初中數(shù)學(xué)“整理性”課后作業(yè)的設(shè)計(jì)和使用的實(shí)踐研究

丁妙英

【摘 要】新時代呼喚明天的教育是為了適應(yīng)信息化社會的智慧教育。讓學(xué)生學(xué)會思考交流，學(xué)會學(xué)習(xí)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。本文從“整理性課后作業(yè)內(nèi)容選擇和類型設(shè)計(jì)”、“整理性課后作業(yè)的使用”、“整理性課后作業(yè)再完整”三個方面的研究；使學(xué)生在整理和使用中逐步掌握初中數(shù)學(xué)螺旋上升的數(shù)學(xué)知識，自覺構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，培養(yǎng)學(xué)生反思?xì)w納創(chuàng)新能力。養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和探究能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；整理性；知識建構(gòu)；學(xué)習(xí)方法

一、研究源起

課后作業(yè)是為鞏固學(xué)習(xí)效果而安排的一種有目的、有指導(dǎo)、有組織的學(xué)習(xí)活動，它是教學(xué)的基本環(huán)節(jié)，是課堂教學(xué)的延續(xù)和補(bǔ)充，它有助于知識的鞏固、深化，有益于技能、智力和創(chuàng)造才能的發(fā)展，是提高學(xué)生素質(zhì)的重要載體。通過完成一定的數(shù)學(xué)課后作業(yè)，不僅使學(xué)生鞏固課堂上所學(xué)的知識，并將知識轉(zhuǎn)化為技能、技巧，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

整理性課后作業(yè)是數(shù)學(xué)作業(yè)中的重要組成部分，是一項(xiàng)重要學(xué)習(xí)方法。他讓學(xué)生通過“理”達(dá)到“通”的目的。即學(xué)生對所學(xué)過的知識進(jìn)行系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)化地整理，使知識點(diǎn)串成線，織成網(wǎng)，連成片。達(dá)到讓學(xué)生融會貫通，弄清楚知識的前因后果，來龍去脈，并學(xué)會歸納，學(xué)會反思。

二、理論依據(jù)

建構(gòu)主義理論：建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生是自我發(fā)展的主體，他們具有主體意識和實(shí)踐能力，根據(jù)外在信息，通過自己的背景知識，建構(gòu)自己知識的過程。在這個過程中，學(xué)生不是被動的信息吸收者和刺激接受者，他要對外部的信息進(jìn)行選擇和加工。任何外在的教育力量和因素，只有內(nèi)化為學(xué)生的自覺需要才可能真正奏效，任何教育過程在本質(zhì)上都是客觀因素向主觀因素轉(zhuǎn)化的過程。

“整理性”課后作業(yè)的設(shè)計(jì)應(yīng)用基本建構(gòu)過程如圖所示：

三、“整理性”課后作業(yè)設(shè)計(jì)和應(yīng)用的實(shí)踐研究

（一）“整理性”課后作業(yè)內(nèi)容選擇和類型設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要體現(xiàn)“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的地位，而筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)知識的整理過程中也應(yīng)當(dāng)以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”。把知識的整理權(quán)還給學(xué)生，學(xué)生做“主人”，教師當(dāng)“觀眾”。從教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生已有理解水平出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識特點(diǎn)設(shè)計(jì)“整理性”課后作業(yè)內(nèi)容，一般在內(nèi)容上有以下幾個選擇：

1.課后知識回顧——課后知識的整理性筆記

在課堂上，數(shù)學(xué)知識有很多典型知識和例題的應(yīng)用，很多學(xué)生會忙于在課堂上抄筆記，有時教師已經(jīng)在講下個知識點(diǎn)了，而他們卻還在忙著抄題，導(dǎo)致整節(jié)課沒跟上節(jié)奏，不能很好的掌握知識要點(diǎn)。因此，聽懂、理解遠(yuǎn)比抄寫更重要，課內(nèi)不應(yīng)該成為整理筆記的主戰(zhàn)場，倡導(dǎo)學(xué)生在課后整理筆記。在每天的課后，讓學(xué)生通過回顧的方式，總結(jié)歸納所學(xué)的知識點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯點(diǎn)、混淆點(diǎn)、思想方法，然后有選擇地整理在每節(jié)課的課本上。

案例1：在學(xué)習(xí)了5.1分式以后，學(xué)生就整理了如下的筆記：（1）本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)了分式的定義：形如（A，B是整式，B中有字母）；（2）知道分式有意義B≠0；（3）分式值為0：A=0，且B≠0（4）例2，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，方法二還可以用方程思想。

2.階段性知識整理——思維結(jié)構(gòu)圖設(shè)計(jì)

（1）知識結(jié)構(gòu)圖的概念。

知識結(jié)構(gòu)圖通常是將構(gòu)成某一主題的知識要素置于圓圈或方框中用線條、箭頭等連接方式連接，形成系統(tǒng)、清晰、準(zhǔn)確的圖表或示意圖。這種知識結(jié)構(gòu)圖能將教師在課堂教學(xué)中要講的知識點(diǎn)及知識點(diǎn)之間的相互聯(lián)系簡明扼要地呈現(xiàn)出來，是一種整體建構(gòu)知識的圖形工具。

（2）教師指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖。

對于大部分學(xué)生來說，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖存在一定的難度，這就要求教師對學(xué)生予以一定的指導(dǎo)。教師指導(dǎo)學(xué)生制作知識結(jié)構(gòu)圖的步驟歸納如下：

①確定某一主題。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和大綱要求，確定主題，使學(xué)生弄清楚知識的范圍。

②確定主要的概念。在該主題中，整理出核心的、關(guān)鍵的概念及與其相關(guān)的概念，將它們一一羅列出來，并理清楚這些概念之間的聯(lián)系。如代數(shù)式的關(guān)鍵概念有單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、同類項(xiàng)等。

③確定概念的排序并連接。將概念按其概括性大小依次排列，把概括性最強(qiáng)的概念置于最頂層，概括性較小的概念置于其后，依次向下并用連線連接。

案例2： 從七年級開始指導(dǎo)學(xué)生在每單元結(jié)束以后，整理每塊知識之間的結(jié)構(gòu)圖，下面以學(xué)習(xí)分式和平行線等內(nèi)容后，讓學(xué)生嘗試整理的知識結(jié)構(gòu)圖。

3.數(shù)學(xué)幾何基本圖形整理——基本圖形以題代理

知識是靜態(tài)的，思維是動態(tài)的。筆者認(rèn)為知識的整理也可以“以題代理”的形式，在進(jìn)行幾何解決問題的過程中，我們經(jīng)常會遇到一些較為復(fù)雜的幾何圖形，如何從中找出其中的“基本型”往往成為解題的關(guān)鍵，讓學(xué)生整理一些常見的基本圖形進(jìn)行歸類分析，可以事半功倍，即所要整理的基本圖形以練習(xí)題的形式呈現(xiàn)，可以選擇用具有“一題多解”，“一題多變”，“多題歸一”的變式題組。通過做這些精選的變式題組，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)造能力，有利于學(xué)生加深理解知識的縱向和橫向聯(lián)系，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。

案例3：基本的圖形：

①如圖1，2當(dāng)點(diǎn)A、B分別在直線l的同側(cè)和異側(cè)時，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC的和最小。

②如圖3，在直線l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)A與直線l上各點(diǎn)的連線中，AP最短。

③如圖4，如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河（兩岸平行）今要在河上建一座橋（橋與河岸垂直），如何選擇橋的位置？

案列4：常見的應(yīng)用

（1）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且CE=1，點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn)，則PA+PE的最小值是。

（2）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC上一定點(diǎn)。

請?jiān)贐D上找一點(diǎn)P，使PE+PC和最小。

（3）如圖，⊿ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上一動點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為_____

在三線八角中存在以下基本圖形

如圖：AB平分∠CAD，CB∥AD，判斷△ABC的形狀在這個基本圖形中：①AB平分∠CAD②CB∥AD③AC=BC只要知道其中兩個便可以推出余下一個；此基本圖形在幾何推理中廣泛的應(yīng)用。

在整個初中階段幾何這種基本圖形很多，讓學(xué)生平時注重積累，提高學(xué)生解題水平和幾何推理能力。

4.整理數(shù)學(xué)易錯知識——繪制表格強(qiáng)調(diào)易錯點(diǎn)

知識的把握不僅僅需要整體構(gòu)建知識框架，更需要了解知識點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有很多概念、定理、規(guī)律等都具有相似性和系統(tǒng)性。學(xué)生容易混淆，把相關(guān)知識結(jié)合在一起進(jìn)行比較分析，對其進(jìn)行整理歸納挖掘，加深學(xué)生的理解，把易錯部分回執(zhí)備忘錄又能培養(yǎng)學(xué)生自主分析、思考、解決集“錯”是學(xué)生對自己錯誤的一種反思，同時也是對自己學(xué)習(xí)的一種反思。反思是一種主動“再認(rèn)識”的過程，是思維的高級形式。在整理錯題時，不僅明白了一道錯題是怎樣求解這么簡單，更重要的是通過整理“錯題”，讓學(xué)生學(xué)會如何學(xué)數(shù)學(xué)、如何研究數(shù)學(xué)，掌握哪些知識點(diǎn)在將來的學(xué)習(xí)中會犯錯誤，真正做到能力與知識俱長。

案例5：在八上學(xué)生學(xué)習(xí)了中垂線和角平分線定理和逆定理以后產(chǎn)生三角形的內(nèi)心和外心，學(xué)生對這兩個心很容易混淆，設(shè)計(jì)表格比較知識之間的關(guān)聯(lián)。

案例6：y=2x2-4x+3，如果0≤x≤6，那么求出y的變化范圍。容易錯解為：當(dāng)x=0，則y=2×0-4×0+3=3，當(dāng)x=6，則y=2×36-4×6+3=51，因此，當(dāng)0≤x≤5，得出3≤y≤51。分析錯誤原因設(shè)計(jì)備忘錄，備忘錄：對初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的性質(zhì)缺乏深入理解是，只注意到了明顯條件，卻造成了對頂點(diǎn)位置的忽略。

（二）“整理性”課后作業(yè)的使用

1.每日課后整理作業(yè)口答完善型

對于每天的課后知識回顧整理，是每一天的課后作業(yè)的一部分，它的整理即及時鞏固每天學(xué)習(xí)內(nèi)容的要點(diǎn)，重點(diǎn)，符合遺忘曲線特點(diǎn)，又為第二天新課的引入做好鋪墊，這部分整理作業(yè)內(nèi)容少，反饋快。教師往往通過提問由學(xué)生口答、學(xué)生補(bǔ)充的形式使用，并在學(xué)生觀點(diǎn)基礎(chǔ)上再提出新問題；學(xué)生也可以向老師提出置疑，就某一問題共同探討，學(xué)生對問答的進(jìn)度和方向有較多的支配機(jī)會，教材內(nèi)容整理這種口答式反饋方式承上啟下，水到渠成。

2.章節(jié)思維結(jié)構(gòu)圖課堂討論重組型

每單元的知識結(jié)構(gòu)圖在復(fù)習(xí)課上采用課堂討論，在班集體中小組內(nèi)相互交流個人的看法，相互學(xué)習(xí)、相互啟發(fā)的一種教學(xué)形式。小組成員展示自己的結(jié)構(gòu)圖，并說明整理的意圖，思考整理過程中自己的優(yōu)缺點(diǎn)，并不斷進(jìn)行優(yōu)化補(bǔ)充。這種課堂討論不僅促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，還有利于學(xué)生認(rèn)識的深化，增強(qiáng)參與和合作意識，在討論中不斷進(jìn)行反思，在反思中構(gòu)建自己的認(rèn)識體系。討論有意見分歧時，教師要及時組織評議，肯定優(yōu)秀的； 當(dāng)小組評議結(jié)束，由小組代表進(jìn)行全班展示匯報，其余小組補(bǔ)充重構(gòu)。教師可將討論情況給予小結(jié)，指出進(jìn)一步深入討論的思考方向，讓同學(xué)們負(fù)責(zé)繼續(xù)整理并匯報討論結(jié)果。

這種讓學(xué)生在制作知識結(jié)構(gòu)圖時經(jīng)歷了整理知識、整合知識，篩選知識、形成基本結(jié)構(gòu)圖、嵌入遺漏的知識、不斷修正與完善的過程。知識結(jié)構(gòu)圖有助于學(xué)生主動學(xué)習(xí)，主動構(gòu)建知識整理框架，主動修正與完善自我學(xué)習(xí)中的不足。小組合作式的交流和教師適時、適度地指導(dǎo)，有助于激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的潛能，提高學(xué)生思維層次，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神。另一方面，通過學(xué)生制作的知識結(jié)構(gòu)圖，教師可以及時有效地了解和診斷學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，反思自己教學(xué)的不足之處，改進(jìn)自己的教學(xué)方式，提高課堂教學(xué)效率。

3.基本圖形易錯題整理文字和當(dāng)面反饋型

一開始教師對出現(xiàn)的幾何基本圖形和易錯知識點(diǎn)進(jìn)行揭示，分析其中存在的基本圖形，對于易錯點(diǎn)分析是知識點(diǎn)概念上相似還是理解上的易錯問題，指導(dǎo)同學(xué)們嘗試以題代理，一段時間，學(xué)生基本學(xué)會整理基本圖形和易錯題，教師則通過定期檢查，并采用文字對同學(xué)們所整理的內(nèi)容進(jìn)行評價和指導(dǎo)，對于有拓展和不正確的理解則及時和學(xué)生當(dāng)面進(jìn)行溝通指導(dǎo)。對于整理作業(yè)也要及時反饋到學(xué)生手里，讓學(xué)生及時了解到整理中的優(yōu)缺點(diǎn)，及時進(jìn)行反思和調(diào)整，以便精益求精。

（三）“整理性”課后作業(yè)的再完善

整理性作業(yè)要求學(xué)生有比較好的歸納、反思的能力，學(xué)生基礎(chǔ)和能力一開始不一定能達(dá)到預(yù)想的效果，老師重視各個使用環(huán)節(jié)中的同學(xué)間的合作和潛移默化的轉(zhuǎn)換，使整個整理作業(yè)能產(chǎn)生合力，從而使作業(yè)效用得以充分發(fā)揮，所以指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會整理，再次完善就顯得更加重要。補(bǔ)充完善的過程就是一個認(rèn)知重建，體系完善的過程。知識在再次整理中得到積累，思想在再次整理中得到豐富，認(rèn)識在整理中得到深化，境界在整理中得到升華，學(xué)生的學(xué)習(xí)在整理中會得到不斷的進(jìn)步。整理是對學(xué)習(xí)的階段性總結(jié)，總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，對以往的學(xué)習(xí)有一個清醒的認(rèn)識，為下一階段的學(xué)習(xí)做好必要的準(zhǔn)備。從積累到整理再到運(yùn)用的過程是一個提高與創(chuàng)新的過程，在此過程中學(xué)生能力可以不斷的得以提高。

四、研究成效

1.培養(yǎng)了習(xí)慣

整理作業(yè)不僅僅是一種作業(yè)形式，更是一種能力。經(jīng)過對學(xué)生長時間地有目的性地培養(yǎng)，班級絕大部分學(xué)生養(yǎng)成了良好的整理知識的習(xí)慣。每到周末，學(xué)生就會自覺在筆記本上整理每門課的重要筆記和書本知識，并用紅筆注釋，寫下反思。一本又一本的筆記本，展示著學(xué)生的整理成果，也彰顯他們正經(jīng)歷著“由厚到薄”和“由薄到厚”的讀書過程。

2.提高了成績

在平時的單元檢測以及期中、期末檢測中，班級成績一年一個臺階，穩(wěn)步上升。尤其是處于中等、中等以下的學(xué)生，成績更是有了突破性地飛躍。有同學(xué)曾興奮地告訴我：“老師，知識點(diǎn)經(jīng)過整理后，不再像以前那樣散亂無章，真是理一類，通一片?。　?/p>

3.激發(fā)了潛能

學(xué)生的潛能是無限的，只不過在平時的教學(xué)過程中沒有找到合適的途徑。學(xué)生在整理知識的過程中，為了表現(xiàn)自己，往往會各有特色，體現(xiàn)與眾不同的個性之處，得到教師的賞識后，同伴的認(rèn)同后，學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情瞬間被激活，學(xué)習(xí)的主動性和自覺性空前高漲。同時筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)，在課堂上能積極且全面地思考，敢于發(fā)表自己的想法，提出的問題具有針對性、嚴(yán)謹(jǐn)性、創(chuàng)造性。

在全面推進(jìn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的今天，我們不僅要讓學(xué)生“學(xué)會”，更要讓學(xué)生“會學(xué)”。教師也把知識學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生在整理中學(xué)會對所學(xué)知識、認(rèn)識事物的方法、分析解決問題的思維方式進(jìn)行整理、歸納、概括、挖掘，使新舊知識完美地融合，從而使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人！

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