Stiefel流形上的單邊干擾對齊預編碼

凌必祥 解培中 李 汀

(南京郵電大學通信與信息工程學院，江蘇南京 210003)

1 引言

目前干擾對齊預編碼矩陣的求解，大多還是基于傳統(tǒng)的最優(yōu)化理論，雖然它們在求解時利用了不同的方法，但是這些方法都是基于傳統(tǒng)的優(yōu)化理論，這樣設計出的干擾對齊預編碼算法無論在性能還是在復雜度上都很難令人滿意，不能發(fā)揮出干擾對齊的優(yōu)勢。在文獻[13]中，將流形應用到預測量化中，它利用源信號的相關(guān)性，與傳統(tǒng)無記憶預測量化方案相比可以顯著的降低量化碼本的大小。在文獻[14-15]中，分別將流形應用到預編碼預測和信道預測，雖然文獻[13-15]都應用到流形，但是都是將流形應用于預測中。文獻[16]中提出了一種針對多個主用戶和多個次用戶的多輸入多輸出認知網(wǎng)絡，先利用編碼的方法消除主次用戶之間的干擾，在此基礎上建立等效模型，在等效模型的基礎上以總?cè)萘孔畲蠡癁槟繕撕瘮?shù)設計預編碼矩陣，對于預編碼矩陣的求解利用了Grassmann流形上的梯度法。然而，在利用Grassmann流形上的梯度法時要使得目標表達式滿足酉不變性，本文將Stiefel流形應用到多用戶MIMO系統(tǒng)的干擾對齊預編碼矩陣設計中，它不僅不需要滿足酉不變性，能夠簡化約束條件將有約束的預編碼矩陣優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的預編碼矩陣優(yōu)化問題進行求解，同時也繼承了單邊干擾對齊技術(shù)上的優(yōu)勢。本文利用文獻[17]給出的Stiefel流形上的一階偏導，梯度方向表達式，流形測地線軌跡曲線和平行傳輸切矢量，最終設計出Stiefel流形上的單邊干擾對齊最速下降預編碼算法和Stiefel流形上的單邊干擾對齊共軛梯度預編碼算法，通過設計出的算法求出干擾對齊預編碼矩陣。仿真結(jié)果表明，相比最優(yōu)化方法[12]優(yōu)化的單邊干擾對齊預編碼算法，本文設計出的Stiefel流形上的單邊干擾對齊預編碼算法的收斂速度更快、系統(tǒng)容量更高。

本文的符號說明：大寫和小寫粗體分別表示矩陣和列向量。對于任意一般矩陣X,XT、X*、XH分別代表轉(zhuǎn)置，共軛，共軛轉(zhuǎn)置。span(X)代表矩陣X的列空間。IN代表N×N單位陣。Cm×n代表m×n復矩陣?！?‖和tr(.)分別代表Frobenius范數(shù)和矩陣的跡。

2 系統(tǒng)模型

(1)

Hk,l∈CNl×Ml為發(fā)射器l到接收器k的復信道增益矩陣，Hk,l獨立同分布。wk∈CMk×1是均值為0，方差為1的加性高斯白噪聲。

圖1 K用戶MIMO干擾信道模型

經(jīng)過干擾消除矩陣Uk∈CMk×dk處理以后，得到的接收信號yk如下所示：

(2)

(3)

(4)

接下來，每個接收器對準不同的干擾子空間距離，那么不同干擾子空間的總和距離為：

(5)

3 單邊干擾對齊預編碼

為了方便討論，假設(Mk,Nk,dk)=(M,N,d),1≤k≤K，干擾信道是對稱信道。干擾對齊是在接收端對齊多用戶干擾，假設有用信號占據(jù)d維空間，那么干擾信號占據(jù)(N-d)維空間。為實現(xiàn)干擾對齊，最重要的是要找到一個合適的指標，用以指示不同干擾子空間的相對位置。在文獻[12]中，將不同干擾子空間的總和距離作為干擾對齊的指標，當不同的干擾子空間相互重疊時，這時可以認為它們之間的空間距離近似為零，也就可以認為實現(xiàn)了干擾對齊。

S1和S2是維度相同的兩個空間，定義S1和S2之間的弦距離為：

(6)

假設S1和S2是接收端干擾信號子空間，如果d(S1,S2)=0，這兩個干擾信號對齊。其中Pi是空間Si的正交投影，有：

(7)

(8)

接下來為方便描述，我們假設在干擾信道中存在三個收發(fā)器，即k=3。在三用戶干擾信道中，接收器1將發(fā)射器2和發(fā)射器3發(fā)射的信號視為干擾，接收器2將發(fā)射器1和發(fā)射器3發(fā)射的信號視為干擾，接收器3將發(fā)射器1和發(fā)射器2發(fā)射的信號視為干擾，因此，由以上可知每個接收器的干擾子空間弦距離可以表示為:

接收端1干擾子空間的弦距離為：

P1=‖P12-P13‖

(9)

接收端2干擾子空間的弦距離為：

P2=‖P21-P23‖

(10)

接收端3干擾子空間的弦距離為：

P3=‖P31-P32‖

(11)

(12)

在需要優(yōu)化的干擾子空間弦距離給出之前，先給出一些正交投影矩陣的知識，設X的列向量所張成空間的正交投影為A，由文獻[18]知，A具有如下的一些性質(zhì)：

AH=A

(13)

A×A=A

(14)

tr(In)=n

(15)

T=tr{(P12-P13)(P12-P13)H}+tr{(P21-P23)

(P21-P23)H}+tr{(P31-P32)(P31-P32)H}=

(16)

又因為tr(Pi, j)=d，1≤i,j≤3，d為發(fā)射端發(fā)射的空間數(shù)據(jù)流，經(jīng)過轉(zhuǎn)換后，T可表示為：

T=6d-2tr(P12P13)-2tr(P21P23)-2tr(P31P32)

(17)

假設f=tr(P12P13)+tr(P21P23)+tr(P31P32)，則干擾子空間弦距離之和T最小化等價于f最大化，即：

maxf=tr(P12P13)+tr(P21P23)+tr(P31P32)

(18)

4 Stiefel流形上的單邊干擾對齊方案

4.1 Stiefel流形的基本概念

Stiefel流形[19]是嵌入在歐氏空間里的微分流形，它是一個緊湊流形，可定義為滿足以下條件的矩陣集合：

St(n,p)={X∈Cm×p;XHX=Ip}

(19)

Stiefel流形的維度為：

(20)

Zj=Gj-YjGjYj

(21)

其中，Gj為目標表達式在Yj處的梯度即一階導數(shù)。要使得代價函數(shù)的自變量始終在流形內(nèi)沿著最陡下降沿方向移動，那么它必須遵循某種軌跡曲線運動，這種軌跡曲線就是流形的測地線[20]。它表示在局部范圍內(nèi)長度最短的曲線，對于Stiefel流形，可以將(21)做SVD分解：

(22)

其中Uj和Vj分別為左右酉矩陣，Σj為對角陣，假設每次迭代的步長為t，由文獻[17]可得出自變量Yj沿測地線的迭代軌跡為：

(23)

4.2 Stiefel流形上的最速下降干擾對齊算法

令HH21=(H21V1)HH21V1；HH31=(H31V1)HH31V1

(24)

令HH12=(H12V2)HH12V2；HH32=(H32V2)HH32V2

(25)

令HH13=(H13V3)HH13V3；HH23=(H23V3)HH23V3

(26)

假設在對稱3用戶MIMO干擾信道中，發(fā)射端和接收端分別配備M根天線，每個發(fā)射端發(fā)射d個數(shù)據(jù)流，可以設計出Stiefel流形上的最速下降干擾對齊算法，Stiefel流形上的最速下降干擾對齊算法的具體設計步驟如表1所示。

表1 Stiefel流形上的最速下降干擾對齊算法

4.3 Stiefel流形上的共軛梯度干擾對齊算法

表2 Stiefel流形上的共軛梯度干擾對齊算法

5 數(shù)值仿真和收斂性及復雜度分析

5.1 數(shù)值仿真

這一部分我們給出仿真結(jié)果，通過仿真結(jié)果比較了本文提出的Stiefel流形上的共軛梯度算法、Stiefel流形上的最速下降算法與最速下降算法的和速率與收斂性。和速率的計算公式可以表示為:

(27)

我們考慮系統(tǒng)(M,N,d)K，發(fā)射端和接收端分別配備K個發(fā)射器和接收器，每個發(fā)射器和接收器分別配備M根天線和N根天線，每個用戶期望發(fā)送d個數(shù)據(jù)流。每個用戶對有完全相同的發(fā)射功率，即Pk=P,k=1,…,K。在接收端對噪聲進行歸一化處理后，功率P就代表SNR，所有信道之間相互獨立，在本文提供的所有算法中，設置步長t為0.05。

在圖2和圖3中， 我們畫出了在(4×4,2)3和(6×8,2)4干擾信道中三種算法的代價函數(shù)和迭代次數(shù)的收斂曲線，式(20)中的f為代價函數(shù)，從仿真結(jié)果可以看出，Stiefel流形上的共軛梯度算法收斂速度最快，Stiefel流形上的最速下降算法次之，普通的最速下降算法的收斂速度最慢，在Stiefel流形上建模求最優(yōu)化問題的收斂性比普通優(yōu)化算法的收斂性更好。

圖2 在(4×4,2)3干擾信道中的收斂曲線

圖3 在(6×8,2)4干擾信道中的收斂曲線

在圖4和圖5中，我們分別畫出了在(4×4,2)3和(6×6,2)4干擾信道中四種算法的和速率曲線，從圖4和圖5中可以看出，在相同SNR條件下，Stiefel流形上的共軛梯度算法的和速率最大，同時，隨著用戶數(shù)的增加和速率也在不斷的增加。

圖4 在(4×4,2)3干擾信道中的和速率曲線

圖5 在(6×6,2)4干擾信道中四種算法的和速率曲線

5.2 收斂性及復雜度分析

迭代算法總的復雜度是由迭代次數(shù)和每次迭代復雜度的乘積共同決定的，由文獻[21]可知，Stiefel流形上的復雜度和一般優(yōu)化理論的算法復雜度，都和矩陣的維度M成漸進3次方關(guān)系。由以上的分析可知，Stiefel流形上的干擾對齊預編碼算法的迭代復雜度要遠遠小于一般優(yōu)化理論的干擾對齊預編碼算法且Stiefel流形上的干擾對齊預編碼算法的迭代次數(shù)要小于或者近似等于一般優(yōu)化理論的干擾對齊預編碼算法，所以Stiefel流形上的干擾對齊預編碼算法的復雜度要低。

6 結(jié)論

本文由單邊干擾對齊技術(shù)設計出了Stiefel流形上的單邊干擾對齊預編碼算法，利用了干擾子空間的弦距離，將干擾子空間的弦距離之和是否為零作為接收端干擾子空間是否對齊的度量標準，并將子空間弦距離用函數(shù)表達式的形式給出，該函數(shù)表達式一階可導，這樣干擾對齊條件下的預編碼矩陣求解問題，轉(zhuǎn)化為如何利用最優(yōu)化的方法求解預編碼矩陣問題。一般求最優(yōu)化問題都是利用最優(yōu)化知識進行求解，然而本文將Stiefel流形模型應用于預編碼矩陣的求解，這樣可以將有約束的預編碼矩陣求解問題轉(zhuǎn)化為無約束的預編碼矩陣求解。從仿真結(jié)果可以看出，Stiefel流形上的共軛梯度算法與Stiefel流形上的最速下降算法和最速下降算法相比和速率提高了且收斂速度加快了。

[1] Cadambe V R, Jafar S A. Interference alignment and degrees of freedom of the K-user interference channel[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2008, 54(8):3425-3441.

[2] Jafar S A, Fakhereddin M J. Degrees of freedom for the MIMO interference channel[C]∥IEEE International Symposium on Information Theory, IEEE, 2006:1452-1456.

[3] Yetis C M, Gou T, Jafar S A, et al. On feasibility of interference alignment in MIMO interference networks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 58(9):4771- 4782.

[4] Colman G W K, Muruganathan S D, Willink T J. Distributed interference alignment for mobile MIMO systems based on local CSI[J]. Communications Letters IEEE, 2014, 18(7):1206-1209.

[5] Xu Tianyi, Xia Xianggen. A diversity analysis for distributed interference alignment using the max-SINR algorithm[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2014, 60(3):1857-1868.

[6] Farka P, Staron M, Schindler F. Distributed interference alignment in partially connected networks without preliminary topological knowledge[C]∥IEEE International Conference on Future Internet of Things and Cloud Workshops, IEEE, 2016:103-108.

[7] Gomadam K, Cadambe V R, Jafar S A. Approaching the capacity of wireless networks through distributed interference alignment[C]∥IEEE Global Telecommunications Conference, IEEE, 2008:1- 6.

[8] Peters S W, Heath R W. Interference alignment via alternating minimization[C]∥IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Computer Society, 2009:2445-2448.

[9] Raj Kumar K, Xue Feng. An iterative algorithm for joint signal and interference alignment[C]∥IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings, IEEE, 2010:2293-2297.

[10] Panahi F H, Ohtsuki T, Jiang Wenjie, et al. Joint interference alignment and power allocation for multi-user MIMO interference channels under perfect and imperfect CSI[J]. IEEE Transactions on Green Communications and Networking，2017:131-144.

[11] Ghauch H G, Papadias C B. Interference Alignment: A one-sided approach[C]∥Global Telecommunications Conference, IEEE, 2011:1-5.

[12] Wang Chao, Zhang Bohan, Zhang Xiaodan, et al. Linear precoder designs for interference alignment in constant MIMO interference channels[C]∥Wireless Communications and NETWORKING Conference, IEEE, 2013:3573-3578.

[13] Schwarz S, Rupp M. Predictive quantization on the Stiefel manifold[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(2):234-238.

[14] Li Ting, Li Fei, Li Chunguo. Manifold-based predictive precoding for the time-varying channel using differential geometry[J]. Wireless Networks, 2016, 22(8): 2773-2783.

[15] 李汀. Grassmannian流形上基于高分辨率動態(tài)聚焦碼本的MIMO信道預測[J]. 信號處理, 2016, 32(6):724-732.

Li Ting. MIMO channel prediction based on the dynamic focused codebook with high resolution on the Grassmannian manifold[J]. Journal of Signal Precessing, 2016, 32(6):724-732. (in Chinese)

[16] 聶俊美, 謝顯中, 張森林,等. 多用戶認知網(wǎng)絡中基于Grassmann流形梯度法的干擾對齊算法[J]. 信號處理, 2016, 32(3):362-369.

Nie Junmei, Xie Xianzhong, Zhang Senlin, et al. Multi-user interference alignment using gradient method on Grassmann manifold in cognitive radio networks[J]. Journal of Signal Precessing, 2016, 32(3):362-369.(in Chinese)

[17] Edelman A, Arias T A, Smith S T. The geometry of algorithms with orthogonality constraints[J]. Siam Journal on Matrix Analysis & Applications, 1998, 20(2):303-353.

[18] 張賢達. 矩陣分析與應用[M]. 北京：清華大學出版社, 2013.

Zhang Xianda. Matrix analysis and applications[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2013. (in Chinese)

[19] Absil P A, Mahony R, Sepulchre R. Optimization algorithms on matrix manifolds[M]. Princeton University Press, 2009.

[20] Yilmaz S A, Kerimoglu O S, Pekin A T, et al. On gradient adaptation with unit-norm constraints[J]. Signal Processing IEEE Transactions on, 1999, 48(6):1843-1847.

[21] 王存祥, 邱玲. 協(xié)作多點傳輸中一種基于特征子信道的干擾對齊預編碼矩陣優(yōu)化方案[J]. 信號處理, 2011, 27(3):395-399.

Wang Cunxiang,Qiu Ling.An optimized precoding scheme based on eigen-channel in interference alignment for coordinated multi-point transmission systems[J]. Signal Processing, 2011, 27(3):395-399.(in Chinese)