例談含參函數(shù)最值解決的新視角

胡景月

(江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué) 210012)

我們先回顧一下函數(shù)最值的定義和性質(zhì)：在教材必修一36頁(yè)，其給出了最大值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M．那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值(maximum value)．最值的定義極為嚴(yán)密，從恒成立的角度來說，函數(shù)的“最值”本質(zhì)上就是“不等式恒成立且等號(hào)成立”．因此含參最值的第一個(gè)新的解決視角就是將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，并考慮等號(hào)成立的可能性即可．

一、轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題

問題2 已知a>0，函數(shù)f(x)=|x2+|x-a|-3|在區(qū)間[-1,1]上的最大值是2，則a=_______．

問題3 已知t為常數(shù)，y=|x2-2x+t|在區(qū)間[0,2]上的最大值為2，則t=_______．

解析本題改編自浙江高考.由題意：|x2-x-t|≤2在區(qū)間[0,2]上恒成立，且存在x∈[0,2]使“=”成立．

即x2-2x-2≤t≤x2-2x+2在區(qū)間[0,2]上恒成立，且存在x∈[0,2]使“=”至少有一成立.由最大值和最小值的定義可得t=(x2-2x-2)max或t=(x2-2x+2)min，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)(x2-2x-2)max=-2或(x2-2x+2)min=1，所以t=1或=-2．

反思：上面三題都是從函數(shù)的最值的定義出發(fā)，將最值問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過不等式的等價(jià)變形(分離參數(shù))后，再利用最值定義，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，這一轉(zhuǎn)化過程，由已知含參數(shù)最值求參數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為求不含參函數(shù)的最值，使問題得以簡(jiǎn)化，與傳統(tǒng)的分類討論不同之處在于需要求最值的兩個(gè)函數(shù)一個(gè)含參一個(gè)不含參，難易也就顯而易見了．

二、函數(shù)最值定義的延伸

現(xiàn)在我們繼續(xù)來通過研究函數(shù)的最值的定義，來解決一類由不等式恒成立問題求有關(guān)參數(shù)最值的問題．如果我們把上述函數(shù)最值的定義中條件(1)看作是一種必要性(一種范圍可能更大的情況)的話，則條件(2)就是一種存在性(驗(yàn)證取等即可)．在近年來各地高考的熱點(diǎn)問題、模擬考題以及一些自主招生題型中有時(shí)很多涉及函數(shù)最值和不等式恒成立的問題時(shí)，往往需要這樣先算必要性再驗(yàn)證充分性從而起到四兩撥千斤的作用．體現(xiàn)這種思想的解法，一般也稱之為必要性探路，但從本質(zhì)講我們可能把它理解為最值概念的延伸和拓展較為合適．由于這類題型較為豐富，筆者從三個(gè)方面進(jìn)行展開．

問題4 設(shè)函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0．求所有實(shí)數(shù)a，使e-1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1,e]恒成立．(注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．)

問題5 已知函數(shù)g(x)=-t·2x+1-3x+1,h(x)=t·2x-3x，其中x,t∈R．定義[1,+)上的函數(shù)f(x)如下：若f(x)在[1,m)上是減函數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)m取最大值時(shí)，求t的取值范圍．

解析對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性問題，我們的常見思路都是：第一，考慮分段函數(shù)分別在定義域內(nèi)的單調(diào)；第二，考慮臨界點(diǎn)的大小關(guān)系．這里我們可以先考慮臨界點(diǎn)的大小關(guān)系，先縮小t的范圍呢！我們要讓實(shí)數(shù)m取得更大的值，需要必要條件：g(2)≥h(2),h(3)≥g(3),g(4)≥h(4),h(5)≥g(5)…以此類推.

反思：這種必要性探路解決不等式恒成立求參數(shù)范圍的方法實(shí)質(zhì)上是利用求最值問題中的的先滿足必要條件再驗(yàn)證充分條件的一種邏輯思維，它是有效降低運(yùn)算成本的一種手段，是優(yōu)化解題過程的一種方法，是操作和思維統(tǒng)一的過程．