以靜制動

高靈敏

動態(tài)問題顧名思義就要有動的元素.可以是某一元素或兩元素，它們的運動變化導(dǎo)致問題的結(jié)論改變或者保持不變，這揭示了“運動”與“靜止”，“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.

解這類問題的關(guān)鍵是分清幾何元素運動的方向和路徑，注意在運動過程中哪些是變量，哪些是不變量，并且正確分析變量與其他量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立它們之間的關(guān)系，有時還要根據(jù)幾何元素所處的不同位置加以分類討論.這類試題還往往要綜合運用勾股定理、相似三角形、方程、函數(shù)等知識來解決.

例1 （2017·徐州）如圖1①，菱形ABCD中，AB=5cm，動點P從點B出發(fā)，沿BC—CD—DA運動到點A停止，動點Q從點A出發(fā)，沿線段AB運動到點B停止，它們運動的速度相同.設(shè)點P出發(fā)xs時，△BPQ的面積為ycm2.已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖1②所示，其中OM，MN為線段，曲線NK為拋物線的一部分，請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

（1）當(dāng)1

（填“變”或“不變”）；

（2）分別求出線段OM，曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)x為何值時，△BPQ的面積是5cm2？

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像即可得到結(jié)論；（2）設(shè)線段OM的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，把M（1，10）代入即可得到線段OM的函數(shù)表達(dá)式；設(shè)曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-3）2，把（2，10）代入得到曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）把y=5分別代入y=10x和y=10（x-3）2即可得到答案.

解：（1）由函數(shù)圖像知，當(dāng)1

（2）設(shè)線段OM的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，

∵圖像過M（1，10），∴10=k，

∴線段OM的函數(shù)表達(dá)式為y=10x；

∵點P作勻速運動，且菱形的各邊相等，故P在三邊上運動所需時間相同.

∴K（3，0），∴設(shè)曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-3）2，

∵圖像過（2，10），

∴10=a（2-3）2，解得a=10，

∴曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：

y=10（x-3）2.

（3）把y=5代入y=10x得：x=[12]，

把y=5代入y=10（x-3）2，得：5=10（x-3）2，

解得x=3±[22]，∵3+[22]>3，故舍去.

∴當(dāng)x=[12]或3-[22]時，△BPQ的面積是5cm2.

【點評】這類題的一般做法是：弄清兩圖的對應(yīng)關(guān)系，即弄清點P、Q如何運動可得到右圖對應(yīng)的圖像，但該題只要重點看右圖即可解決.本題有個小“陷阱”，只說P、Q運動速度相同，沒說運動起始時刻是否相同，若你有P、Q同時運動的思維定式，可能會繞不出來.

例2 （2017·無錫）操作：“如圖2，P是平面直角坐標(biāo)系中一點（x軸上的點除外），過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q.”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換.

（1）點P（a，b）經(jīng)過T變換后得到的點Q的坐標(biāo)為 ；若點M經(jīng)過T變換后得到點N（6，[-3]），則點M的坐標(biāo) .

（2）A是函數(shù)y=[32x]圖像上異于原點O的任意一點，經(jīng)過T變換后得到點B.

①求經(jīng)過點O、點B的直線的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖3，直線AB交y軸于點D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比.

【分析】（1）連接CQ，可知△PCQ為等邊三角形，過Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質(zhì)可求得CD和QD的長，則可求得Q點坐標(biāo)；設(shè)出M點的坐標(biāo)，利用P、Q坐標(biāo)之間的關(guān)系可得到點M坐標(biāo)的方程，可求得點M的坐標(biāo).

（2）①可取A（2，[3]），利用T變換可求得B點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線OB的函數(shù)表達(dá)式；②用同底的兩個三角形面積之比等于高的比，可求得△OBD的面積與△OAD的面積之比，進(jìn)而求出△OAB的面積與△OAD的面積之比.

解：（1）如圖4，連接CQ，過Q作QD⊥PC于點D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，

∵P（a，b），∴OC=a，PC=b，∴CD=[12b]，DQ=[32]b，∴Q（a+[32]b，[12b]）.

事實上，不論P（a，b）在第幾象限，變換后的點Q的坐標(biāo)始終為Q（a+[32]b，[12]b）.

設(shè)M（x，y），則N點坐標(biāo)為（x+[32]y，[12]y），

∵N（6，[-3]），

∴[x+32y=6，12y=-3，]解得[x=9，y=-23，]

∴M（9，[-23]）.

（2）①∵A是函數(shù)y=[32x]圖像上異于原點O的任意一點，∴可取A（2，[3]），

∴2+[32]×[3]=[72]，[12]×[3]=[32]，

∴B（[72]，[32]），

設(shè)直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，則[72]k=[32]，解得k=[37]，

∴直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=[37]x；

②[S△OBDS△OAD]=[722]=[74]，[S△OABS△OAD]=[34].

【點評】該題首先要弄懂T變換；其次一般表示點A會含有字母，我們這里直接取定點A（2，[3]），用了以“特殊”代替“一般”的思想.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）