自己動手解決問題加深對導(dǎo)數(shù)概念深入的理解，滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理能力.

4 教學(xué)后的思考

4.1 對導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵的思考

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是瞬時變化率，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.那么導(dǎo)數(shù)的思想和內(nèi)涵具體是什么？從教材中看，“瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)”，導(dǎo)數(shù)的問題就應(yīng)該是瞬時變化率問題，其思想及內(nèi)涵就應(yīng)該是：瞬時變化率是平均變化率的極限，函數(shù)變化率和極限的思想及其內(nèi)涵就是導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，而由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程就是一個無限逼近的極限過程[6].

4.2 對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實的思考

本節(jié)課的教學(xué)過程遵循“促進(jìn)深度思考，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的理念，設(shè)計了“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，問題解決為主線，能力發(fā)展為目標(biāo)，素養(yǎng)培養(yǎng)為導(dǎo)向”的教學(xué)思想，采用“問題驅(qū)動”“啟發(fā)引導(dǎo)”“自主探究與實踐”等教學(xué)方法，通過問題情境的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望，親身經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生發(fā)展、抽象概括過程，引導(dǎo)學(xué)生積極思考用數(shù)學(xué)的眼光分析問題，積極動手用數(shù)學(xué)的方法解決問題，用數(shù)學(xué)的語言表述一般的結(jié)論，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落到實處.