加勁環(huán)鋼管均勻外壓彈性屈曲解的對比分析

齊文彪，張 明，鄭雙凌，李國棟，3，馬吉明

（1.吉林省水利水電勘測設(shè)計研究院，吉林 長春 130021；2.清華大學(xué) 水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084；3.內(nèi)蒙古大學(xué) 交通學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070）

1 研究背景

露天或埋藏式的壓力鋼管廣泛應(yīng)用于水利水電等工程中［1-4］，其管壁都很薄，尤其是高強鋼鋼管，太厚則卷板容易造成塑性變形進入強化階段，塑性損失大，若因厚板焊接的焊接殘余應(yīng)力較大，還要進行消除應(yīng)力的熱處理。在停機、檢修的放空工況下，受管外大氣壓力或外水壓力作用下，鋼管的穩(wěn)定性成為重點考慮的問題。對鋼管進行環(huán)向加強可能比單純增加管厚更有效，也更節(jié)約鋼材。

壓力鋼管外壓屈曲的環(huán)向預(yù)防措施通常采用加勁環(huán)。加勁環(huán)是管道上沿圓周方向設(shè)置的局部加勁部件，可用鋼板、角鋼、T形鋼或槽鋼等沿管環(huán)向焊接而成。與無加勁環(huán)的光面管道相比，帶加勁環(huán)的薄鋼管的外壓屈曲具有不同的特點［5］。加勁環(huán)的存在使管壁的屈曲變形受到阻礙，波數(shù)增多，波幅減小，單憑直覺確定加勁環(huán)管的屈曲變形是比較困難的。

加勁環(huán)間管道可模型化為兩端受約束的圓柱殼［6］。研究兩端受約束的圓柱薄殼的外壓屈曲在管道、壓力容器等設(shè)計中也尤為重要。在進行理論分析時，加勁環(huán)通常被假定為對環(huán)平面外沒有剛性，只對環(huán)平面內(nèi)的變形有剛性。加勁環(huán)對管道全部作用可以通過數(shù)值仿真或試驗來揭示。

理論研究［6-8］表明，加勁環(huán)的間距對增強效果影響顯著，當加勁環(huán)相距很遠，加勁環(huán)對較遠處的管壁不施加顯著影響，此時加勁環(huán)管與光面管具有相近的屈曲壓力。兩端受約束的圓柱薄殼有一個臨界長度［7，9-11］，再長就跟無限長圓柱薄殼的屈曲問題一樣了，因此加勁環(huán)管也具有一個可忽略加勁環(huán)的最小環(huán)間距值，可稱為臨界間距。水電站壓力鋼管外壓穩(wěn)定設(shè)計的基礎(chǔ)依然是這些理論分析成果。數(shù)值方法［12-14］或試驗方法［9，15-18］能考慮更為復(fù)雜的加勁環(huán)管道的外壓屈曲問題，如可考慮管道的初始缺陷、管道與加勁環(huán)的相互作用和管壁與管外混凝土間的初始縫隙等，則更接近實際情況。

均勻外壓作用下加勁環(huán)管的屈曲臨界壓力的精確解析表達式比較復(fù)雜，出于不同的考慮對其簡化是必要的，我國水電站加勁環(huán)鋼管設(shè)計就是利用了簡化后的表達式。弄清簡化式與精確解的差別，對設(shè)計規(guī)范的安全裕度做到心中有數(shù)也是必要的，而且輔以計算機更為復(fù)雜些的設(shè)計表達式已不再是一個問題。此外，利用有限元精細計算，考察這些精確的或近似的解析解與實際加勁環(huán)鋼管的屈曲臨界壓力的差別，能更準確地確定加勁環(huán)管的設(shè)計安全系數(shù)。

2 均勻外壓作用下加勁環(huán)鋼管的屈曲分析

2.1 臨界外壓的解析計算一段圓柱薄殼（例如半徑r與壁厚t之比r/t＞10）受均勻徑向外壓作用，其兩端面簡支，端部徑向變形受到約束從而保持端部的初始圓形，端部的軸向變形和轉(zhuǎn)角不受限制，則關(guān)于該段圓柱殼的彈性屈曲外壓，有以下著名的Mises解［6］：式中：E、μ分別為圓柱殼的彈性模量和Poisson比；l為圓柱殼的長度；n為圓柱殼屈曲時在整個圓周條帶里的波數(shù)。根據(jù)式（1），上述圓柱殼在外壓下的穩(wěn)定取決于材料物理力學(xué)性質(zhì)，也決定于其長徑比和厚徑比，屈曲外壓與彈性模量的單位相同。將薄壁圓管的加勁環(huán)理想化為上述簡支座，即認為理想化的加勁環(huán)只約束加勁環(huán)處的徑向變形保持該處為初始圓形，不限制管壁的傾斜，則式（1）就是加勁環(huán)間管的彈性屈曲外壓公式。

式（1）是理論上的精確解，為了更便于應(yīng)用，可對其進行簡化。例如，一個被我國設(shè)計規(guī)范［1］所采用的近似表達式為：

又如，文獻［10］給出、被文獻［19］采用的近似表達式為：

式（1）可寫成［10］

其中：a1=b（2-b）/（1-b）2，a2=（3+μ）b+（1-μ2）b2，a3=（1+μ）b-（1+μ+μ2）b2-（1+μ）（1+μ2）b3+μ（1+μ）2b4，b=1/［n2l2/（π2r2）+1］。

式（2）是在式（4）中令a1=2b，a2=（3+μ）b，a3=（1+μ）b，即忽略含有b的1次以上的項而得到的。式（3）也出于同樣考慮，但略微減小了第2項中的分母。式（4）看似簡單，但參數(shù)a1、a2和a3意義不明確，和式（4）同時都含有變量n和l/r。

可以設(shè)想，加勁環(huán)相距過遠，不能有效約束管的屈曲變形，屈曲波形與光面管的接近，有2個屈曲波。特別地，當環(huán)間距l(xiāng)→∞時，n=2，則式（1）—式（3）均可化為光面管的屈曲臨界外壓公式，即［1，11］：

加勁環(huán)管的彈性屈曲臨界外壓即由式（1）、式（2）或式（3）給出的pi（i=1，2，3）的最小值。在管的材料和幾何參數(shù)給定后，pi僅是波數(shù)n的函數(shù)。此時臨界外壓的求解就成為了一個非線性整數(shù)規(guī)劃問題，即：

可先解與此整數(shù)規(guī)劃問題對應(yīng)的松弛問題，將所得到的n化為最接近的自然數(shù)，再求出與此自然數(shù)對應(yīng)的外壓值。通?？擅杜e試算或利用在一定實用區(qū)間的表達式或圖表［1］。

2.2 屈曲外壓公式的差別分析式（2）減去式（1），可得：

注意到0＜μ＜0.5，n≥2，容易驗證式（7）的大括號中關(guān)于l/（πr）的多項式的系數(shù)均為正，于是可知p2＜p1。

式（3）與式（1）之差為：

在式（8）中，同理容易驗證大括號中關(guān)于l/（πr）的多項式的系數(shù)均為正，但是因子n2l2/（π2r2）-1的符號取決于環(huán)間距l(xiāng)。當l＞ πr/n時，p3＞p1。當l＜ πr/n時，p3＜p1。

式（3）與（2）式相減，得：

顯然，l＞ πr/n時，p2＜p3；l＜ πr/n時，p2＞p3。

當波數(shù)n增多時，式（7）和式（8）均表明，近似的式（2）和式（3）與精確式（1）的差別會縮小，而根據(jù)式（9），式（2）和式（3）的差別也會縮小。

近似式（2）總是無條件地比精確解式（1）小，在設(shè)計上更為保守，形式也比較簡潔，因此被我國規(guī)范采用，以下主要針對式（1）和式（2）進行分析。在通常的環(huán)間距情況下，式（3）比式（1）大，當然也比式（2）大。只有在管道上的加勁環(huán)很密集的情況下，式（3）會比式（2）還要小，自然也比式（1）小。

長期以來，加勁環(huán)式鋼管屈曲外壓不同計算公式的上述差別被忽略，分析它們的差別有一定的意義，例如工程設(shè)計中可采用式（2），不宜采用式（3），但作為有限元等數(shù)值方法的檢驗［12］則是不妥的，應(yīng)當利用式（1）。

近似解的精度分析，如式（2）和式（3）哪一個更接近精確解（1），從式（7）和式（8）知是十分困難的，可以通過有限元法結(jié)果加以驗證。

2.3 加勁環(huán)臨界間距的確定當加勁環(huán)的間距大到一定程度，對管的外壓屈曲的影響變?nèi)?，加勁環(huán)管的屈曲變形與光面管的接近，用式（1）—式（3）得到的屈曲臨界外壓與式（5）算出的區(qū)別很小，這樣的間距可認為是加勁環(huán)的臨界間距。在臨界間距范圍內(nèi)，需要考慮加勁環(huán)對管的外壓穩(wěn)定性的增強作用，否則可按光面管處理，由此造成的誤差可忽略不計。

加勁環(huán)的臨界間距l(xiāng)0的取值并無定論。Southwell［7］根據(jù)很不準確的屈曲外壓公式的分析并取Pois?son比μ=0.3后得到l0/r=3.85（r/t）1/2，而l0/r=4.90（r/t）1/2是Cook［9］的試驗結(jié)論并被文獻［11］采用。

加勁環(huán)的臨界長度不僅取決于管徑和管厚，應(yīng)當還和忽視加勁環(huán)而采用光面管臨界外壓公式的容許誤差有關(guān)。參照文獻［7，9］，設(shè)加勁環(huán)的臨界間距相對值為：

這樣只需確定乘子k即可。

用式（10）的l0替代式（1）中的l計算p1，此即意味著管的屈曲波數(shù)n=2。假設(shè)p1與式（5）所得p0（＜p1）的相對誤差為5%，即（p1-p0）/p0=0.05，此式與彈性模量E無關(guān)，僅與Poisson比μ有關(guān)，可令μ=0.3。經(jīng)過化簡整理，可得到確定k的方程為：

給定t/r，由多項式方程（11）可解得12個根，僅取其中唯一的正實數(shù)根。從式（11）可發(fā)現(xiàn)，當t/r→0時，方程趨于k4-147.74=0，亦即對于t/r很小的鋼管，k十分接近于3.4864。式（11）在一些薄壁管t/r下的k值列于表1，此t/r范圍已能包括水電站壓力鋼管的厚徑比［20］。

表1的結(jié)果可擬合成下式：

表1 式（11）的解k

與得到式（11）同理，令n=2，μ=0.3，將式（2）的l換以式（10）的l0，按所得p2和式（5）所得p0相差不超過0.05p0的原則，可得以下確定k的方程：

式（13）在水電站工程常見的r/t下的解列于表2，式（14）是對表中數(shù)據(jù)的擬合。

表1和表2的數(shù)據(jù)點，以及式（12）和式（14）給出的曲線，都描繪在圖1中。從圖1看到，精確式（1）和近似式（2）所確定的加勁環(huán)臨界間距，其數(shù)據(jù)點相差甚微，曲線異常接近，說明兩式所對應(yīng)的加勁環(huán)臨界間距差別很小，可以統(tǒng)一給出。

經(jīng)過對數(shù)字的圓整化，本文建議加勁環(huán)臨界間距式（10）中的k按下式確定：

式（15）的曲線也表示在圖1中，它位于上述所有數(shù)據(jù)點和曲線的上部，在5%容差的基礎(chǔ)上又保守了一些。利用式（15）來確定臨界間距，比前述k=3.85［7］或4.90［9］一刀切的辦法，進一步計及厚徑比的影響，又趨合理，所采用的方法和原則對其他材料（Poisson比不同于0.3）的管道也是適用的。

加勁環(huán)的臨界間距不同于加勁環(huán)的等效翼緣寬度［20］，通常較大。例如，如果管的r/t=100，即便按照式（15）和式（10），臨界間距l(xiāng)0也可達35.85r，遠比加勁環(huán)的實際設(shè)置間距［20］大。由此看來，在實際水電站工程中，壓力鋼管的加勁環(huán)對其外壓穩(wěn)定均有幫助，優(yōu)化加勁環(huán)的間距必要的。

圖1 加勁環(huán)臨界間距l(xiāng)0=kr（r/t）1/2的乘子k

3 均勻外壓作用下加勁環(huán)鋼管的屈曲分析精度

3.1 解析計算公式的精度分析設(shè)一段鋼管半徑r=1.5 m，壁厚t=1 cm，兩端設(shè)置加勁環(huán)，間距為l=1.5 m。鋼材的彈性模量E=206 GPa，Poisson比μ=0.3。容易驗證，加勁環(huán)間距小于式（15）給出的臨界間距65 m，因此有必要考慮加勁環(huán)的影響。

對此鋼管，利用式（1）、式（2）或式（3）即可算出不同屈曲波數(shù)所對應(yīng)的屈曲外壓，或者直接求解相應(yīng)的非線性整數(shù)規(guī)劃問題（式（6）），可直接得到彈性失穩(wěn)時的臨界外壓及其屈曲波數(shù)。而用有限元法做特征值屈曲分析，可獲得各階屈曲外壓，還能夠直觀顯示相應(yīng)的屈曲模態(tài)。

計算采用有限元軟件Abaqus。在特征值屈曲計算中，邊界條件是相對于屈曲過程中的增量位移，而不是屈曲前由作用力引起的總位移而定義的。因此，邊界條件可以為：管兩端的徑向位移為零，中段的圓周上軸向位移為零。采用4節(jié)點曲殼單元S4R，這種單元可用于薄殼或厚殼結(jié)構(gòu)建模，采用減縮積分方式，包含沙漏模式控制，容許有限薄膜應(yīng)變。劃分單元時最大尺寸為0.02 m，共劃分 個單元。網(wǎng)格剖分很密，是為了保證有限元計算結(jié)果較為可信，可與解析計算相互參照。

鋼管的第1階屈曲模態(tài)見圖2，為軸向半個波、周向9個波。圖2（c）還顯示，管端不再位于一個平面內(nèi)，出現(xiàn)了交錯鼓起翹曲。前9階屈曲外壓和波數(shù)列于表3，相應(yīng)的解析計算值也同時列出。圖3為根據(jù)表3數(shù)據(jù)所繪局部放大圖，描繪了屈曲外壓隨屈曲波數(shù)的變化。

圖2 加勁環(huán)鋼管的屈曲模態(tài)

表3 加勁環(huán)鋼管的屈曲外壓 （單位：kPa）

表3和圖3表明，有限元解與精確式（1）的解最為接近，說明本文改寫成的表達式正確無誤；式（3）比式（2）更接近于精確解，而且屈曲波數(shù)越大，其差別越小，也越準確。通過比較再次驗證了通常情況下，精確解式（1）大于近似解式（2）、小于近似解式（3）。

考慮增大加勁環(huán)間距，l=3 m，其他條件均不變。按同樣的單元劃分標準，共劃分 個S4R單元。表4給出前9階屈曲的計算結(jié)果以及相應(yīng)的解析解。近似解與精確解的大小關(guān)系以及接近程度等的規(guī)律依然與前相同，不同的是因為環(huán)間距的增大，屈曲壓力顯著降低，而且在第9階屈曲時，當外壓為870.15 kPa時的屈曲模態(tài)不再是沿軸向半個波，而是1個完整的波，管中段圓周成為2個半波間的節(jié)圓（見圖4），此時解析解已不再適用。

3.2 實際加勁環(huán)鋼管的解析解與有限元解的比較實際的加勁環(huán)除具有較大徑向剛度以實現(xiàn)抵抗徑向變形的功能外，在管軸方向也有一定的抗彎剛度，而且由于管道較長，加勁環(huán)自身沿管道軸向的變形為零或幾乎為零。這樣，水電站等工程中的管道，在加勁環(huán)等處的位移和轉(zhuǎn)角都會受到某種阻礙，與加勁環(huán)僅限制管的徑向位移的標準情況不完全一致，其彈性屈曲很難完全用解析方法分析。

以下考慮3種依次加強的加勁環(huán)約束：（1）約束A，一端約束徑向位移，另一端約束徑向位移和軸向位移；（2）約束B，兩端均約束徑向位移和軸向位移；（3）約束C，兩端均施加固端約束，限制所有位移和轉(zhuǎn)角。水電站中，靠近伸縮節(jié)處的加勁環(huán)約束比較接近于約束A，鎮(zhèn)墩與廠房混凝土墻對鋼管的約束比較接近于約束C，長鋼管上的加勁環(huán)在管道屈曲時不會沿軸向移動，適合用約束B模擬。

圖3 不同屈曲波數(shù)對應(yīng)的加勁環(huán)鋼管的屈曲外壓

表4 加勁環(huán)間距增大后鋼管的屈曲外壓 （單位：kPa）

圖4 加勁環(huán)鋼管的具有2個軸向半波的屈曲模態(tài)

以前述鋼管為例，加勁環(huán)間距l(xiāng)=1.5 m，利用有限元法計算在3種加勁環(huán)約束下的屈曲外壓，并與理論解作對比。理論解可通過式（1）相應(yīng)的非線性整數(shù)規(guī)劃問題解得。

表5 鋼管在加勁環(huán)不同約束下的屈曲外壓 （單位：kPa）

表5給出了鋼管在不同加勁環(huán)約束下的前8階屈曲外壓。從表5可見，加勁環(huán)約束的增強提高了鋼管各階的屈曲外壓包括臨界屈曲外壓，約束越強則屈曲外壓越高。

表6給出了不同環(huán)間距的鋼管在不同約束下的臨界外壓及其提高程度，其中包括水電站常見的加勁環(huán)間距如l/r=0.5～5.0。由表6可知，實際水電站壓力鋼管的臨界外壓，比按式（1）的估計值高出不少。例如，按最為常見的約束B、l/r為1～2考慮，可比按式（1）的設(shè)計高20%～30%，加勁環(huán)較密時提高率相對較低，加勁環(huán)較疏時提高率還要更高。鋼管端面在約束B或約束C下始終處在同一平面，文獻［13］的有翹曲是不符合實際的。

表6 鋼管在不同間距的加勁環(huán)約束下的屈曲臨界外壓 （單位：kPa）

任何超過標準約束的加固都提供了額外的安全度。因此，就水電站的實際情況而言，精確式（1）已經(jīng)是偏于安全的，規(guī)范采用的式（2）就更加保守了。

4 結(jié)論

本文分析了加勁環(huán)管均勻外壓彈性屈曲壓力公式，對其精確式與簡化式做了比較，推導(dǎo)了加勁環(huán)的臨界間距，考察了臨界壓力解析解與有限元解的偏差。主要結(jié)論有：（1）加勁環(huán)管均勻外壓彈性屈曲壓力公式是臨界壓力解析求解的基礎(chǔ)，決定了臨界壓力值的精確程度，其簡化式給出臨界外壓的近似解。我國水電站加勁環(huán)壓力鋼管設(shè)計采用的簡化式給出的臨界外壓小于精確解，這是在設(shè)計中需要明確的。（2）屈曲外壓公式僅考慮加勁環(huán)的徑向約束作用，與加勁環(huán)管的工程實際不完全相符，給出的屈曲臨界外壓均偏小，完全依靠解析解進行設(shè)計是保守的，我國水電站加勁環(huán)鋼管設(shè)計則更加保守，這也是需要明確的。加勁環(huán)管的外壓穩(wěn)定性分析和設(shè)計可輔以有限元法等更接近實際的方法，以考慮實際加勁環(huán)的嵌固作用。（3）當加勁環(huán)的間距過大以至超過臨界間距時，加勁環(huán)管可按光面管分析其外壓穩(wěn)定性。臨界間距應(yīng)綜合考慮管道厚徑比的影響，按式（10）和式（15）估計是比較合理和穩(wěn)妥的。水利水電等工程中管道上的加勁環(huán)間距均較密，小于臨界間距，加勁環(huán)對管的外壓穩(wěn)定性的作用都很顯著，不能忽略。