趣談數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想

孫翠微

三十六計(jì)中有一個(gè)相當(dāng)精彩的智謀——圍魏救趙.其精妙之處在于避實(shí)就虛，一招制勝.在研究和解決數(shù)學(xué)問題的過程中，當(dāng)我們遇到較難或者復(fù)雜的問題時(shí)，迎頭直上往往絞盡腦汁也不得其解，如果避實(shí)就虛，轉(zhuǎn)化成一個(gè)我們熟悉或者在我們能力范圍之內(nèi)的問題進(jìn)行解決，就會(huì)化難為易，問題迎刃而解.

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般會(huì)將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)明的問題，把抽象難懂的問題轉(zhuǎn)化為具體形象的問題，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的問題等.可以說轉(zhuǎn)化思想就好比一把神兵利器，對(duì)付難解的問題，總能所向披靡.下面我們一起來領(lǐng)略一下轉(zhuǎn)化的魅力吧.

一、未知化已知

例1 求1+3+32+33+…+38的值.

【分析】直接計(jì)算，太麻煩！仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的3倍，不妨設(shè)：

S=1+3+32+33+…+38，①

然后在①式的兩邊都乘3，得：

3S=3+32+33+34+…+38+39，②

②-①得：3S-S=39-1，即2S=39-1，

所以S=[39-12].

【點(diǎn)評(píng)】這一題的精妙之處在于，抓住式子的結(jié)構(gòu)特征，通過變換將一道算式的求和問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等式“錯(cuò)位相減”的問題，求解方程，化未知為已知，進(jìn)而輕松解決.如果把“3”換成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值，試試看？

正確答案是：[m2017-1m-1].

所謂化未知為已知，就是把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題.比如：我們解二元一次方程組的基本思路是消元，故把二元一次方程組化為一元一次方程來解決；解分式方程需要先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程來解決等.

二、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

（一）化形為數(shù).

例2 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，B為AO的中點(diǎn)，DC⊥DB交x軸于點(diǎn)C，E在y軸上，且OE=OC，經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線與直線AD交于F、G兩點(diǎn)，直線AD與其對(duì)稱軸交于M點(diǎn).

（1）求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式.

（2）N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)H，使以C，D，N，H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.若存在，求出滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）由y=x+2可求出點(diǎn)A（-2，0）、D（0，2）、點(diǎn)B（-1，0），由△ODB∽△OCD，可得C（4，0），所以E（0，4），然后利用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的表達(dá)式.

（2）D、C為兩定點(diǎn)，N、H為兩動(dòng)點(diǎn)，由平行四邊形對(duì)角線互相平分，易得對(duì)角線的交點(diǎn)即為每條對(duì)角線的中點(diǎn).按CD為邊和對(duì)角線兩種情況分類討論.

解：（1）在y=x+2中，分別令x=0，y=0，于是得到A（-2，0）、D（0，2），由B是AO的中點(diǎn)，得B（-1，0），由△ODB∽△OCD，得OD2=OB?OC，得OC=4，C（4，0），由OE=OC，得E（0，4）.

設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-4），將E（0，4）代入得a=-1，所以y=-x2+3x+4.

（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=[-1+42]=1.5，設(shè)H（1.5，h），由于點(diǎn)N在拋物線上，設(shè)N（n，-n2+3n+4）.

①當(dāng)CD為邊時(shí)：HC、DN為對(duì)角線，

[4+1.5=0+n，0+h=-n2+3n+4+2，] 解得h=[-314]；

HD、CN為對(duì)角線，

[0+1.5=4+n，2+h=-n2+3n+4+0，] 解得h=[-474].

②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，

[0+4=1.5+n，0+2=-n2+3n+4+h，]h=[-134].

綜上所述，共有3個(gè)點(diǎn)H滿足條件，即（[32]，[-134]）或（[32]，[-314]）或（[32]，[-474]）.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，往往是把幾何元素代數(shù)化，比如平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式.幾何關(guān)系數(shù)量化，解題思路更加清晰簡(jiǎn)單，往往能化繁為簡(jiǎn)，事半功倍.

（二）化數(shù)為形.

例3 計(jì)算[34]+[316]+[364]+…+[34096].

【分析】多個(gè)異分母分?jǐn)?shù)相加，直接計(jì)算非常麻煩.如果借助圖形，這道算式可以理解為一個(gè)面積為1的大正方形中，如圖2的[34]、[316]、[364]…[34096]的和，那么通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，這些面積之和等于大正方形的面積1減去[14096]，

原式=1-[14096]=[40954096].

【點(diǎn)評(píng)】很多代數(shù)問題，借助圖形能夠幫助我們更直觀形象地抓住本質(zhì)，找到解決問題的路徑.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中如果能夠靈活地在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能幫助我們另辟蹊徑，達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.

三、空間向平面的轉(zhuǎn)化

例4 如圖3，一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)C，怎樣爬行路線最短？

【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，我們把正方體展開，直接連接A、C兩點(diǎn)可得最短路線.如果看爬行路徑，有三種情況：若螞蟻爬行時(shí)經(jīng)過面AD，可將這個(gè)正方體展開，在展開圖上連接AC，與棱a（或b）交于點(diǎn)D1（或D2），螞蟻沿線段AD1→D1C（或AD2→D2C）爬行，路線最短；類似地，螞蟻經(jīng)過面AB和AE爬行到頂點(diǎn)C，也分別有兩條最短路線，因此，螞蟻爬行的最短路線有6條.

【點(diǎn)評(píng)】在研究和解決立體圖形的問題時(shí)，需要較強(qiáng)的觀察和抽象思維能力，難度較大.然而相對(duì)平面圖形來說，我們有較多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，往往會(huì)把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來解決.比如計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí)要轉(zhuǎn)化成求側(cè)面展開圖扇形的面積，這樣，化立體為平面，大大降低了計(jì)算的難度.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）