秦九韶在代數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)

孫莉

摘 要：秦九韶（1202—1260）是中國古代數(shù)學(xué)家，所著《數(shù)書九章》是繼《九章算術(shù)》后我國最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典?！稊?shù)書九章》載算題81道，分九章，約27萬字，接觸面很廣，在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響。秦九韶在代數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要表現(xiàn)在線性方程組、數(shù)值解多項式方程以及一次同余式三個方面。

關(guān)鍵詞：秦九韶；代數(shù)學(xué)；主要貢獻(xiàn)

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）27-0182-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.27.111

一、線性方程組

在《九章算術(shù)》的方程章節(jié)中，有關(guān)于線性方程組解法論述中的計算程序基本上與今天所講的矩陣初等變換相當(dāng)。即從題給增廣矩陣開始，系數(shù)矩陣經(jīng)過變換之后成為三角矩陣，再進(jìn)行回代，最后將答案得出。《九章算術(shù)》之后的《數(shù)書九章》對該傳統(tǒng)予以繼承和發(fā)揚(yáng)，具體而言就是在“推求物價”和“均貨攤本”的習(xí)題中將《九章算術(shù)》所采用的“遍乘直除”創(chuàng)新為“互乘相消”，之后將系數(shù)矩陣進(jìn)行變換，直至單位矩陣。其題后的草文中，即將我國13世紀(jì)時的線性方程組的解答全過程予以真實(shí)記錄，而“均貨攤本”題則與以下方程組相當(dāng)：

58w+52x=106000，1670y+15x=106000，264z+800y=106000，200w+40z=106000.

可以說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“高斯消去法”與該解法完全一致，我國在解線性方程組方面所取得的先見遠(yuǎn)早于西方。

二、數(shù)值解多項式方程

公元1261年，楊輝在其所著的《詳解九章算法·纂類》中對北宋數(shù)學(xué)家賈憲所提出的增乘方法做了詳細(xì)記述，綜合前人在開平方、開立方方面所取得的算法成果提出了數(shù)值解正系數(shù)三次方程的新方法，具有極為深遠(yuǎn)的意義和影響。該種方法與之前的算法相比極為簡便，可以避免之前需要記憶新舊方程系數(shù)關(guān)系的繁瑣，能夠按部就班，直接得出結(jié)果。此后，秦九韶又將增乘方法進(jìn)行推廣，將其擴(kuò)展為正負(fù)開方，以便于解答算題中的26個多項式方程。具體到正負(fù)開方，即數(shù)值解一般多項式方程：

a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0

在該方面，秦九韶所取得的成果主要表現(xiàn)在以下四點(diǎn)：第一點(diǎn)，除a0≠0，an<0之外，對方程系數(shù)不做正數(shù)的限制；第二點(diǎn)，n不限于3，例如，在《數(shù)書九章》的“遙度圓城”中，n=10；第三點(diǎn)，擴(kuò)（縮）根、估根、減根有完整算法程序，在運(yùn)算中，秦九韶通常先采用擴(kuò)（縮）根，使新方程的根x的整數(shù)部分[x]是個位數(shù)，然后估計這個[x]，再根據(jù)y=x-[x]做減根變換……多次運(yùn)算，直至達(dá)到所需要的精度；第四點(diǎn)，x1經(jīng)過擴(kuò)根之后變換為x1=10x，其方程則設(shè)為：

秦九韶認(rèn)為所求方程的根是：

x≈[x]+

當(dāng)然，中亞細(xì)亞學(xué)者阿爾·卡西（？—1436年）在其著作《算鑰》中也提出了與我國增方法程序步驟大致相同的開任意次方的算法，但在時間上比賈憲推遲了近四個世紀(jì)，比秦九韶也將近晚了200年。歐洲關(guān)于數(shù)值解多項式方程的系統(tǒng)研究則始于19世紀(jì)初期，且以霍納（W.G.Horner，1789—1837年）這位英國學(xué)者最負(fù)盛譽(yù)，但他無擴(kuò)（縮）根步驟，在算法程序和數(shù)據(jù)處理方面也比較紊亂。

三、一次同余式（組）

《孫子算經(jīng)》（約400年時成書）卷下第26題提出了解同余組：x≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）的問題，《數(shù)書九章》卷1、卷2共9題以及卷3第3題（“治歷演紀(jì)”）都要解一次同余組。在解答這10道題時，秦九韶基于“大衍數(shù)術(shù)”提出了具體解法并將詳細(xì)計算過程記錄于題后的草文之中?！按笱芸倲?shù)術(shù)”，全文855字，共涵蓋了15組數(shù)學(xué)命題，同時綜合考慮了10道算題，辭簡意賅，其中重要成果可以歸結(jié)為以下三項：

第一點(diǎn)，《孫子算經(jīng)》解題方案僅限于數(shù)值例子，大衍總數(shù)術(shù)則對于一般同余組提出了完整的解題程序。即，對于同余組： x≡ri （modmi） ①

1≤i

先解 MiFI ≡1（modmi）

其中Mi=M/mi，而M=mi，則①的解是： x=MiFI ri（modM）。

此即，著名的中國剩余定理。

第二點(diǎn)，《孫子算經(jīng)》中所設(shè)想的同余組①中的模數(shù)都兩兩互素。在我國古代歷法的實(shí)際計算中，經(jīng)常出現(xiàn)模數(shù)不兩兩互素的情況，在沒有素數(shù)概念的條件下，大衍總數(shù)術(shù)設(shè)計了“化不兩兩互素的模為兩兩互素、且與題設(shè)同余組等價”的計算程序。用現(xiàn)代語言表述該程序則為，對同余組①，如（mi，mj）=d>1，從關(guān)系式：

{mi，mj}=mi，mj/（mi，mj）

把mi一一變換為μi，使同時滿足：

μi| mi，（μi，μj）=1，μi={m1，m2，…，mn}，

于是新同余組： x≡ri （modμi） ②與①等價。

第三點(diǎn)，對同余式

ax ≡ 1（modb） ③

其中（a，b）=1，提出了一般解法，秦九韶將之稱為“大衍求一術(shù)”。倘若a，b的數(shù)值比較小的話，則可以在b的完全剩余類中猜測得出所求數(shù)x的解。然而，a和b在實(shí)際運(yùn)算中卻通常成千上萬，以我國古代歷法計算為例即是如此，只有將“大衍求一術(shù)”予以引入才能順利解決問題。對該理論進(jìn)行現(xiàn)代闡釋即為：采用歐幾里得算法對a，b兩數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，分別記錄其所得的商和對應(yīng)的余數(shù)如下：

q1，q2，…qn，r1，r2，…，rn=1，rn+1=0

如果n是單數(shù)，我們記，ji=qi ji-1+ji-2并且j0=0，ji=1，那么x=jn就是③的解。

毫無疑問，秦九韶于13世紀(jì)所作出的一次同余論領(lǐng)域的創(chuàng)造發(fā)明具有里程碑式的意義。此外，日本古典數(shù)學(xué)中的和算也向來將中算作為自己的“老師”。例如，晚于秦九韶四個世紀(jì)之久的日本著作學(xué)者直至關(guān)孝和在其著作《括要算法》中詳細(xì)記載了秦九韶的相關(guān)研究成果。就一次同余理論而言，西歐的歐拉、拉格朗日和高斯等多位代數(shù)學(xué)家經(jīng)過長達(dá)半個世紀(jì)之久所取得的成就才與秦九韶大體相當(dāng)，且最早是在19世紀(jì)初（1801年）才有關(guān)于同余理論的全面論述。

參考文獻(xiàn)：

[1] 查有梁.秦九韶在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006（3）.

[2] 沈康身.秦九韶對數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)[J].自然雜志，1989（1）