前推回代法在故障配電網(wǎng)中的收斂性分析及改進(jìn)算法

梁夢(mèng)可，滕歡，李雪松，吳澤穹

(四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院,成都 610065)

0 引 言

配電網(wǎng)潮流計(jì)算是配電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)安全運(yùn)行分析、網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)和故障處理的基礎(chǔ)，而與輸電網(wǎng)絡(luò)相比，具有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，配電網(wǎng)往往呈現(xiàn)出輻射狀結(jié)構(gòu)(閉環(huán)設(shè)計(jì))、存在較多分支和高阻抗比等特點(diǎn)。在進(jìn)行配電網(wǎng)潮流計(jì)算時(shí)，雅克比矩陣會(huì)呈現(xiàn)奇異特征，導(dǎo)致傳統(tǒng)的PQ分解法和牛頓拉夫遜法會(huì)出現(xiàn)收斂困難，計(jì)算緩慢，效率不高等特點(diǎn)。

傳統(tǒng)的前推回代潮流算法，對(duì)于輻射狀和高阻抗比的配電網(wǎng)具有良好的適應(yīng)性，其具有計(jì)算原理簡(jiǎn)單，收斂性好，精確度高等特點(diǎn)，使得其在配電網(wǎng)潮流計(jì)算中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。文獻(xiàn)[3-5]針對(duì)前推回代潮流算法進(jìn)行了一定改進(jìn)措施，提高了其潮流運(yùn)算速度；文獻(xiàn)[6]考慮了負(fù)荷的電壓靜態(tài)特性，完善了其實(shí)際應(yīng)用性。隨著分布式電源的發(fā)展，傳統(tǒng)配電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)從單一電源轉(zhuǎn)化為包含各種新能源的多電源網(wǎng)絡(luò)；文獻(xiàn)[7-8]分別從新能源接入配電網(wǎng)的角度進(jìn)行了考慮，分別對(duì)傳統(tǒng)的前推回代算法進(jìn)行了一定改進(jìn)。

針對(duì)故障配電網(wǎng)的潮流計(jì)算卻少有研究和考慮，文獻(xiàn)[9]將前推回代潮流算法應(yīng)用到了配電網(wǎng)故障定位中，但是忽略了故障點(diǎn)將改變配電網(wǎng)的收斂特性，使得傳統(tǒng)的前推回代潮流算法呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)。針對(duì)配電網(wǎng)故障潮流不收斂的現(xiàn)象，分析了故障點(diǎn)導(dǎo)致前推回代潮流算法難以收斂的原因，通過(guò)添加松弛因子，對(duì)傳統(tǒng)的前推回代潮流算法進(jìn)行改進(jìn)，改善了潮流計(jì)算的收斂性，并保證了潮流運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。該方法通過(guò)在迭代向量之間添加松弛因子，對(duì)新的迭代向量進(jìn)行約束，減小了不動(dòng)點(diǎn)迭代矩陣的譜半徑，使之滿足壓縮映射的條件，從而保證潮流計(jì)算的收斂性[10]。通過(guò)在MATLAB上進(jìn)行算例仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 前推后代潮流算法原理

在實(shí)際應(yīng)用中，大規(guī)?？茖W(xué)與工程計(jì)算產(chǎn)生的方程系數(shù)往往是大型稀疏矩陣，此類(lèi)方程的求解往往采用迭代法。前推回代潮流算法本質(zhì)也是通過(guò)迭代算法求解線性代數(shù)方程組，因此會(huì)面臨收斂性問(wèn)題[11]。

1.1 迭代方程的原理分析

(1)

V是結(jié)點(diǎn)電壓向量，為：

(2)

設(shè)x(0)是初始迭代向量，則Jacobi迭代算法的迭代矩陣可表示為：

xk+1=Bxk+g

(3)

式中迭代向量x=[INV]T；g是常數(shù)向量。

根據(jù)分析可知，基于前推回代的潮流算法采用的Guass迭代法。在Jacobi算法基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，其迭代矩陣B可分解為：

B=L+U

(4)

式中L是矩陣B的嚴(yán)格下三角矩陣；U是矩陣B的嚴(yán)格上三角矩陣。

Guass迭代法的分量形式為：

(5)

其矩陣形式為：

xk+1=Lxk+1+Uxk+g

(6)

通過(guò)對(duì)式(6)進(jìn)行變形，構(gòu)造的迭代方程為：

(7)

ρ((I-L)-1U)<1

(8)

對(duì)于正常運(yùn)行的配電網(wǎng)，前推回代潮流算法能夠取得良好的收斂性；但是，針對(duì)故障配電網(wǎng)，故障點(diǎn)將改變迭代矩陣的收斂性，甚至趨于發(fā)散狀態(tài)。文章在式(5)的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加松弛因子改變其收斂性，其分量形式為：

(9)

迭代方程的矩陣形式為：

xk+1=(1-ω)xk+ω(Lxk+1+Uxk+g)

(10)

對(duì)其進(jìn)行變形，即：

(11)

式中ξ是Guass法的迭代矩陣，根據(jù)ξ的譜半徑可以確定迭代方程是否收斂。當(dāng)ξ的譜半徑小于1，迭代方程處于收斂狀態(tài)，即：

ρ(ξ)<1

(12)

1.2 迭代矩陣B和常數(shù)向量g

配電網(wǎng)呈現(xiàn)輻射狀特點(diǎn)，采用結(jié)點(diǎn)分層來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其原始數(shù)據(jù)記錄如下格式：

支路參數(shù)矩陣BranchM:

{父節(jié)點(diǎn)子節(jié)點(diǎn)支路阻抗參數(shù)}

任一條支路的子節(jié)點(diǎn)具有唯一性，則阻抗ZLj可表示子節(jié)點(diǎn)是j的支路，即:

結(jié)點(diǎn)參數(shù)矩陣NodeM:

{結(jié)點(diǎn)號(hào)有功功率無(wú)功功率}

在配電網(wǎng)潮流計(jì)算中，負(fù)荷的模型的選取直接影響算法的收斂性，在短路計(jì)算中，負(fù)荷模型通常選取恒定阻抗模型。假定在故障前后，負(fù)荷的阻抗恒定不變，通過(guò)故障前的功率數(shù)據(jù)計(jì)算出負(fù)載阻抗ZLD，即：

(13)

式中PLD和QLD是故障前的負(fù)載有功和無(wú)功功率；VLD是故障前的負(fù)載電壓[12]。

根據(jù)配電網(wǎng)的支路參數(shù)矩陣中節(jié)點(diǎn)關(guān)系，可求得此種關(guān)系運(yùn)行方式下的結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣AT，矩陣AT可表示整個(gè)配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)[13]。

(14)

式中n表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)；aij表示節(jié)點(diǎn)i與結(jié)點(diǎn)j的關(guān)系，只有當(dāng)結(jié)點(diǎn)i是父節(jié)點(diǎn)，子節(jié)點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)j時(shí)，aij=1；否則，aij=0。

針對(duì)迭代矩陣B收斂性分析,需要對(duì)其進(jìn)行參數(shù)求解，根據(jù)公式，配電網(wǎng)的線性方程為：

(15)

式中n-1階方陣Bn是迭代矩陣B的分塊矩陣；n-1階向量gn是常向量g的子向量；根據(jù)配電網(wǎng)結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)關(guān)系，本文將分別對(duì)Bn和gn進(jìn)行求解。

根據(jù)算法原理可知結(jié)點(diǎn)負(fù)載電流只有結(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)，則B1和g1是零矩陣，B2是對(duì)角陣；其可表示為：

(16)

即：

(17)

根據(jù)基爾霍夫定理，忽略線路對(duì)地導(dǎo)納情況下，線路電流Iij等于結(jié)點(diǎn)j的負(fù)載電流和所有下游結(jié)點(diǎn)負(fù)載電流之和，根據(jù)關(guān)系矩陣AT可求得矩陣ATH，為：

(18)

式中i，j表示ATH(i，j)在矩陣ATH位置，假定ATH(i，j)=1，則表示結(jié)點(diǎn)j是結(jié)點(diǎn)i的下游結(jié)點(diǎn)。令A(yù)TH的對(duì)角元素為1，即：

ATH(i,i)=1i=1,2,…,n

(19)

則流經(jīng)支路Lij電流為：

(20)

式中向量ATH(j,2:n)是矩陣ATH的j行、2到n列的元素。

同理ATO是AT的轉(zhuǎn)置矩陣，可以表示子節(jié)點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的父節(jié)點(diǎn)的關(guān)系，例如矩陣ATO中存在aij=1，則表示節(jié)點(diǎn)j的父節(jié)點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)i，其結(jié)點(diǎn)i的電壓為：

(21)

對(duì)于任一條支路，其子節(jié)點(diǎn)與父節(jié)點(diǎn)的電壓關(guān)系為：

(22)

根據(jù)式(22)，可得：

(23)

B4=AOT(2:n,2:n)

結(jié)點(diǎn)2的電壓跟根節(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)，即：

(24)

可知：

(25)

式中向量g2中其他元素為零。

通過(guò)對(duì)潮流計(jì)算原理以及迭代矩陣B收斂性分析，當(dāng)配電網(wǎng)發(fā)生對(duì)地故障時(shí)，故障點(diǎn)將改變最初建立的迭代矩陣B，根據(jù)式(8)可知，進(jìn)而影響迭代算法的收斂性。當(dāng)?shù)匠痰淖V半徑大于1時(shí)，算法的收斂性將會(huì)被破壞，進(jìn)而導(dǎo)致不收斂現(xiàn)象的發(fā)生，通過(guò)添加松弛因子能夠使得遭到破壞的迭代矩陣重新收斂，將在第三章進(jìn)行算例分析和驗(yàn)證。

2 改進(jìn)前推回代潮流算法

配電網(wǎng)往往呈現(xiàn)輻射狀結(jié)構(gòu)，前推后代法是配電網(wǎng)潮流計(jì)算中廣泛采用的一種方法。改進(jìn)前推回代潮流計(jì)算過(guò)程如下：

(2)從第一層的末梢負(fù)荷結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，根據(jù)負(fù)載阻抗，由k次迭代的結(jié)點(diǎn)電壓可計(jì)算流入該節(jié)點(diǎn)j的負(fù)載電流，為：

(26)

式中j是最末稍結(jié)點(diǎn)的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)號(hào)；i是所在線路區(qū)段末結(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)號(hào)。

(3)從第二層(非末梢結(jié)點(diǎn))開(kāi)始逐層計(jì)算支路電流，根據(jù)基爾霍夫定理可求得：

(27)

式中j為是支路子節(jié)點(diǎn)號(hào)；i是該節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。

(4)由步驟(2)和步驟(3)可求得所有支路的電流，再根據(jù)已知的根節(jié)點(diǎn)電壓，由根節(jié)點(diǎn)向后依次求得各個(gè)負(fù)荷結(jié)點(diǎn)的電壓，為：

(28)

(29)

(4)計(jì)算各個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓幅值修正值。

(30)

(5)計(jì)算結(jié)點(diǎn)電壓修正量的最大值max(ΔUj)；

(6)判斷收斂條件

max(ΔUj)<ε

(31)

式中若最大電壓修正量小于閾值，則跳出循環(huán)，輸出結(jié)點(diǎn)電壓值和負(fù)載電流；否則重復(fù)以上步驟，直至滿足收斂條件。迭代結(jié)束后，輸出結(jié)點(diǎn)電壓和負(fù)載電流。

3 算例分析

以IEEE33結(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行算例分析，其結(jié)構(gòu)及結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖1所示。

圖1 IEEE 33結(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)模型Fig.1 Model of the IEEE 33-node test feeder

假定在結(jié)點(diǎn)15和16中間位置發(fā)生對(duì)地故障，故障電阻是5 Ω。利用Guass迭代法的前推回代潮流算法進(jìn)行計(jì)算，仿真結(jié)果證明配電網(wǎng)在故障狀態(tài)下，此算法不能處于收斂狀態(tài)，最終求得的結(jié)點(diǎn)電壓和負(fù)荷電流趨于無(wú)窮大。對(duì)迭代矩陣進(jìn)行收斂性分析，求得其譜半徑為：

ρ((I-L)-1U)=1.303

(32)

因此，前推回代算法的迭代方程不滿足收斂狀態(tài)，驗(yàn)證了仿真結(jié)果。

對(duì)改進(jìn)的潮流算法進(jìn)行仿真分析，當(dāng)松弛因子ω=0.5時(shí)，其譜半徑為：

ρ(ξ)=0.831

(33)

改進(jìn)的潮流算法通過(guò)松弛因子改變了迭代方程的譜半徑，使之滿足壓縮映射的條件，從而保證潮流計(jì)算的收斂性。

為了進(jìn)一步對(duì)兩種算法進(jìn)行對(duì)比，選取故障點(diǎn)為分析結(jié)點(diǎn)，分析其電壓幅值和迭代次數(shù)的關(guān)系。改進(jìn)前的算法，其結(jié)果如圖2所示；改進(jìn)后的算法，其結(jié)果如圖3所示。

分析可知：改進(jìn)前的算法在故障情況下不具有收斂性，結(jié)點(diǎn)電壓隨著迭代次數(shù)增加趨于無(wú)窮，并且在前20次迭代過(guò)程中，由于新的迭代電壓不受前次結(jié)點(diǎn)電壓的約束，整個(gè)迭代過(guò)程呈現(xiàn)振蕩遞增；對(duì)比可知改進(jìn)的算法能夠保持較好的收斂性，迭代過(guò)程呈現(xiàn)振蕩衰減，并且逐漸趨于穩(wěn)定值，證明了松弛因子ω能夠?qū)Y(jié)點(diǎn)電壓進(jìn)行約束，使得迭代過(guò)程從發(fā)散狀態(tài)轉(zhuǎn)化為收斂狀態(tài)。

圖2 前推回代法電壓與迭代次數(shù)關(guān)系Fig.2 Relation between voltage and iteration times under forward/backward sweep substitution

圖3 改進(jìn)算法下電壓與迭代次數(shù)關(guān)系Fig.3 Relation between voltage and iteration times under improved algorithm

通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了改進(jìn)算法的可行性，而且在相同工況條件下，對(duì)松弛因子ω和迭代次數(shù)n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行了分析，其函數(shù)關(guān)系如圖4所示，在ω=0.82，存在最小迭代次數(shù)n=25。

分析可知：在相同運(yùn)行條件下，松弛因子直接影響改進(jìn)算法的迭代次數(shù)，較小的松弛因子由于嚴(yán)格約束迭代向量的更新，相應(yīng)會(huì)增加迭代次數(shù)；而較大的松弛因子導(dǎo)致改進(jìn)算法的不收斂性增加，也會(huì)增加迭代次數(shù)；因此最優(yōu)松弛因子不僅保證算法的收斂，而且能夠加快算法運(yùn)行速度。

圖4 迭代次數(shù)與松弛因子關(guān)系Fig.4 Relation between iteration times and relaxation factor

根據(jù)改進(jìn)潮流算法對(duì)配電網(wǎng)進(jìn)行故障潮流計(jì)算，其結(jié)點(diǎn)電壓和負(fù)載電流如表1所示。

表1 計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results

4 結(jié)束語(yǔ)

前推回代潮流算法針對(duì)正常運(yùn)行的配電網(wǎng)具有較好的實(shí)用性，但是對(duì)于配電網(wǎng)故障潮流的計(jì)算卻存在不收斂現(xiàn)象。文中從本質(zhì)上分析了此算法的數(shù)學(xué)原理以及不收斂的原因，在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)；通過(guò)添加松弛因子，對(duì)迭代向量進(jìn)行約束，從而改變了算法的收斂性。通過(guò)在Matlab上進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證了此算法的實(shí)用性和收斂性，并且提出了最優(yōu)松弛因子的理念，但是對(duì)于不同故障條件下，針對(duì)最優(yōu)松弛的選取問(wèn)題，仍需要進(jìn)一步研究和分析。