細(xì)說(shuō)數(shù)學(xué)中的方程思想

白廣明

從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的組合），將問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)適當(dāng)設(shè)元建立起方程（組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解的思維方式是方程思想.

一、函數(shù)中的方程思想

方程與函數(shù)本身就有必然的聯(lián)系，通過(guò)建立相等關(guān)系，求出未知數(shù)的值，因此解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵就是找出相等關(guān)系，建立變量之間的等量關(guān)系.此類問(wèn)題常見(jiàn)的形式和解題方法有：用待定系數(shù)法列出關(guān)于函數(shù)解析中待定系數(shù)的方程（組），通過(guò)解方程（組）求出待定系數(shù)的值；將函數(shù)圖像及坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根對(duì)應(yīng)起來(lái)；利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題.

例1 （2017·安順）如圖1，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸方程，再分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，便可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，從而求得M點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，

∴B（3，0），C（0，3），

∵拋物線y=x2+bx+c過(guò)B、C兩點(diǎn)，

∴[9+3b+c=0，c=3，]解得[b=-4，c=3，]

∴拋物線解析式為y=x2-4x+3.

（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，P（2，-1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），

∴MC=[22+t-32]=[t2-6t+13]，

MP=[t+1]，PC=[22+-1-32]=[25]，

∵△CPM為等腰三角形，

①當(dāng)MC=MP時(shí)，則有[t2-6t+13]=[t+1]，解得t=[32]，此時(shí)M（2，[32]）；

②當(dāng)MC=PC時(shí)，則有[t2-6t+13]=[25]，解得t1=7，t2=-1（與P點(diǎn)重合，舍去），此時(shí)M（2，7）；

③當(dāng)PC=PM時(shí)，則有[t+1]=[25]，解得t=-1+[25]或t=-1-[25]，此時(shí)M（2，-1+[25]）或M（2，-1-[25]）.

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為：（2，[32]）或（2，7）或（2，-1+[25]）或（2，-1-[25]）.

【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)與方程相結(jié)合的綜合題，找出等量關(guān)系、構(gòu)建方程是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)，又考查了分類討論思想.

二、解直角三角形中的方程思想

解直角三角形充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，方程思想體現(xiàn)在：利用勾股定理建立方程，利用三角函數(shù)建立等量關(guān)系，利用圖形的性質(zhì)建立等量關(guān)系.

例2 （2017·宿遷）如圖2所示，飛機(jī)在一定高度上沿水平直線飛行，先在點(diǎn)A處測(cè)得正前方小島C的俯角為30°，面向小島方向繼續(xù)飛行10km到達(dá)B處，發(fā)現(xiàn)小島在其正后方，此時(shí)測(cè)得小島的俯角為45°.如果小島高度忽略不計(jì)，求飛機(jī)飛行的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，則CH的長(zhǎng)度即為飛機(jī)飛行的高度.設(shè)CH=xkm，在Rt△ACH中，用x表示出AH的長(zhǎng)，在Rt△BCH中，∠BHC=90°，可得BH=CH=x，根據(jù)AH+HB=10列出方程，解方程求得x的值，即飛機(jī)飛行的高度.

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，設(shè)CH=xkm，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠CAH=30°，所以AH=[3x]；在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=45°，所以BH=CH=x.因?yàn)锳H+HB=10，所以[3x]+x=10，解得x=[103+1]=[53]-5.

答：飛機(jī)飛行高度為（[53]-5）km.

【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造直角三角形是解直角三角形問(wèn)題的關(guān)鍵，之后再適當(dāng)設(shè)未知數(shù)，建立相等關(guān)系列出方程，求出未知數(shù)的值即可解答.

三、整式中的方程思想

整式中很多內(nèi)容與方程有必然的聯(lián)系，同類項(xiàng)的定義以及整式的化簡(jiǎn)中就隱含著相等關(guān)系，解決這類題的方法：同類項(xiàng)的定義，代數(shù)中的恒等變形，利用對(duì)比法.

例3 已知A=7x2-mx+n，B=-4y2+2x-1，若A+B中不含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，求m2-2mn+n2的值.

【分析】A+B中不含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，即A+B中一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都為0，構(gòu)建方程組求解.

解：A+B=7x2-mx+n+（-4y2+2x-1）

=7x2-4y2+（-m+2）x+n-1，

由題意[-m+2=0，n-1=0，]解得[m=2，n=1，]

∴m2-2mn+n2=（m-n）2=1.

例4 單項(xiàng)式3x2y5m+4n與-2xm+2ny4是同類項(xiàng)，求nm的值.

【解析】由同類項(xiàng)定義知：[m+2n=2，5m+4n=4，]解之得[m=0，n=1，]所以nm=1.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，可列出關(guān)于m，n的方程組，再求解.

四、幾何問(wèn)題中的方程思想

數(shù)與形的結(jié)合思想是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，它會(huì)使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.與幾何圖形有關(guān)的計(jì)算題，若可用方程思想去建立等量關(guān)系來(lái)解決，會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

1.三角形和四邊形與方程思想.

例5 （2016·揚(yáng)州）如圖4，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處.

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積.

【分析】（1）先利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”證明∠BAC=∠DCA，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出角相等，即∠BAE=∠EAC，∠DCF=∠NCF，進(jìn)而得出∠EAC=∠FCA，再根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，得出AE∥CF，從而證明四邊形AECF是平行四邊形；（2）可以先在Rt△ABC和Rt△CME中利用勾股定理構(gòu)造方程求得CE的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的面積公式求得四邊形AECF的面積.

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，

由折疊可得∠BAE=∠EAC=[12]∠BAC，

∠DCF=∠NCF=[12]∠DCA，

所以∠EAC=∠FCA，AE//CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形.

（2）因?yàn)锳B=6，AC=10，△ABC為直角三角形，由勾股定理，得BC=8.設(shè)EM=x，那么BE=EM=x，所以CE=BC-BE=8-x，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.

所以x2+42=（8-x）2，解得x=3.

所以S四邊形AECF=2S△ACE

=2×[12]AC×EM=2×[12]×10×3=30.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求解，體現(xiàn)了變量間的關(guān)系，運(yùn)用了方程思想.

2.圓與方程思想.

例6 如圖5，從⊙O外一點(diǎn)A作⊙O的切線AB、AC，切點(diǎn)分別為B、C，且⊙O直徑BD=6，連接CD、AO.

（1）求證：CD∥AO；

（2）設(shè)CD=x，AO=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（3）若AO+CD=11，求AB的長(zhǎng).

【分析】（1）連接BC交OA于E點(diǎn)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理和等腰三角形中三線合一定理，可得∠OEB=90°，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角為直角可得∠BCD=90°，再根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可證明CD∥AO；（2）如圖6，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，可得∠3=∠4，再證得△BCD∽△ABO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，再由題意可得x的取值范圍；（3）由（2）中關(guān)系式和（3）中的條件可得到關(guān)于x和y的方程組，解方程組可得CD，AO的長(zhǎng)，再在Rt△AOB中根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng).

解：（1）連接BC交OA于E點(diǎn)，

∵AB、AC是⊙O的切線，

∴AB=AC，∠1=∠2，

∴AE是△ABC的中線，

∵O是BD的中點(diǎn)，∴CD∥AO.

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，

∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，

∴∠DCB=∠ABO=90°，

∴△BDC∽△AOB，∴[BDAO]=[DCOB]，

∴[6y]=[x3]，∴y=[18x]（0

（3）由已知得：[x+y=11，xy=18，]把x，y看作方程z2-11z+18=0的兩根，解這個(gè)方程得z=2或z=9.

∴[x1=2，y1=9，]或[x2=9，y2=2，]（0

∴AB=[92-32]=[72]=[62].

【點(diǎn)評(píng)】這是一道典型的應(yīng)用方程求解的幾何問(wèn)題，相等關(guān)系是利用了相似三角形的性質(zhì)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）