分數階連續(xù)線性系統基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器的設計

王振芳，羅 芳,馬瑞青

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009;2.山西師范大學數學與計算機科學學院,山西臨汾041004)

在控制系統的設計過程中，一般是設計各種滿足一定性能指標的狀態(tài)反饋控制器，然而在實際控制系統中，很多時候狀態(tài)是不易測量的，從而使得狀態(tài)反饋控制器難以實現其物理意。為了解決這一問題，我們將采用狀態(tài)觀測器來獲得系統狀態(tài)的估計值，設計出基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器.文章主要在文獻[1]的基礎上對分數階連續(xù)線性系統的基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器進行研究。

1 系統描述

考慮如下分數階連續(xù)線性系統

其中，1≤α＜2,x(t)∈Rn為系統狀態(tài)變量，μ(t)∈Rm為控制輸入變量，ω(t)∈Rp為外部干擾輸入變量，y(t)∈Rq為測量輸出變量，z(t)∈Rr為控制輸出變。系統矩陣A,B,B1,C,C1,D,D1為適當維數的矩陣。

下面給出分數階連續(xù)線性系統(1)有關的一些定義及一些引理。

引理1對于任何矩陣 Δ∈Rm×n,且 rank(Δ)=m,則存在Δ的奇異值分解

其中，S∈Rm×m是對角矩陣，U∈Rm×m,V∈Rn×n為正交矩。[2]

引理2給定矩陣 Δ∈Rm×n,且 rank(Δ)=m,假設X∈Rn×n是對稱矩陣，則存在矩陣滿足的充要條件是X可以寫成

2 問題陳述

對分數階連續(xù)線性系統(1)，采用如下基于觀測器的控制器

定義增廣狀態(tài)變量

文中所研究的基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器設計問題可陳述如下：對于分數階連續(xù)線性系統(1)設計形如(2)的控制器使得閉環(huán)系統(3)漸進穩(wěn)定且滿足H∞性能指標。

引理3給定擾動水平γ＞0，閉環(huán)系統(3)漸進穩(wěn)定且滿足H∞性能指標的充要條件為存在矩陣P＞0[3]，使得

3 主要結果

首先給出閉環(huán)系統(3)漸進穩(wěn)定且滿足H∞性能指標的充分條件，其次通過使用矩陣奇異值分解的方法，以線性矩陣不等式形式給出了基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件。

定理1給定擾動水平給定擾動水平γ＞0，閉環(huán)系統(3)漸進穩(wěn)定且滿足H∞性能指標的充分條件為存在矩陣P1＞0,矩陣P2＞0,矩陣K,L使得

則不等式(5)可以寫成不等式

設矩陣(7)特征值為λ，即

即矩陣(7)與矩陣

有相同的特征值。則不等式(4)等價于不等式

根據Schur補引理，不等式(9)等價于不等式(6)。證明完畢。

由于存在非線性項BKP1,LCP2,因此，矩陣不等式(5)不是線性矩陣不等式。下面應用引理1和引理2將它轉化為線性矩陣不等式。

定理2對于分數階連續(xù)線性系統(1)，假設輸出矩陣C行滿秩，則存在矩陣C的奇異值分解

此時基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件為存在矩陣 P1＞0,矩陣 P11＞0,矩陣P22＞0,矩陣 M,X1和 X2使得

證明由于

注:定理2給出了分數階連續(xù)線性系統(1)的基于觀測器的H∞控制器的線性矩陣不等式，

推論1對于分數階連續(xù)線性系統(1)，假設輸出矩陣C行滿秩，存在矩陣C的奇異值分解

則基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件為存在矩陣P1＞0,矩陣P11＞0,矩陣P22＞0,矩陣M,X1和X2使得

其中，

4 數值例子

例考慮如下分數階連續(xù)線性系統

其中，α=1.7,

解求解線性矩陣不等式(10)，且令γ=0.145,可得