高中數(shù)列教學(xué)中如何優(yōu)化學(xué)生的思維能力

鄧婕

【摘 要】在高中教育階段，數(shù)學(xué)作為最重要的學(xué)科之一，對(duì)學(xué)生的要求很高，高中數(shù)學(xué)知識(shí)繁雜冗長(zhǎng)，學(xué)生難以把握，且對(duì)學(xué)生思維、邏輯及綜合能力有很高的要求。本文以數(shù)列教學(xué)為例探討教師如何幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中優(yōu)化自己的思維能力，本文從五個(gè)方面給出了建議，希望為數(shù)學(xué)教學(xué)提供有價(jià)值的參考。

【關(guān)鍵詞】高中學(xué)生；數(shù)列教學(xué)；思維能力

數(shù)列的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中尤為重要，這是一個(gè)綜合性的基礎(chǔ)學(xué)科，結(jié)合了計(jì)算、推理、演算于一體，它也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)綜合能力強(qiáng)，不僅融合了數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法，而且對(duì)綜合能力的應(yīng)用也有很大要求，而高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、數(shù)學(xué)思維能力和類型

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)能力的核心，直接決定學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力和處理問(wèn)題的能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，即教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)思維能力包括抽象能力、邏輯推理能力、選擇判斷能力、探索能力等，這些能力都直接在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得。

二、高中數(shù)列教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

1.抽象概括能力的培養(yǎng)

抽象知識(shí)的概括能力在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，且非常重要，主要表現(xiàn)在從普通的法則中找出差異，建立事物之間的聯(lián)系。抽象能力的運(yùn)用可以幫助學(xué)生找出問(wèn)題的關(guān)鍵和本質(zhì)，并將具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題歸納為一定類型的數(shù)學(xué)模型。抽象知識(shí)的概括能力是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)對(duì)高考的必備能力之一。具體而言，抽取一些樣本數(shù)列來(lái)幫助學(xué)生找出數(shù)列規(guī)律，總結(jié)計(jì)算方法和一般通項(xiàng)公式，學(xué)生在這樣的抽象概括中，培養(yǎng)起了抽象概括思維能力。同時(shí)，在數(shù)列教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘一些隱藏的基本問(wèn)題，從特殊的細(xì)節(jié)，找到一般的規(guī)律，幫助學(xué)生掌握內(nèi)在和本質(zhì)的東西，使學(xué)生充分利用數(shù)列模型來(lái)解決生活和學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題。

在教學(xué)中，有這樣的問(wèn)題：寫出數(shù)列：8，88，888，8888，

……的通項(xiàng)公式。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，規(guī)律很容易找到，每一項(xiàng)逐漸多一個(gè)8，但是具體寫成數(shù)列通項(xiàng)公式卻遇到了難題，這時(shí)老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)列的結(jié)構(gòu)，數(shù)列中的數(shù)字分別可以寫成8，8*11，8*111，8*1111，因此我們得到了數(shù)列的通項(xiàng)式為a■=■（10■-1）。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力

推理能力主要包括邏輯推理能力和直覺(jué)推理能力兩部分。在學(xué)習(xí)初期，學(xué)生主要依靠邏輯推理的能力，從細(xì)節(jié)入手，經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考的規(guī)律。然而，經(jīng)過(guò)大量的例題練習(xí)，學(xué)生的能力發(fā)展向直覺(jué)推理的方向發(fā)展。也就是說(shuō)，他們依靠長(zhǎng)期積累的做題經(jīng)驗(yàn)形成的直覺(jué)來(lái)解決問(wèn)題，使解決問(wèn)題的過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單和靈活。有些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常用錯(cuò)了方法，死記硬背，對(duì)公式的記憶花費(fèi)時(shí)間過(guò)多，這是非常低效，學(xué)生可以通過(guò)自己的邏輯推理推導(dǎo)公式，這樣既能加強(qiáng)記憶，也能在忘記的時(shí)候隨時(shí)推導(dǎo)出正確的公式。因此，我們應(yīng)該明悟解決問(wèn)題的根本原因在于思維的嚴(yán)密性，不能將其誤解為基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的學(xué)生，不僅要及時(shí)指定，而且要讓學(xué)生弄清楚錯(cuò)在哪里，為什么錯(cuò)，還要通過(guò)有效的方式讓學(xué)生融入到公式中來(lái)理解，幫助學(xué)生建立良好的習(xí)慣，真正了解知識(shí)，減少錯(cuò)誤的發(fā)生，提高思維的嚴(yán)密性。

例如：已知數(shù)列{a■}前n項(xiàng)和S■=2n■+3n+2，求a■。

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a■=S■=7，

（2）當(dāng)n≥2時(shí)，a■=S■-S■=（2n■+3n+2）-[2（n-1）■+3（n-1）+2]=4n+1，又a■=7不適合上式。

7，n=1

4n+1，n≥2

略了最后一步的檢驗(yàn)，導(dǎo)致最后答案的不完整。作為一線老師，在課堂教學(xué)中，就要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，不要忽視n=1的情況。

3.選擇判斷的能力的培養(yǎng)

選擇判斷能力是抽象能力和邏輯推理能力的提高，主要是判斷計(jì)算結(jié)果的正確與否以及如何解決問(wèn)題，具有較強(qiáng)判斷能力的學(xué)生可以在數(shù)列問(wèn)題面前更快，更準(zhǔn)確地對(duì)抽象數(shù)字進(jìn)行排序，并運(yùn)用邏輯推理能力對(duì)數(shù)列中的可能規(guī)則進(jìn)行推測(cè)。教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中也應(yīng)該要求學(xué)生總結(jié)已經(jīng)做的問(wèn)題，提取有用的信息，反饋這些信息，一步步考慮整個(gè)過(guò)程的思維嚴(yán)密性，并嘗試新的方法去解決已知的問(wèn)題。教師也可以鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)無(wú)法解決的問(wèn)題作出大膽的猜測(cè)和假設(shè)，讓學(xué)生嘗試用自己的方法來(lái)證明自己的假設(shè)，這不僅增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，也更好地發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

例如，已知數(shù)列{a■}中各項(xiàng)為：12、1122、111222、……求該數(shù)列的通項(xiàng)式和前n項(xiàng)之和S■。題目相對(duì)比較難，學(xué)生需要仔細(xì)觀察各項(xiàng)，直觀來(lái)看，我們很容易找到規(guī)律，但是數(shù)學(xué)的表達(dá)卻存在一定難度，此題要求了很強(qiáng)的抽象能力和邏輯推理能力，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生首先按照一般數(shù)列進(jìn)行嘗試，比如我們拆分上述數(shù)列1，11，111，……與數(shù)列11，1111，111111，……數(shù)列的和，因此，我們通過(guò)計(jì)算知a■=■（10■-1）*10■+■（10■-1），其實(shí)這個(gè)數(shù)列我們還可以進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，它的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積，

a■=■（10■-1）*10■+■（10■-1）=■（10■-1）*（10■+2）=（■）*（■+1）

此時(shí)■為整數(shù)，故■+1也是整數(shù)。這樣，再求解數(shù)列和時(shí)，可以將a■分兩個(gè)數(shù)列求和再相加，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。

4.培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)基于抽象能力，邏輯推理能力和判斷能力。在這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)該不斷鼓勵(lì)學(xué)生做出大膽的假設(shè)，驗(yàn)證假設(shè)和最后得出自己的結(jié)論。具體來(lái)說(shuō)，就是要求學(xué)生敢于提問(wèn)，嚴(yán)格論證，積極探索。我們不僅要對(duì)所探討的問(wèn)題做出創(chuàng)造性的解釋，而且還需要舉一些相反的例子，開(kāi)拓思維，變化思維角度。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，教師要把學(xué)生帶入數(shù)列教學(xué)領(lǐng)域，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

例如，在解決等比數(shù)列和時(shí)，一般采用錯(cuò)位求和法，S■=a■+a■+a■+…+a■，qS■=a■q+a■q+…+a■q=a■+a■+…+a■，兩式相減得：S■-qS■=a■-a■=a■-a■q■，于是求得S■=■，除了這一種基本方法外，還可以鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)展其他方法，如指數(shù)函數(shù)法，通過(guò)構(gòu)建等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為一個(gè)類似指數(shù)函數(shù)，從而求得數(shù)列求和公式，構(gòu)造函數(shù)f（x）=a■q■，則f（x+1）-f（x）=a■q■（q-1），所以有下面的式子成立：f（1）-f（0）=a■（q-1）q■，f（2）-f（1）=a■（q-1）q■，f（3）-f（2）=a■（q-1）q■…f（n）-f（n-1）=a■（q-1）q■將上述各式左右相加并化簡(jiǎn)得：f（n）-f（0）=a■（q-1）（q■+q+q■+…+q■）=（q-1）S■而f（n）=a■q■，f（0）=a■帶入即可得到等比數(shù)列求和公式。

5.歸納與猜想思維的培養(yǎng)

歸納與猜想是推理能力的具體體現(xiàn)，在學(xué)習(xí)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，不僅會(huì)遇到各類繁雜的文字文本，還有許多常規(guī)的圖表或圖形，此時(shí)的歸納和猜想是非常重要的。因此，有必要在認(rèn)真分析和歸納的基礎(chǔ)上大膽猜測(cè)，以便能夠快速，準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。例如：已知數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式a■=n■cos■，求■的值。

這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，而且相加的項(xiàng)很多。這就要求老師引導(dǎo)學(xué)生大膽嘗試、猜想、歸納，從具體到一般。即：a■=0，a■=-4，a■=0，a■=16，a■=0，a■=-36，a■=0，a■=64，a■=0，a■=-100，a■=0，a■=144。通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，a■+a■+a■+a■=12，a■+a■+a■+a■=28，a■+a■+a■+a■=44可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)公差為16的等差數(shù)列，就可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般的規(guī)律，利用周期性得出S■的值，最后得出最后的■的答案。

高中數(shù)列教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的關(guān)鍵不在于解決問(wèn)題的能力，而在于分析現(xiàn)象，尋找本質(zhì)的能力。因此，教師在日常的教學(xué)活動(dòng)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生探索抽象數(shù)學(xué)的具體規(guī)則，提高學(xué)生總結(jié)能力。

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