問題激興趣 類比引思考

梁陽梅 秦健

【摘要】本文以人教版八年級上冊《分式方程》第一課時教學為例，論述“類比”在數學教學中的應用，總結出“類比—合作探究—總結”的學習方法。

【關鍵詞】《分式方程》 問題導入 類比 方法歸納

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05A-0022-05

一、教材分析

《分式方程》是人教版八年級上冊第十五章第三節(jié)的內容，是初中數學的重要內容之一。分式方程是分母中含有未知數的方程，它是整式方程的延伸和拓展，是人們認識方程的一次提升，它與實際生活緊密聯系，是描述現實生活的重要方程模型，同時也體現了數學的實際應用價值。解分式方程既是分式有關知識在解方程中的應用，又是進一步研究其他方程和解決實際問題的基礎。教會學生“檢驗”是教學過程中必不可少且的環(huán)節(jié)，這個過程體現了數學的化歸思想和程序化思想。

二、教學目標

（一）了解分式方程的概念；

（二）會用去分母的方法解可化為一元一次方程的分式方程，體會化歸思想；

（三）了解需要對分式方程的解進行檢驗的原因；

（四）在探究分式方程解法過程中培養(yǎng)學生類比、轉化的數學思想，激發(fā)學生克服困難的信心，讓學生獲得成就感，提高解決數學問題的能力。

三、教學重難點

重點：會利用去分母的方法解分式方程；

難點：了解分式方程產生增根的原因。

四、學情分析

學生在小學以及七年級已經學過一元一次方程以及二元一次方程組的解法，在學習本章的第一、二節(jié)時掌握了分式的概念和分式的約分、通分、四則運算，學生的這些已有知識為順利完成本節(jié)課的教學任務打下了基礎。學生第一次接觸分式方程，在對整式方程的認識還不夠深入的情況下，就遇到比解整式方程復雜的求解過程和可能產生增根的新情境，學生對此內容的接受會有很大的困難，特別是產生增根的原因，學生缺乏認知準備。學生由于解整式方程產生思維定式，即所有方程都是有解的，導致對有些分式方程“無解”產生疑惑和不理解。因此在教學時，教師一方面鋪設好學習本節(jié)內容的知識臺階，充分體現數學的轉化思想，化新為舊、化生為熟，從等式性質2出發(fā)，讓學生認識到解分式方程時產生增根的原因，另外一方面教師要積極創(chuàng)造機會讓學生多交流討論、發(fā)表見解，發(fā)揮學習的主動性。

五、教學實錄

（一）巧妙導入，歸納概念

教師用“2017年朱日和基地閱兵式”視頻中空中戰(zhàn)機片段進行導入并提出問題：在某次飛行中，殲20在靜風中的速度為1500千米/時，如果它以此速度順風飛行760千米和逆風飛行740千米的時間相等，則當時的風速為多少？學生列出方程：[7601500+x=7401500-x]

師：大家觀察一下這個方程，它有什么特點？

生1：未知數的位置發(fā)生了變化。

師：哦，未知數的位置發(fā)生了變化，很好！以前我們學習過的方程都有哪些？

生：一元一次方程、二元一次方程。

師：你能快速地將下面4個方程進行分類嗎？

（1）3[x]-2=5；（2）[2x+y=4x-y=2]；（3）[x+13-x-12=1]；

（4）[x4+y5=4.]

師：誰是一元一次方程呀？

生：（1）和（3）。

師：那（2）（4）呢？

生：二元一次方程。

師：對，沒錯！這兩類方程有什么共同特點？

師生：左右兩邊都是整式。

師：所以我們可以把這兩類方程稱作整式方程。而我們今天列出來的這個方程跟以往的整式方程對比，正如前面那名同學所說的，未知數的位置發(fā)生了變化，像這樣，分母當中含有未知數的方程我們把它稱為分式方程。

師：結合分式方程的定義，我們來看一看下面6個方程中，哪些是分式方程。

（1）[x-22]=[x3]；（2）[1x-2]=[3x]；（3）[4x]+[3y]=7；（4）2x+[x-15]=10；（5）[3-xπ]=[x2]；（6）x-[1x]=2.

生：（2）（3）（6）。

師：大家回答得好快呀！大家是怎么判斷的？

生2：看分母的位置。

師：對！判斷一個方程是否為分式方程就看其分母是否含有未知數。大家注意方程（5）中的π是常數。

【設計意圖】

本環(huán)節(jié)通過大閱兵的片段引出實際問題，既增強學生上課的興趣，也滲透了愛國主義情感，凸顯數學與生活的聯系，為后面用分式方程解決實際問題埋下伏筆。筆者在歸納分式方程定義之前，先引導學生回顧前面所學的一元一次方程、二元一次方程（組），通過觀察發(fā)現兩者的共性是方程中等號兩邊均為整式，從而將它們稱為整式方程；對比新方程與舊方程，順勢得出分式方程的定義；通過習題鞏固學生對分式方程定義的理解，最后的方法小結，將學生對定義的認識提升到判斷方程是否為分式方程的方法，同時也強調無理數π的易錯點。通過“發(fā)現—觀察—對比—歸納—鞏固—小結”的學習過程，學生對分式方程的定義有較全面、深刻的認識，達成了目標一。

（二）回顧提煉，類比解決

師：如何解分式方程[7601500+x]=[7401500-x]？

（學生沉默不語）

師：我們怎樣解有分母的一元一次方程呢？

生：通過兩邊同乘分母的最小公倍數去分母，再去括號，移項，合并，系數化為1，求得[x]的值。

師：怎么驗證[x]的值是否正確呢？

生：把[x]的值分別代入方程的左邊和右邊，如果左右兩邊的值相等，[x]就是正確的，如果不相等，就錯誤。

師：很好。接下來請同學們類比一元一次方程的解法，解這道分式方程。先自行思考，寫出解題過程，再以前后兩桌四人小組為單位交流，分享。8分鐘后，派代表上來展示解法。

（8分鐘后）

師：哪個小組來分享你們的解法？

生1：我是通過交叉相乘把分式方程轉變?yōu)檎椒匠?60（1500-x）=740（1500+x），接著就解一元一次方程得到x=1000。

師：為什么交叉相乘能保證等號仍然成立？這么變形的依據是什么？

生1：我也不清楚，小學老師直接告訴我們的。

師：沒關系，一會我們看看有沒有其他同學可以給出合理的解釋。那么你對你所得的結果進行驗證了嗎？

生1：驗證過了。

師：風速在80km/h左右就已經是超級大風了，你求得的1000km/h是哪種風？方程所得的解不僅要滿足方程，還應符合實際意義。同學們幫忙檢查看看，這名同學的解題過程是否存在錯漏之處？

生2：老師，我發(fā)現他在移項時沒有變號，所以結果是錯誤的，正確的解應該是x=20。

師：謝謝，請坐。你的觀察很細致。

師：我們再來聽聽其他同學的解法。

生3：我是類比一元一次方程去分母的方法，讓方程兩邊同乘分母的最簡公分母，這樣分式方程就可以轉變?yōu)檎椒匠?60（1500-x）=740（1500+x）。

師：很嚴謹的表述。和上一名同學一樣，也想到了將分式方程轉化為整式方程來解決。你能具體說說兩邊同乘最簡公分母，方程等號仍成立的依據是什么嗎？

生3：等式的性質。

師：有依有據，真棒！還有不同解法嗎？

生4：老師，我是先將方程左右兩邊的式子進行通分，然后根據分式的值相等，分母又相同，所以它們的分子肯定相等，就得到了整式方程760（1500-x）=740（1500+x），我的解是x=20。

師：這個想法也不錯哦，請坐。同學們，三名同學展示了自己的做法，也都得到了同樣的解。請細心比較，三名同學的做法有什么相同點和不同點？

生5：我認為相同點是大家都想到了把分式方程去分母后變?yōu)檎椒匠虂斫鉀Q。不同的是轉化的方法不同，但實質上又是一樣的，因為交叉相乘和先通分再令分子相等，其實都和第二名同學的做法一樣，是依據等式性質，兩邊同乘最簡公分母實現的。

師：你分析得很透徹，說出了三種去分母方法的共性，很棒！

【設計意圖】

新課程理念提到，數學課堂是討論、交流、合作的課堂。討論、合作是學習小組成員完成學習任務的手段，而交流則促進學生成果共享。課堂上討論、交流、合作首先利于培養(yǎng)學生自主、自信的品質和學習的主動性，并利于創(chuàng)造自由、輕松愉悅的學習環(huán)境，促進學生思維的延展。在如何解分式方程這個問題上，筆者引導學生復習已學的方程的解題方法，相當于給了學生一個方向，讓學生自主思考并求得結果。在得到結果后，筆者再引導學生通過討論慢慢弄清楚每一步的理由，體現了循序漸進的學習過程，也體現了數學的嚴謹性。教師放手讓學生去思考、表達，就會收獲更多驚喜，教師在課堂上應成為一位極具智慧的指路人。

（二）創(chuàng)造沖突，突破難點

（教師出示練習題：解分式方程[1x-5]=[10x2-25]，學生自主思考、獨立完成）

師：同學們在解這道分式方程的過程中是否遇到了困難？

生1：老師，我和解上一道分式方程一樣先去分母得到一元一次方程，解一元一次方程后得到[x=5]，但是我代入方程檢驗后發(fā)現方程的分母為0，我不知道往下該怎么表達。

生2：老師，我也得到了相同的解[x=5]，但是如果[x=5]使得分母為0，那么式子就沒有意義了，就不能說它是方程的解了，所以我認為這個方程是沒有解的。

師：謝謝你們大膽說出了自己遇到的困難。確實很奇怪，為什么我們經歷了相同的步驟解得x的值，在方程1中，整式方程的解[x=20]是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解[x=5]卻不是原分式方程的解呢？

生3：對比解兩個方程的過程，雖然大家都由解整式方程得到x，但是可以看到區(qū)別在于x的值在方程1中，使得分母不為0，而在方程2中，x的值使得分母為0，所以方程2就無解。

師：x的值使得分母為0的同時，也導致誰為0呢？

生3：應該是最簡公分母，因為它是由各分母的所有因式相乘得到的。

師：那么，如果我們想檢驗一個x的值是否是分式方程的解時，有哪些方法呢？

生4：我認為可以代入最簡公分母，如果最簡公分母為0，分式方程就無解，如果最簡公分母不為0，x的值就是分式方程的解。這樣比較快捷。

師：比較快捷，是相對哪種方法比較快捷？

生4：相對把x的值分別代入每一個分母要快捷。

師：同學們再認真思考，為什么在整式方程中，沒有出現過無解的情況呢？

生5：因為整式方程的分母都是具體的數，所以分母都是有意義的。

生6：我們對整式方程去分母時，兩邊同乘的是各分母的最小公倍數，肯定不為0，但是分式方程去分母時，我們兩邊同乘的是最簡公分母，我們事先不知道它的值是否為0。萬一它正好是0，那么我們這么做就違反了等式性質的要求。

師：沒錯，從具體的數到一般的式子，我們要考慮得更為嚴謹一些。因此，對于分式方程，我們有必要對所得的x的值進行檢驗。這個x的值最基本的條件是先要保證分式方程有意義，也就是保證最簡公分母是不為0的，其次它還應保證方程兩邊的值相等，哪一點是與解整式方程最大的區(qū)別？

生6：要保證原方程有意義是以前不用考慮的。

師：對，所以為了突顯這一區(qū)別，在解分式方程過程中，我們應把它呈現出來。

（教師板書解分式方程[1x-5]=[10x2-25]的過程：

兩邊同乘（x+5）（x-5）得：x+5=10

解得：x=5

檢驗：當x=5時，（x+5）（x-5）=0，

所以x=5不是原分式方程的解，

原分式方程無解）

【設計意圖】

筆者在本環(huán)節(jié)的第一個問題是：“在解決這道分式方程的過程中你是否遇到了困難？”提出這樣一個問題，是因為數學學習過程中的快樂與否對學生來說比分數更重要，所以教師要及時關注和關心學生在學習過程中的情感體驗，給予學生充分的關懷和安全感，讓他們敢于在課堂上說出自己的困惑，教師既能夠及時了解學情，又能引導其他學生打開進一步探索的思路?！盀槭裁次覀兘洑v了相同的步驟解得x的值，在方程1中，整式方程的解是原分式方程的解，但方程2中，整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？”“為什么在整式方程中，沒有出現過無解的情況呢？”這兩個問題引導學生對比兩道分式方程以及對比分式方程與整式方程的求解步驟，發(fā)現導致分式方程出現有解和無解兩種情況的原因，并且理解在解分式方程的步驟中添加“檢驗”這一步的重要性和必要性。學生通過對比找出差異，有助于進一步加深對新知識的理解。在初中數學的教學過程中，當學生對某些知識點容易混淆時，或當新學的概念、方法與以往的概念、方法類似時，或當數學概念之間存在互逆關系時，教師可采用對比教學法。

（三）練習與總結，鞏固新知

師：下面，請同學們完成練習。（出示練習題：解方程[xx+1=2x3x+3+1]）

（學生完成練習，教師與學生歸納解分式方程常見的錯誤：①去分母時，漏乘原方程的整式部分；②約去分母后，分子是多項式時，沒有注意添括號；③漏檢驗）

師：在這節(jié)課的學習中，你掌握了哪些知識？在學習新知的過程中你體會到了哪種重要的數學思想？

生1：我認識了分式方程，還學會怎樣解分式方程。

生2：我覺得學習數學要非常嚴謹，注意討論字母的值，遇到字母要能夠類比學習數字時的方法，不要害怕。

生3：我掌握了解分式方程的一般步驟，必須要檢驗，因為可能出現無解的情況，這點和解整式方程是不同的。

師：謝謝你們的分享！我們在本節(jié)課學習了兩個知識點——分式方程的定義、分式方程的解法，三個基本步驟——去分母、解整式方程、檢驗，常用的思想有化歸，即將未知轉化為已知，還有類比舊知的思路、方法學習新知。

【設計意圖】

學生通過做題、歸納易錯點，培養(yǎng)了數學表達能力，也解決了本節(jié)課的易錯點。

“在這節(jié)課的學習中，你掌握了哪些知識？”“在學習新知的過程中你體會到了哪些重要的數學思想？”這兩個問題引導學生從知識和方法兩個方面對本節(jié)課進行回顧、反思，從學生的小結情況可以發(fā)現多數學生能夠說出本節(jié)課的重要知識點：分式方程的定義、去分母的方法、解分式方程的一般步驟、檢驗的必要性等，也能說出本節(jié)課滲透的數學思想：類比一元一次方程的解法學習分式方程解法，把未知的分式方程化歸為已知的一元一次方程來解決。對本節(jié)課的知識點和學習思想進行整理性小結，學生有了更系統的認識，同時養(yǎng)成及時小結的學習習慣。

六、教學反思

在本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)，筆者將課本的輪船航行問題改編成飛機的飛行問題，以建軍90周年的大閱兵為背景，自然引出本節(jié)課的問題，有效地吸引了學生的注意力，同時滲透了強軍強國的愛國主義教育。接著，將所得的方程與之前的一元一次方程、二元一次方程進行對比，使學生明確新方程與整式方程的最大區(qū)別為：分母含有未知數，順勢得出分式方程的概念，教學效果不錯。

在學生掌握分式方程的定義后，接下來著重學習它的解法。在展開探究活動前，筆者引導學生回顧一元一次方程的相關解法，意在啟發(fā)學生通過類比一元一次方程去分母的過程來求解分式方程。筆者在教學過程中發(fā)現，絕大多數學生都能夠想到“去分母”，但是對“如何去分母”存在困難，不能類比尋找最小公倍數的方法聯想到尋找最簡公分母，再根據等式性質實現去分母；部分學生會運用小學知識“交叉相乘”實現去分母；部分學生運用近期所學的分式的通分將分式方程兩邊進行通分，再根據等式左右兩邊的值不變，實現去分母。針對學生存在的困難，筆者認為可以通過以下途徑突破難點：（1）復習一元一次方程時，強調去分母的方法和依據；（2）針對“交叉相乘”“通分”的去分母方法進行追問：為什么能這么做？其依據是什么？使學生明白它們歸根結底就是通過等式的性質——等式兩邊同乘最簡公分母而實現的；（3）對比最小公倍數和最簡公分母兩個概念，讓學生理解從數到式在運算中的區(qū)別與聯系；（4）設計一組練習，鞏固去分母。

學生在學習整式方程過程中，已經形成了一種定式思維：方程都是有解的。所以對于分式方程無解的情況，他們在思想上很難接受，進而就不能理解“檢驗”這一步的必要性。第三個教學環(huán)節(jié)要達到的教學目的有兩個：（1）明白分式方程為什么無解；（2）理解分式方程檢驗的必要性以及掌握分式方程檢驗的方法。怎樣才能激發(fā)學生對“無解”的好奇和深思，怎樣才能讓學生透徹理解“檢驗”必要性？筆者認為，通過直觀的“對比”效果會比較好。因此，筆者設計了三個對比。

對比1：“對比方程2和方程1”，為什么經歷同樣的解題步驟，方程1中整式方程的根是分式方程的根，而方程2中整式方程的根卻不是分式方程的根？請談談你的看法。

對比2：“為什么分式方程可能有解可能無解，但是整式方程卻總是有解呢？你能說明其中的原因嗎？”兩次對比之后，從學生的課堂反應看出，絕大多數學生能夠明白：方程兩邊所乘的最簡公分母的值是否為0影響了解的情況；整式方程兩邊同乘的是具體的不為0的數，所以總是有解。抓住解的情況不同，筆者順勢追問：“既然分式方程可能有解、可能無解，那么我們如何驗證x=a是否為分式方程的解呢？”（學生的方法主要分為兩種，第一種是沿用以前的檢驗方式，把x=a分別代入方程左右兩邊進行計算，看左邊是否等于右邊；第二種是把x=a代入最簡公分母，觀察最簡公分母的值是否為0）

對比3：比較兩種檢驗方法，你認為哪種更適合分式方程？為什么？

至此，本環(huán)節(jié)的教學目標基本達成，在此基礎上規(guī)范和完善練習2的解題過程，并讓學生由此歸納出解分式方程的一般步驟。

在課堂小結環(huán)節(jié)，筆者以兩個問題引導學生對本節(jié)課進行知識和方法兩個方面的回顧反思：

1.在這節(jié)課的學習中，你掌握了哪些知識？學會了哪些學習方法？

2.在學習新知的過程中你體會到了哪種重要的數學思想？

筆者觀察學生的小結情況發(fā)現，多數學生能夠說出本節(jié)課的重要知識點：分式方程的定義、去分母的方法、解分式方程的一般步驟、檢驗的必要性等，也能說出本節(jié)課滲透的數學思想：類比一元一次方程的解法學習分式方程解法，把未知的分式方程化歸為已知的一元一次方程。

【評析】

（一）重視知識的切入點，使學生明確“學什么、怎么學”

本節(jié)課以建軍90周年的大閱兵為背景引出問題，讓學生回顧一元一次方程、二元一次方程的解法，激活學生的原有認知，引導學生類比研究一元一次方程的方法來研究分式方程，使學生明確本節(jié)課“學什么、怎么學”，讓學生有法可循而不至于無從下手，為探究環(huán)節(jié)的教學鋪墊。這一開門見山的設計，準確地抓住了本節(jié)課的切入點。

（二）重視讓學生體驗和經歷知識的形成過程，讓學生“好學、學好”

數學學科的特質是思考，數學是思維的體操。在教學過程中，梁老師始終注意發(fā)揮學生的主體作用，重視讓學生體驗和經歷知識的形成過程，在如何解分式方程這個問題上，梁老師只引導學生復習已學方程的相關解法，相當于給了學生一個方向，接下來怎么走到終點，就得靠學生想辦法。學生通過自主探究、合作學習來主動發(fā)現結論，經歷了發(fā)現問題、分析問題、解決問題的全過程，獲得基礎知識，基本能力也得到培養(yǎng)，主體作用得到了充分的發(fā)揮。課堂驚喜不斷，有師生真實的、充滿情感的、智慧的互動。這樣的教學實踐取得了良好的教學效果，梁老師不僅教給學生知識，更注重培養(yǎng)學生良好的數學素養(yǎng)和學習習慣，讓學生學會學習。這充分體現了“教師在課堂上應成為智慧的指路人”這一新課標理念。

（三）重視教學設計的環(huán)環(huán)相扣，誘學生“步步深入”

縱觀整個教學過程，梁老師找準學生的認知起點，以解決情境中的問題、尋求方法為主線，層層設疑，環(huán)環(huán)相扣，誘學生“步步深入”，讓學生逐步完成對知識的理解和深化。課堂設計的兩個探究活動，給學生提供了很大的探究空間，學生探究興趣盎然，思維得以展現，探究效果顯著，是“真探究”。學生在“觀察”“思考”“計算”中體驗、經歷、感受，形成積極的、生動的、自主合作的學習方式。學生在實踐的過程中付出了自己的努力，體會到成功的快樂。

（四）重視方法總結，提升學生思維品質

教學中，梁老師引導學生探求解題思路與解題本身存在的規(guī)律、反思解題中所犯的錯誤，“透過現象看本質”進行方法總結，提升學生的思維品質，學生能運用通法舉一反三，以不變應萬變。（秦?。?/p>

（責編 劉小瑗）