找出錯(cuò)因，以不變應(yīng)萬變解排列組合問題

張友連

新教材中增加了概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，而排列組合是求解概率問題的基礎(chǔ)，因此排列組合在高考中的地位越發(fā)顯得重要。近年來出現(xiàn)了一些新背景題目，排列組合與集合、不等式、概率等知識(shí)結(jié)合在一起，例如2014年廣東高考理科數(shù)學(xué)第8、11和17題（分值共23分），難度也有所增加，因此排列組合成為高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，切入點(diǎn)多，且抽象性極強(qiáng)，在解題過程中發(fā)生重復(fù)或遺漏現(xiàn)象不易被發(fā)現(xiàn)，所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。那么本文選擇了一些經(jīng)典題在教學(xué)過程中學(xué)生給出的錯(cuò)誤解法進(jìn)行剖析，以解師生之疑惑。

一、沒有采取適當(dāng)?shù)姆诸?、分步或分類、分步混淆不?/p>

例1：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的取法有多少種？

誤解： 6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)取2臺(tái)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)取2臺(tái)，11臺(tái)中取走4臺(tái)后還剩7臺(tái)任取1臺(tái)都能保證至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，所以是，若告訴學(xué)生出錯(cuò)，學(xué)生還百思不得其解，認(rèn)為自己分析的天衣無縫，殊不知這樣會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)重復(fù)如：給6臺(tái)原裝編號(hào)A、B、C、D、E、F，5臺(tái)組裝編號(hào)1、2、3、4、5，按照，若取到A、B， 取到1、2， 取到C，則取到編號(hào)為A、B、1、2、C?？墒侨羧〉紸、C， 取到1、2， 取到B，事實(shí)上都是取到編號(hào)為A、B、1、2、C這5臺(tái)，這樣就重復(fù)計(jì)算了。

正解：對此應(yīng)適當(dāng)分類，完成這件事有2類方法，第一類辦法原裝計(jì)算機(jī)2臺(tái)，組裝計(jì)算機(jī)3臺(tái)，分兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法。同理完成第二類辦法原裝計(jì)算機(jī)3臺(tái)，組裝計(jì)算機(jī)2臺(tái)有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有350種方法。

二、分不清排列還是組合

例2：方程x+y+z=10有多少組正整數(shù)解？

誤解：問題轉(zhuǎn)化（隔板法）將10個(gè)完全相同的球排成一列，在1號(hào)與2號(hào)、2號(hào)與3號(hào)、3號(hào)與4號(hào) 9號(hào)與10號(hào)之間形成9個(gè)空檔中任意插入2塊板，把球分成3堆，而3堆球的各堆球的數(shù)目即為 x、y、z的一組正整數(shù)解，例如在第1號(hào)球和第3號(hào)球后插2塊板得到1、2、7一組解，而2、1、7又是一組解，此處體現(xiàn)順序所以共有。錯(cuò)因：此處只是9個(gè)位置選2個(gè)位置插板，這兩塊板不用排列，A板在第1個(gè)球后B板在第3個(gè)球后和B板在第1個(gè)球后A板第3個(gè)球后是相同的。

正解： 例如在第1個(gè)球和第3個(gè)球后插2塊板得到1、2、7一組解，在第2個(gè)球和第3個(gè)球后插2塊板得到2、1、7又是一組解，9個(gè)間隙中任意插入2塊板，這2塊板沒有順序，所以共有=36種。

三、對特殊元素、特殊位置考慮不全面

例3：2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有多少種？

誤解：小張和小趙只能從事翻譯、導(dǎo)游，則翻譯、導(dǎo)游安排有，剩下3人選2人安排禮儀、司機(jī)有，所以有。遺漏了小張和小趙其中一人沒選中。

正解： 法一、從特殊元素去考慮小張和小趙其中一人沒選中有，所以共有+=36

法二、從特殊位置去考慮。因?yàn)槎Y儀、司機(jī)不能選小張和小趙，所以從小李、小羅、小王3人中選2人有種方法，剩下3人任選2人安排翻譯、導(dǎo)游，共有=36種。

四、插空時(shí)要注意已經(jīng)排列好的元素或后來插入的元素能不能相鄰，還要注意有些空檔必須得插入元素

例：4：為紀(jì)念抗美援朝戰(zhàn)爭勝利六十周年，中央電視臺(tái)在某沿海城市舉辦一場”紅色經(jīng)典”的革命歌曲文藝演出，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍氣氛，主辦方特地邀請了三位參加過抗美援朝的老戰(zhàn)士演唱當(dāng)年的革命歌曲，要將這三個(gè)不同的節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有多少種？

誤解：7 個(gè)節(jié)目有8個(gè)空檔，選3個(gè)空檔插這3個(gè)節(jié)目，這三個(gè)節(jié)目有順序所以，漏了新增的3個(gè)節(jié)目可以相鄰。

正解：法一、7 個(gè)節(jié)目有8個(gè)空檔，選1個(gè)空檔插1個(gè)節(jié)目后變成8個(gè)節(jié)目有9個(gè)空檔，選1個(gè)空檔插1個(gè)節(jié)目后變成9個(gè)節(jié)目有10個(gè)空檔，同理得到=720。

法二、考慮用定序方法共有10個(gè)節(jié)目，原來的7個(gè)節(jié)目有 種順序，要不改變原來的節(jié)目順序，所以有=720種方法。

例5：某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌3個(gè)舞蹈3個(gè)曲藝節(jié)目，兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，則排節(jié)目單的方法多少種？

誤解1：先給3個(gè)曲藝節(jié)目排序， 3個(gè)節(jié)目有4個(gè)空檔，2個(gè)唱歌節(jié)目捆綁與3個(gè)舞蹈插入4個(gè)空檔，這樣能確保兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，錯(cuò)因：原來排列好的2個(gè)曲藝節(jié)目是可以相鄰的，唱歌與舞蹈可以相鄰。

誤解2： 先給3個(gè)曲藝節(jié)目排序， 3個(gè)節(jié)目有4個(gè)空檔，選3個(gè)空檔插入3個(gè)舞蹈節(jié)目， 6個(gè)節(jié)目有7個(gè)空檔，把2個(gè)唱歌節(jié)目捆綁， 選1個(gè)空檔插入唱歌節(jié)目， 所以。錯(cuò)因：漏了2個(gè)曲藝節(jié)目之間只有捆綁在一起的2個(gè)唱歌節(jié)目的情況。

正解：2個(gè)唱歌捆綁與3個(gè)曲藝排序，4個(gè)節(jié)目有5個(gè)空檔，選3個(gè)位置插3個(gè)舞蹈節(jié)目=2880種。

五、平均分組問題尤其要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)

例6： 甲、乙、丙3人值周，從周一到周六的6天中，每天安排一人值班，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，則不同的排法共有多少種？

誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的2天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列，共有。

錯(cuò)誤1：平均分組問題。比如：第一人挑選的是周一、二，第二人挑選的是周三、四，第三人挑選的是周五、六；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、四，第二人挑選的是周一、二，第三人挑選的是周五、六；所以再用全排列就重復(fù)計(jì)算了。錯(cuò)誤2：正難則反，甲值周一有，乙值周六有，若減去2 ，甲值周一，乙值周六這種情況減了2次。

正解： 有=42種。

解排列組合問題需要我們把復(fù)雜問題分解，了解各種錯(cuò)誤原因，做到不重復(fù)不遺漏，就能以不變應(yīng)萬變。