基于特征值線性擬合誤差的信源數(shù)估計(jì)方法*

陳明建，龍國慶，黃中瑞

（國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，合肥 230037）

0 引言

波達(dá)方向（DOA）估計(jì)一直是雷達(dá)、通信以及聲納等領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容之一［1］。由于具有優(yōu)良的超高分辨特性，空間譜估計(jì)技術(shù)已成為DOA估計(jì)的經(jīng)典方法。如基于子空間分解的多信號(hào)分類法（MUSIC）［2］、旋轉(zhuǎn)子空間不變法（ESPRIT）［3］以及子空間擬合法［4］。在空間譜估計(jì)技術(shù)中的大部分算法均需要知道入射信號(hào)數(shù)，因此，信號(hào)源數(shù)是陣列信號(hào)處理中的一個(gè)關(guān)鍵問題。典型的信源數(shù)估計(jì)方法包括基于AIC準(zhǔn)則［5］和MDL準(zhǔn)則［6-7］的信息論方法、基于特征值一步預(yù)測法［8］、貝葉斯預(yù)測密度法［9］等。其中信息論法實(shí)際上是給定一組觀測數(shù)據(jù)和一系列參數(shù)化的概率模型，然后選擇與觀測數(shù)據(jù)擬合最好的模型。由于需要對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，所以基于AIC準(zhǔn)則和MDL準(zhǔn)則的信息論方法一般只適合于高斯白噪聲條件?；谔卣髦狄徊筋A(yù)測法、貝葉斯預(yù)測密度法也均假定陣元噪聲為高斯白噪聲，利用信號(hào)特征值明顯大于噪聲特征值的特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。

在實(shí)際應(yīng)用中白噪聲的假設(shè)并不是總是成立，如當(dāng)陣元間通道存在幅相不一致或互偶時(shí)，實(shí)際的噪聲模型可能是空間非平穩(wěn)，非均勻色噪聲。此時(shí)基于高斯白噪聲假設(shè)的信源估計(jì)方法性能下降甚至失效。為了克服色噪聲引起信源數(shù)估計(jì)誤差問題，近些年來蓋氏圓盤法（GDE）［10］、正則相關(guān)法［11］、基于對角加載的特征值校正方法［12］以及SORTE法［13-15］等相繼提出。GDE方法同時(shí)利用了特征值和特征向量信息，因此，在色噪聲條件下仍然可以正確估計(jì)信源數(shù)，但是它在低信噪比時(shí)性能較差，且調(diào)整因子的選擇影響算法性能。正則相關(guān)技術(shù)是利用空間分離的兩個(gè)子陣接收數(shù)據(jù)并且要求兩個(gè)子陣之間的噪聲不相關(guān)，那么可以通過合理的相關(guān)分析而克服色噪聲的影響，但缺點(diǎn)是對陣列幾何結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格限制，因此，實(shí)用性受到了極大的限制?；趯羌虞d的信源數(shù)估計(jì)方法一定程度上解決了噪聲特征值發(fā)射引起信源估計(jì)性能下降的問題，但是需要人為設(shè)置對角加載量，最優(yōu)加載量無法準(zhǔn)確獲得。SORTE法利用了特征值的方差信息構(gòu)造信源估計(jì)判決函數(shù)，在白噪聲和色噪聲背景下均能有效實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。

針對非均勻色噪聲背景下信源數(shù)估計(jì)問題，本文提出了一種基于特征值總體最小二乘線性估計(jì)誤差的信源數(shù)估計(jì)方法。該方法利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征值線性擬合誤差，并結(jié)合信息論的罰函數(shù)得到了信源數(shù)估計(jì)判決函數(shù)。該方法在色噪聲背景下能夠?qū)崿F(xiàn)信源數(shù)一致估計(jì)，且在低信噪比、短快拍時(shí)仍然具有良好的估計(jì)性能。

1 信號(hào)模型

式中，符號(hào)E（·）表示統(tǒng)計(jì)期望值，符號(hào)（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置，為K×K維信號(hào)的協(xié)方差矩陣，為K×K維噪聲的協(xié)方差矩陣。若噪聲為空時(shí)均不相關(guān)的非均勻色噪聲，則Q可表示為

2 典型信源數(shù)估計(jì)法

2.1 基于對角加載的MDL法

在理想白噪聲背景下噪聲特征值近似相等，MDL準(zhǔn)則能有效實(shí)現(xiàn)信源數(shù)一致估計(jì)，但在空間非均勻色噪聲背景下噪聲特征值將變得發(fā)散，此時(shí)基于信息論準(zhǔn)則信源數(shù)估計(jì)方法將失效。針對該問題，基于對角加載的修正采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為：

2.2 蓋氏圓方法

蓋氏圓方法是對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行酉變換估計(jì)信號(hào)源個(gè)數(shù)。若對R進(jìn)行分塊

其中，R'為R前M-1行和前M-1列組成的矩陣。

利用R'特征分解得到特征向量矩陣V構(gòu)造酉變換矩陣T

酉變換矩陣T對協(xié)方差矩陣R進(jìn)行如下變換

則GDE準(zhǔn)則可描述為

式中，N是采樣快拍數(shù)，D（N）是與快拍數(shù)有關(guān)的調(diào)整因子。當(dāng)k由小到大進(jìn)行取值時(shí)，假設(shè)當(dāng)k=kGDE時(shí)，GDE（k）第1次出現(xiàn)負(fù)數(shù)，則信源數(shù)為kGDE-1。

2.3 SORTE算法

SORTE算法是利用特征值二階統(tǒng)計(jì)量方差信息構(gòu)造信源數(shù)估計(jì)判決函數(shù)，定義SORTE函數(shù)為

3 特征值線性擬合的信源數(shù)估計(jì)

3.1 色噪聲條件下特征值分布

圖1 數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值分布

由圖1可知，前3個(gè)特征值對應(yīng)信號(hào)空間，后7個(gè)特征值對應(yīng)噪聲空間，當(dāng)SNR為10 dB時(shí)，信號(hào)特征值相差不大，而噪聲特征值近似相等，可以根據(jù)大特征值個(gè)數(shù)判斷信源個(gè)數(shù)；但當(dāng)SNR為0 dB時(shí)，大特征值數(shù)目與信源數(shù)不相符，此時(shí)噪聲特征值出現(xiàn)了發(fā)散；隨著信噪比進(jìn)一步降低，噪聲特征值發(fā)散程度進(jìn)一步增加。

3.2 特征值的總體最小二乘線性擬合

為了分析數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征值分布情況，利用總體最小二乘法線性擬合法，分析噪聲特征值分布?？傮w最小二乘方法（TLS）也稱為最小距離平方和法，能夠同時(shí)考慮自變量和因變量誤差從而使得函數(shù)的解算結(jié)果不會(huì)因自變量和因變量的選擇不同而改變。假定線性方程數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

所有觀測值到直線的距離平方和可表示為

本文采用正交總體最小二乘法計(jì)算線性擬合參數(shù)。由幾何及微積分可知擬合直線必須通過M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心，才能使擬合誤差最小。其中，M為樣本點(diǎn)數(shù)，即陣元數(shù)。即可將直線方程轉(zhuǎn)化為，求出即為TLS的解。

解為

對于總體最小二乘的特征值擬合誤差可表示為

3.3 信源數(shù)估計(jì)

考慮到擬合誤差ξ（k）是單調(diào)不增函數(shù)，與信息論中似然函數(shù)的性質(zhì)類似。利用MDL準(zhǔn)則罰函數(shù)，構(gòu)造判決函數(shù)，可以下式判決函數(shù)求解信源個(gè)數(shù)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真條件：均勻線陣陣元數(shù)為M=10，陣元間距為半波長。3個(gè)獨(dú)立遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到天線上，入射角度分別為［-10°，35°，60°］，噪聲為復(fù)高斯白噪聲，且與信號(hào)不相關(guān)。分別對MDL準(zhǔn)則法、GDE法、對角加載 MDL法（簡寫為 LMDL）、SORTE法以及本文方法（記為TLS-MDL）在不同信噪比條件和不同快拍數(shù)條件下的信源估計(jì)性能比較。其中GDE法中D（N）=0.7，LMDL的對角加載量。每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果為200次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)均值。

實(shí)驗(yàn)1白噪聲背景下成功檢測概率與信噪比、快拍數(shù)關(guān)系。定義成功檢測概率為正確估計(jì)信源次數(shù)與實(shí)驗(yàn)次數(shù)之比。假定陣元噪聲為理想的高斯白噪聲。圖2是采樣快拍數(shù)為200時(shí)成功檢測概率與SNR的關(guān)系曲線。圖3是SNR為0 dB時(shí)成功檢測概率與快拍數(shù)的關(guān)系曲線。

圖2 白噪聲背景下成功檢測概率與SNR的關(guān)系曲線

圖3 白噪聲背景下成功檢測概率與快拍數(shù)的關(guān)系曲線

由圖2可知，在高斯白噪聲條件下，所有的信源數(shù)估計(jì)方法的成功檢測概率隨SNR增加而提高，在一定SNR條件下均能實(shí)現(xiàn)信源數(shù)100%成功估計(jì)，但本文方法在低SNR條件下性能更優(yōu)，SORTE法次之，基于對角加載的MDL算法性能在白噪聲背景下反而更差。這是由于特征值校正是以犧牲SNR為代價(jià)的，這與對角加載的物理意義是一致的，因?yàn)閷羌虞d相當(dāng)于向陣列注入白噪聲。

由圖3可知：GDE法雖然在小快拍時(shí)成功檢測概率達(dá)到了80%以上，但收斂速度較慢，這主要是由于GDE法調(diào)整參數(shù)D（N）與快拍數(shù)相關(guān)，若采用固定的調(diào)整參數(shù)，則算法性能有所下降；MDL法只有在快拍數(shù)較大時(shí)才能有較高的成功檢測概率；本文方法在快拍數(shù)為40時(shí)成功檢測概率接近100%，因此，在小快拍時(shí)本文方法性能更優(yōu)。

實(shí)驗(yàn)2色噪聲背景下成功檢測概率與信噪比、快拍數(shù)關(guān)系。假設(shè)噪聲為非均勻空間色噪聲，噪聲協(xié)方差矩陣Q同上文中的3.1節(jié)設(shè)置。下頁圖4為采樣快拍數(shù)為200時(shí)成功檢測概率與SNR的關(guān)系曲線。圖5為信噪比為0 dB時(shí)成功檢測概率與快拍數(shù)的關(guān)系曲線。

圖4 色噪聲背景下成功檢測概率與SNR的關(guān)系曲線

圖5 色噪聲背景下成功檢測概率與快拍數(shù)的關(guān)系曲線

由圖4、圖5可知，在非均勻色噪聲條件下，MDL算法將失效，而對角加載的MDL能夠一定程度上克服噪聲特征值發(fā)射的影響，解決了傳統(tǒng)MDL算法無法適用于色噪聲環(huán)境的問題。GDE法由于綜合利用了特征值和特征向量信息，因此，對噪聲模型沒有特定的限制；在SNR小于-14 dB時(shí)，雖然SORTE法成功估計(jì)概率略高于本文方法，但總體檢測概率較低；在SNR等于-10 dB時(shí)，本文方法成功檢測概率要遠(yuǎn)超過其他類方法，且算法的收斂性更快。因此，相比于其他類方法，本文方法在低信噪比、小快拍條件信源數(shù)估計(jì)性能更優(yōu)。

5 結(jié)論

針對實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中普遍存在非均勻空間色噪聲背景下的信源數(shù)估計(jì)問題，本文提出了基于特征值最小二乘線性擬合誤差的信源數(shù)估計(jì)方法。該方法通過對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的降序特征值進(jìn)行最小距離平方和的線性擬合，利用擬合誤差與擬合點(diǎn)的單調(diào)不增特點(diǎn)，并結(jié)合MDL準(zhǔn)則懲罰因子構(gòu)造判決函數(shù)實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。仿真結(jié)果表明：該方法在色噪聲背景下能夠?qū)崿F(xiàn)信源數(shù)的一致估計(jì)，尤其是在低信噪比、小快拍條件下信源數(shù)估計(jì)性能要優(yōu)于其他類方法。