基于參量Lyapunov理論的廣域時滯阻尼控制器設計

丁貴立，林 濤，陳汝斯，潘明森，徐遐齡

(1. 武漢大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430072；2. 華中電力調(diào)控分中心，湖北 武漢 430077)

0 引言

國家電網(wǎng)“十三五”規(guī)劃中指出，提高大規(guī)模互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定控制保障能力是未來研究的重點方向之一。隨著大區(qū)域電網(wǎng)互聯(lián)及跨區(qū)送電規(guī)模擴大，區(qū)間阻尼隨跨區(qū)聯(lián)絡線和區(qū)域電網(wǎng)內(nèi)部主要斷面輸送潮流的增加而惡化，電網(wǎng)發(fā)生區(qū)間低頻振蕩的風險正逐步加大，成為互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行的巨大威脅。例如南方互聯(lián)系統(tǒng)“4·26”振蕩事故[1]導致系統(tǒng)解列，南方電網(wǎng)“5·13”功率振蕩[2]事故，2006年7月1日河南電網(wǎng)多條500 kV和220 kV線路跳閘后，華中電網(wǎng)發(fā)生大范圍低頻功率振蕩，最終導致華中電網(wǎng)和華北電網(wǎng)、華中電網(wǎng)主網(wǎng)與川渝電網(wǎng)解列[3]。嚴重的低頻振蕩現(xiàn)象甚至會以一種等幅的并不衰減的形式出現(xiàn)，這種低頻振蕩嚴重影響了區(qū)間功率的傳送效率和互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且可能引起系統(tǒng)解列甚至崩潰。例如在北美和加拿大系統(tǒng)都出現(xiàn)過不同尋常的振蕩過程[4]，在我國河北南網(wǎng)的安保線也多次發(fā)生等幅的低頻振蕩，安裝電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)后振蕩依然時有發(fā)生[5]。因此，提高系統(tǒng)阻尼成為提升互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性和堅強性的主要方法之一，特別應該重視嚴重威脅互聯(lián)電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的等幅低頻振蕩模式。

隨著廣域測量系統(tǒng)(WAMS)的發(fā)展，使用遠方反饋信號可以有效地阻尼區(qū)間低頻振蕩，但由此帶來的遠方反饋信號傳輸時延成為影響控制器效果甚至系統(tǒng)穩(wěn)定的主要原因，也是大規(guī)模電網(wǎng)動態(tài)安全穩(wěn)定分析和控制不可避免的一個關鍵問題，故設計考慮信號傳輸時延的廣域阻尼控制器愈發(fā)迫切。針對時滯問題，目前主要有兩大類處理方法。一類可歸納為對廣域反饋信號或時滯的直接補償。文獻[6]通過設計一個時延預估器來補償時滯。文獻[7]對網(wǎng)絡化環(huán)境下的自動發(fā)電控制(AGC)系統(tǒng)的延遲進行了分析，提出了基于時滯系統(tǒng)控制理論的AGC H∞控制方法。產(chǎn)生于20世紀50年代的Smith預測方法是最早的處理控制器設計中時延問題的方法[8]，典型的Smith預估補償是根據(jù)延遲引入系統(tǒng)開環(huán)的反饋環(huán)節(jié)[9]。文獻[10]對Smith預測方法進行了改進，可以顯著改善時滯系統(tǒng)的控制性能。文獻[11]將Pade近似方法引入廣域時滯系統(tǒng)的分析與控制，其是處理廣域阻尼控制器設計中時滯問題的一種有效方法。文獻[12]應用Pade近似將時滯項轉化為有理多項式，并在此基礎上進行魯棒控制器設計，取得了良好的效果。事實上，Smith預估方法和Pade近似方法在一定程度上是等效的，都是將含時滯系統(tǒng)的控制器設計問題轉化為不顯含時滯系統(tǒng)的控制器設計問題，進而完成控制器的設計。基于時滯預測補償原理的控制器，由于其參數(shù)選擇通常需要反復離線仿真來調(diào)試或者通過經(jīng)驗來選取，并沒有一個具體的可操作的標準方法。這不僅增加了控制器設計的時間，而且也阻礙了其在大系統(tǒng)中實際應用的可能。并且Smith預估方法和Pade近似方法都是針對固定時滯的處理方法，對實際廣域時滯阻尼控制系統(tǒng)中的較大范圍的時滯變化的適應性有待提高。

為保證系統(tǒng)在一定時滯范圍內(nèi)的穩(wěn)定性，提出另一類考慮時滯的廣域阻尼魯棒控制器設計思路。如使用非線性bang-bang控制方法[13]，將時滯作為系統(tǒng)不確定性處理的魯棒控制方法[14]，應用自由權矩陣設計廣域阻尼控制器(WADC)[15-16]，使用超前滯后相位補償方法設計廣域時滯阻尼控制器[17]，文獻[18]則提出了被廣泛使用的基于線性矩陣不等式(LMI)的廣域阻尼控制器設計方法。自由權矩陣設計方法本質上也是一種基于LMI的設計方法。線性矩陣不等式方法是一個典型的充分條件，不可避免地存在較大的保守性和復雜性，將其應用于大規(guī)模電力系統(tǒng)控制中還需要更深入的研究。以上2類方法雖然對處理時滯有效果，但是這些方法在應用之前大都需要對系統(tǒng)進行近似降階，這就降低了模型的精確性，影響控制器的設計效果。

近年來，在電網(wǎng)可觀性的工程實踐方面，通過全球定位系統(tǒng)(GPS)可以準確地獲得相量測量單元(PMU)和控制中心的時間數(shù)據(jù)。t1時刻相量數(shù)據(jù)集中器收集和同步廣域測量信號，控制器通過測得的廣域信號發(fā)出廣域阻尼控制信號，當安裝在發(fā)電機勵磁側的控制器在t2時刻收到控制信號時，GPS提供的高分辨率的時間服務可以獲得時間延遲的準確數(shù)據(jù)[19]，為廣域時變時滯阻尼控制器的設計提供基礎。在系統(tǒng)穩(wěn)定控制理論方面，代數(shù)Lyapunov方程和代數(shù)Riccati方程分別是系統(tǒng)分析和設計的兩大方法，而參量Lyapunov理論[20-21]結合了以上2種方法的所有優(yōu)點，該理論在其他的一些工程領域已經(jīng)得到了成功的應用，例如文獻[20-21]應用該理論系統(tǒng)地給出了航天器交會系統(tǒng)的控制器設計方法，為相關工程實踐提供了一定的理論保證和可供借鑒的設計思想。

本文基于參量Lyapunov理論設計了廣域時滯阻尼控制器。一方面，該方法通過對實測時滯進行動態(tài)補償?shù)脑碓O計控制器，克服了一般時滯補償控制器主要針對固定時滯的缺陷。這是由于一般時滯補償控制器設計方法不能給出顯含時滯的控制律，設計思路是將含時滯系統(tǒng)的控制器設計問題轉化為不顯含時滯系統(tǒng)的控制器設計問題，進而完成控制器的設計。而本文提出的控制器設計方法能給出顯含時滯的控制器表達式，從理論上保證了所提方法對時變時滯動態(tài)補償?shù)目尚行浴Ｍ瑫r，該方法還可以直接給出精確的控制器參數(shù)取值，克服了一般時滯補償控制器參數(shù)整定無公式化算法的問題。另一方面，該方法只需要對原系統(tǒng)精確模型狀態(tài)矩陣進行Jordan標準化處理，不需要系統(tǒng)降階，提高了控制精確性；所給控制器參數(shù)是閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充要條件，降低了控制器設計的保守性，使閉環(huán)系統(tǒng)具有更好的動態(tài)響應性能。

1 參量Lyapunov理論簡介

系統(tǒng)在運行點線性化后的狀態(tài)方程為：

(1)

其中，A∈Rn×n；B∈Rn×m；x(t)∈Rn;u(t)∈Rm;y(t)∈Rp。所謂二次最優(yōu)控制問題是指對于任意給定的矩陣Q=STS≥0,R>0且(A,S)可檢測，尋求反饋u=F(x)使得如下二次指標函數(shù)最小化，即是最優(yōu)控制問題。

(2)

極小化的最優(yōu)反饋可表示為：

u*(t)=-R-1BTPx(t)

(3)

P>0是下述代數(shù)Riccati方程的唯一對稱正定解。

ATP+PA-PBBTP=-Q

(4)

式(3)給出的最優(yōu)控制器具有一個非常重要的特征，就是由其構成的閉環(huán)系統(tǒng)具有無窮大的幅值裕度和至少60°的相角裕度[22]，從而具有很好的魯棒性。正因為如此，最優(yōu)控制理論在工程上得到了非常廣泛的應用。從最優(yōu)控制理論可知，只要Q和R確定，那么反饋控制器就唯一確定。對于R的選擇原則已經(jīng)較為明確，但是對于Q的選擇則并無規(guī)則可循，將二次最優(yōu)控制理論應用到實際工程中，設計者通常要通過反復試猜或迭代才能選擇到滿意的Q。

為了解決這個問題，提出了參量Riccati方程。假設Riccati方程式(4)有一個對稱正定解P>0,那么對于任意γ>0，?。?/p>

Q=γP

(5)

即可保證Q的正定性。由此，Riccati方程式(4)可表示為：

ATP+PA-PBBTP=-γP

(6)

定理1 考慮連續(xù)系統(tǒng)式(1),其中(A，B)可控。假設Riccati方程式(6)有一個對稱正定解P=P(γ)>0,其中γ>0，那么：

u*(t)=-R-1BTPx(t)

(7)

如式(7)所示的控制器為正定線性系統(tǒng)，并且u*(t)為如式(8)所示的最優(yōu)控制問題的解，u*(t)極小化如式(9)所示的二次指標函數(shù)。

(8)

(9)

定理2 設(A，B)可控，則下述命題成立。

當且僅當

(11)

成立時，參量Riccati方程式(6)具有唯一的對稱正定解。

此外，若滿足上述條件，該唯一的解可以表示為P(γ)=W-1(γ)，其中W(γ)為式(12)所示的參量Lyapunov方程的唯一對稱正定解。

(12)

參量Lyapunov理論的詳細介紹及推導證明過程可詳見文獻[20-21，23]。

2 基于參量Lyapunov理論的廣域時滯阻尼控制器設計的理論基礎及特點分析

2.1 基于參量Lyapunov理論的廣域時滯阻尼控制器設計的理論基礎

考慮時滯的狀態(tài)方程為：

(13)

其中，τ為控制器輸入反饋信號的延時且τ>0；n,τ=([-τ,0],Rn)表示從區(qū)間[-τ,0]到Rn函數(shù)映射的Banach空間，則若存在xt∈n,τ就表示將x(t)從區(qū)間[t-τ,t]映射到[-τ,0]，即xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-τ,0]。

根據(jù)以上狀態(tài)方程，矩陣對(A,B)可以通過Jordan標準型變換成以下形式：

(14)

其中，Aj、Bj分別為原系統(tǒng)方程狀態(tài)矩陣A和輸入矩陣B進行Jordan標準型變換后得到的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣；A-為包含Aj中負實部的所有特征值的矩陣且A-∈Rn-×n-；Ao為包含Aj中所有位于虛軸上的特征值的矩陣且Ao∈Rno×no。

基于第1節(jié)介紹的參量Lyapunov理論，得出控制器的控制律如下：

(15)

其中，L∈Rp×n使得Aj-LCj漸進穩(wěn)定；Po(γ)為如式(16)所示的代數(shù)Riccati方程的唯一正定解。

(16)

將式(16)變換成如下形式：

(17)

Po(γ)=W-1(γ)

(18)

控制器參數(shù)取值為：

(19)

(20)

I≥γR+2noγeωoγτe-(Aj-LCj)TτWo(γ)e-(Aj-LCj)τ

(21)

(22)

2.2 與基于LMI方法的自由權矩陣控制器設計方法的理論比較

基于LMI方法的自由權矩陣控制器如式(23)所示。

u(t-τ)=Kx(t-τ)

(23)

這類方法的設計目標是確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，能夠容忍足夠大的時滯。

基于參量Lyapunov廣域時滯阻尼控制器如式(15)所示，其具有如下的特點。

b. 將含時滯的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定問題轉化為基于LMI方法的可解性問題，這類廣域時滯阻尼控制器設計方法(包括自由權矩陣)所求得的控制律一般有較大的保守性，其是由LMI理論的本質特性決定的；而基于參量Lyapunov理論設計的廣域時滯阻尼控制器參數(shù)(具體參數(shù)及取值參考式(19)—(22))，是從系統(tǒng)穩(wěn)定的本質定義出發(fā)而確定的(即系統(tǒng)初始能量一定時，能量函數(shù)一階導數(shù)為負，則此系統(tǒng)穩(wěn)定的)，理論上降低了控制器設計的保守性，避免了出現(xiàn)實際系統(tǒng)可控而LMI方法不可解的問題。

c. 基于LMI方法的自由權矩陣控制器反饋增益矩陣K，需要通過對高維矩陣不等式方程循環(huán)迭代求解[15]或者對原系統(tǒng)進行等值和近似降階，而基于參量Lyapunov理論可以直接根據(jù)原系統(tǒng)矩陣變換方程顯式的給出控制器控制律解析解(式(15))及參數(shù)取值(式(19)—(22))，便于進一步的分析和綜合。

基于參量Lyapunov理論設計的廣域時滯阻尼控制器的控制律參數(shù)是一個標量，方便設計，降低了控制器設計的復雜性，還可以避免由于控制律的過度參數(shù)化引起的復雜計算，這對于需要控制器快速反應的特殊系統(tǒng)而言是具有優(yōu)勢的。

3 控制器總體結構、輸入輸出信號選擇和設計流程

文獻[17]論述了分別考慮上下行時滯和統(tǒng)一考慮時滯對控制器設計方法和效果并無影響，因此一般都將上下行時滯看成一個整體時滯來處理。

3.1 控制器總體結構

本文設計的參量Lyapunov廣域時滯阻尼控制器總體結構如圖1所示。由圖1可以看出，參數(shù)Lyapunov 控制器(PLC)是通過給PSS裝置提供附加阻尼控制信號來阻尼區(qū)間振蕩模式的，采樣測量時間、控制器計算時間、傳輸時間等被簡化為單一時滯,在圖1中用e-sd表示。

圖1 基于參量Lyapunov理論的廣域時滯阻尼控制器總體結構Fig.1 Overall structure of wide-area time-delay damping controller based on parametric Lyapunov theory

3.2 控制器輸入輸出信號選擇

對線性系統(tǒng)應用模態(tài)分析法分析系統(tǒng)的低頻振蕩模式，可以得到系統(tǒng)的關鍵區(qū)間振蕩模式。如留數(shù)方法[24]及幾何測量方法[25-26]的模態(tài)可觀性分析可以用來選擇廣域阻尼控制器的反饋信號。由于幾何測量方法是針對某一特定的模式給出，其能夠更好地控制這一振蕩模式的相對可控/可觀性最高的一個反饋信號。因此，本文采用文獻[25]中的幾何測量方法選擇WADC的反饋信號。附加控制信號應該輸入具有最大的留數(shù)λijk的地點[27]。

3.3 控制器設計步驟

基于參量Lyapunov方法的廣域時滯阻尼控制器設計步驟如下。

a. 建立所要研究的電力系統(tǒng)的詳細模型，在系統(tǒng)穩(wěn)定運行點獲得不包含控制器的系統(tǒng)線性化模型。

b. 使用模態(tài)分析方法獲得系統(tǒng)頻率和阻尼比的關系，找出關鍵的區(qū)間振蕩模式。

c. 使用幾何可控可觀方法確定對關鍵模式可觀性最好的反饋信號，使用留數(shù)法確定控制器輸出信號的地點。

d. 矩陣對(A,B)通過Jordan標準型變換成以下形式：

e. 根據(jù)式(15)獲得控制律，參數(shù)取值由式(19)—(22)確定。

f. 在原始詳細模型上驗證所設計的控制器的有效性。

4 仿真驗證

為了驗證所提方法的有效性，在如圖2所示的4機2區(qū)系統(tǒng)上驗證本文所提的控制策略，系統(tǒng)參數(shù)見文獻[28]，并將仿真結果與目前應用比較廣泛的基于LMI方法的自由權矩陣控制器進行比較。

圖2 4機2區(qū)系統(tǒng)Fig.2 Four-generator two-area system

4.1 模態(tài)分析、反饋信號和控制信號輸入點的選擇

模態(tài)分析結果見表1。可以看到，模式1為關鍵區(qū)間振蕩模式，廣域時滯阻尼控制器的設計目的就是要抑制這種振蕩模式。

表1 4機2區(qū)系統(tǒng)模態(tài)分析結果Table 1 Modal analysis results of four-generator two-area system

關于模式1的幾何可觀度指標見表2，為了簡潔，將幾何可觀度指標標準化，即將其中最大的指標作歸一化處理。由表2可知，發(fā)電機G1、G3轉子角偏差具有最大的幾何可觀性，因此將發(fā)電機G1、G3轉子角偏差作為廣域時滯阻尼控制器的反饋信號；發(fā)電機G3可控性最好，因此控制器的輸出信號輸入發(fā)電機G3的勵磁系統(tǒng)。

表2 模式1的幾何可觀度指標Table 2 Geometric observability index of Mode 1

4.2 基于參量Lyapunov理論的廣域時滯阻尼控制器的設計結果

將Po(γ)的表達式代入式(15)即可得出控制器的控制律。

將不同時滯τ代入式(19)—(22)確定控制器參數(shù)取值，得出對應的γ取值如表3所示。

表3 不同時滯時對應參數(shù)取值Table 3 Parameter range of γ corresponding to different values of time delay τ

4.3 仿真驗證

擾動為機組G1勵磁電壓在1 s時階躍5%,0.2 s后恢復為額定值。

4.3.1 固定時滯下所設計控制器效果驗證

圖3 無延時下仿真波形Fig.3 Simulative waveforms without time-delay

圖5 400 ms延時下仿真波形Fig.5 Simulative waveforms with 400 ms time-delay

圖6 500 ms延時下仿真波形Fig.6 Simulative waveforms with 500 ms time-delay

圖3—5分別為固定0、200 ms、400 ms時滯下機組G1與G3功角差δ1-3、聯(lián)絡線7-9傳輸功率P7-9響應時域仿真圖。圖6為500 ms時滯下參量Lyapunov控制器作用下的機組G1與G3轉速差、聯(lián)絡線7-9傳輸功率響應時域仿真圖。圖中NC表示無控制器，F(xiàn)WMC表示根據(jù)文獻[15]的方法設計的自由權矩陣控制器，PLC表示基于參量Lyapunov理論設計的控制器。由圖3可知，系統(tǒng)無時滯時參量Lyapunov控制器和自由權矩陣控制器都能有效阻尼振蕩，參量Lyapunov控制器的控制效果和動態(tài)性能都要更加優(yōu)越。由圖4可知，200 ms延時下參量Lyapunov控制器和自由權矩陣控制器都能有效阻尼振蕩，參量Lyapunov控制器的控制效果和動態(tài)性能依然要優(yōu)越于自由權矩陣控制器。由圖5可知，延時達到400 ms時，自由權矩陣控制器已經(jīng)不能很好地抑制這種區(qū)間低頻振蕩模式，這是因為超過了根據(jù)文獻[15]中的自由權矩陣方法設計的控制器的容忍時滯380.2 ms，而參量Lyapunov控制器則依然可以有效地抑制振蕩。由圖6可知，當延時達到500 ms時，參量Lyapunov控制器仍然能夠有效地抑制區(qū)間振蕩，表明該控制器可以在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下提供更大的容忍時滯，而系統(tǒng)時滯一般可以控制在500 ms內(nèi)[29]。即使時滯超過500 ms，也可以通過更新時滯取值，重新計算控制器參數(shù)，然后回代控制律表達式，設計出滿足時滯要求的參量Lyapunov控制器，這也是參量Lyapunov控制器的顯著優(yōu)點之一[19]。

4.3.2 時變時滯下所設計控制器效果驗證

圖7為驗證時變時滯下控制器性能的仿真波形，圖中PLC表示根據(jù)固定時滯(300 ms)設計的參量Lyapunov控制器，F(xiàn)WMC表示自由權矩陣控制器，SC表示基于參量Lyapunov理論設計的分時切換固定時滯控制器(以每隔2 s時間段內(nèi)最長時延作為時延參數(shù)，基于參量Lyapunov理論設計廣域時滯阻尼控制器)，RTC表示根據(jù)實時時滯基于參量Lyapunov理論設計的廣域時變時滯阻尼控制器。

① PLC，② FWMC，③ SC，④ RTC圖7 時變時滯下仿真波形Fig.7 Simulative waveforms with changing time-delays

由圖7可知，在處理時變時滯時，相比于固定時滯參數(shù)下設計的參量Lyapunov控制器、自由權矩陣控制器、分時段固定時滯參量Lyapunov控制器，基于參量Lyapunov理論的廣域時變時滯阻尼控制器能夠更快地平息區(qū)間傳輸功率振蕩，控制器的動態(tài)性能也要更加優(yōu)越。另外，在同樣使用基于參量Lyapunov理論設計廣域阻尼控制器時，分別采用固定時滯、分時切換固定時滯、實時時變時滯為時滯參數(shù)的3種參量下Lyapunov控制器效果及動態(tài)性能依次提升，說明在一般實際系統(tǒng)具有實時時變時滯情況下，控制器采用實時時變時滯參數(shù)設計的必要性，這也是本文基于參量Lyapunov理論設計廣域時滯阻尼控制器的初衷。

5 結論

本文提出了一種基于參量Lyapunov理論的廣域時滯阻尼控制器設計策略，在4機2區(qū)系統(tǒng)模型上驗證了所提控制方法的有效性，并通過與基于LMI方法設計控制器的效果對比，得出以下結論。

a. 相比基于LMI方法的自由權矩陣阻尼控制器，所提出的控制器設計簡潔，不需要對原系統(tǒng)進行等值和降階，也不需要將控制器設計問題轉換為復雜的LMI數(shù)學表達式，有效降低了控制器設計的復雜性和保守性。并且能給出與時滯參數(shù)顯式相關的控制律及參數(shù)取值，使得控制器對固定時滯和時變時滯系統(tǒng)都有良好的控制效果。

b. 相比基于LMI方法的自由權矩陣阻尼控制器，所提的控制器設計策略能夠提供更大的允許時延，在同樣的固定時滯條件下，所提的控制器動態(tài)響應性能更優(yōu)越，穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)所需的時間更短。

c. 相比基于LMI方法的自由權矩陣阻尼控制器，在時變時滯條件下，以時變時滯為參數(shù)設計的參量Lyapunov廣域時滯阻尼控制器效果和動態(tài)性能依然優(yōu)越于自由權矩陣控制器。

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