高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中數(shù)學(xué)建模意識(shí)與方法的培養(yǎng)

摘 要：在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)建模過程中，良好的建模意識(shí)是基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中注重學(xué)生建模意識(shí)的培養(yǎng)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。本文從高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀出發(fā)，分析了數(shù)學(xué)建模意識(shí)與方法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所體現(xiàn)的重要意義，并提出了一些數(shù)學(xué)建模意識(shí)和方法的培養(yǎng)途徑，通過案例來具體說明將數(shù)學(xué)建模意識(shí)和方法應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的具體策略，幫助學(xué)生形成正確的建模意識(shí)，掌握建模方法。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)、建模意識(shí)與方法、培養(yǎng)途徑

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

現(xiàn)階段的高等數(shù)學(xué)教學(xué)越來越形式化，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力卻往往忽略了其理論背景以及實(shí)際應(yīng)用。這就導(dǎo)致了學(xué)生在遇到實(shí)際問題時(shí)缺失了應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解答問題的能力。在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解題意識(shí)比較淡薄，不能滿足后續(xù)專業(yè)課的需求。授課形式多以教師講授為主，師生之間缺乏良好的互動(dòng)，教學(xué)環(huán)境不利于創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。

二、高等數(shù)學(xué)建模思想意識(shí)的內(nèi)涵分析

數(shù)學(xué)建模指的是在各種實(shí)際問題的解答過程中，人們通過數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型并借助計(jì)算機(jī)數(shù)值求解的過程。數(shù)學(xué)建模是人們?cè)诮獯鹑粘?shí)際問題中應(yīng)用比較廣泛的方法，建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重大的意義。具體構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的步驟分為以下幾個(gè)階段：

1.調(diào)查研究階段

在解答實(shí)際問題的過程中，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是建立在對(duì)實(shí)際問題的歷史背景和內(nèi)在機(jī)理的深刻了解的基礎(chǔ)之上。因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解答問題的過程中調(diào)查研究階段是前提和基礎(chǔ)。

2.抽象簡化階段

在確定了問題的主要因素后，要對(duì)問題進(jìn)行抽象和簡化。明確和理順各個(gè)因素之間的聯(lián)系并提出必要、合理的假設(shè)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

3.構(gòu)建模型階段

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型階段要以扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)作為前提，充分應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)將問題歸納到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中去，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型。

4.數(shù)值求解階段

構(gòu)建好適合的數(shù)學(xué)模型后，利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力來進(jìn)行數(shù)值求解，熟練掌握Matlab、Lingo等運(yùn)算軟件是對(duì)模型構(gòu)建者的基本要求。

5.模型分析與檢查階段

盡管有的模型是不需要檢驗(yàn)的，但是在實(shí)際應(yīng)用中，很多的模型是否真實(shí)的反映了客觀實(shí)際是需要自己通過已知數(shù)據(jù)來進(jìn)行檢驗(yàn)的，所以檢查階段也非常的重要。

6.模型糾錯(cuò)階段

在實(shí)際的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用過程中對(duì)建模過程中不合理的部分（變量類型、變量取舍、已知條件等）要進(jìn)行積極的調(diào)整以達(dá)到糾錯(cuò)的目的。通過糾錯(cuò)使得模型中各個(gè)因素更加合理。

7.模型應(yīng)用階段

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的最終目的就是實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際工作的指導(dǎo)以及對(duì)未來狀況發(fā)生的預(yù)測(cè)和估計(jì)。重視模型的應(yīng)用是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的根本動(dòng)機(jī)，是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的最終目的。

三、將建模意識(shí)融入到高等數(shù)學(xué)教育的有效方法

在對(duì)學(xué)生進(jìn)行理論知識(shí)的講解過程中將數(shù)學(xué)建模方法灌輸給學(xué)生，有助于對(duì)學(xué)生建模意識(shí)的培養(yǎng)。經(jīng)過長時(shí)間的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，得出以下兩個(gè)入手點(diǎn)：

1.教學(xué)過程中注重原始背景和現(xiàn)實(shí)問題的結(jié)合

教師在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要注意應(yīng)用原始背景直觀的演示引入數(shù)學(xué)定義、定理和公式，并且對(duì)這些公式和概念的求證過程進(jìn)行詳細(xì)的講解。通過通俗的比喻以及描述性的語言使學(xué)生了解到前人對(duì)這些概念定義求證的建模過程。通過這樣的方式不僅讓學(xué)生了解到這些問題的本質(zhì)屬性，并且掌握了數(shù)學(xué)建模方法。教師在通過將實(shí)際問題和數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系使得學(xué)生學(xué)會(huì)了從實(shí)際問題中篩選有效的信息和數(shù)據(jù)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到解答實(shí)際問題的目的。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中單調(diào)枯燥的數(shù)學(xué)符號(hào)以及概念定理很容易使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣下降，教師要積極的在課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行良好的引導(dǎo)。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象美、統(tǒng)一美、和諧美以及嚴(yán)謹(jǐn)美，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精選教學(xué)案例，進(jìn)行建模示范

高等數(shù)學(xué)建模方法的教學(xué)中，重要的教學(xué)手段就是模型構(gòu)建的案例示范。案例示范對(duì)學(xué)生直觀生動(dòng)的理解建模具有重大的意義。通過模型示范來啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解答實(shí)際問題的意識(shí)。在教學(xué)過程中，教師要注重選擇既能反映實(shí)際問題又能夠開闊學(xué)生眼界的案例，通過這些優(yōu)秀的建模案例來調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深其對(duì)知識(shí)的理解，啟發(fā)建模意識(shí)，掌握建模方法，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維和方法探究現(xiàn)實(shí)世界的動(dòng)力。

四、建模思想應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)的案例分析

1.數(shù)學(xué)建模意識(shí)和方法在微積分教學(xué)中的案例分析

在高等數(shù)學(xué)中，微積分思想是較為重要的內(nèi)容?！盁o窮小量分析”和“微元分析”是微積分學(xué)科的主要思想方法。下面結(jié)合定積分的定義教學(xué)來分析其建模意識(shí)和方法的應(yīng)用過程。分析過程如下：

（1）實(shí)際問題：對(duì)曲邊梯形的面積進(jìn)行求解。（2）引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“無限細(xì)分，化整為零，以直代曲取近似，無限積累聚零為整”的微分思想，構(gòu)建問題表達(dá)式。（3）對(duì)問題進(jìn)行概括總結(jié)，引出定積分的定義。（4）數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它能將客觀原型化繁為簡，化難為易。實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的解答目的。

2.數(shù)學(xué)建模意識(shí)和方法融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的案例分析

在進(jìn)行講解全概率公式時(shí)，我們向同學(xué)們介紹了常染色體遺傳模型。其數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程如下：（1）實(shí)際問題：常染色體遺傳中，后代是從每個(gè)親體的基因中各集成一個(gè)而形成的的基因?qū)?。例如，某植物的基因類型為aa、Aa、AA，計(jì)劃AA型植物與各種基因型植物結(jié)合培養(yǎng)后代。若干年后，這種植物的n代三種基因的分布變化是怎樣的？（2）建模：引導(dǎo)學(xué)生利用全概率公式建立該植物第n代的基因型與第n-1代的分布遞推關(guān)系式。（3）模型分析和評(píng)價(jià)：通過取極限的結(jié)果來解釋用這種方法純化品種的科學(xué)性。通過對(duì)整個(gè)研究過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)所求解問題進(jìn)行解答。這樣不僅讓學(xué)生明確了建模意識(shí)的重要性，更體現(xiàn)了建模意識(shí)和方法在解答實(shí)際問題中所體現(xiàn)出來的高效性。

3.數(shù)學(xué)建模意識(shí)和方法融入線性代數(shù)和空間解析幾何教學(xué)的案例分析

在進(jìn)行Gauss消元法的教學(xué)時(shí)，向?qū)W生展示了計(jì)算機(jī)層析X射線照相術(shù)。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程如下：（1）實(shí)際問題：計(jì)算機(jī)層析掃描儀是根據(jù)病人頭外的X射線計(jì)算該病人的大腦圖像，這樣做合理嗎？（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用電線圖對(duì)掃面儀的工作原理進(jìn)行描述，建立相關(guān)的線性方程組。（3）數(shù)學(xué)模型求解：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用Gauss消元法來進(jìn)行求解。（4）模型分析：通過數(shù)學(xué)建模來解釋計(jì)算機(jī)層析X射線照相技術(shù)的合理性。通過這樣的建模求解過程使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模意識(shí)和方法在解答實(shí)際問題中所表現(xiàn)出來的優(yōu)勢(shì)，使學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣得到很大的提升。

通過解決實(shí)際問題實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中建模意識(shí)與建模方法的培養(yǎng)和鍛煉，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科源于生活又高于生活的特點(diǎn)。

結(jié)論

綜上所述，數(shù)學(xué)建模意識(shí)對(duì)實(shí)踐數(shù)學(xué)建模思想解答實(shí)際問題具有積極的意義，正是這種意識(shí)的存在提高了高等數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用頻率。通過合理的方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際問題的解答，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的。數(shù)學(xué)建模意識(shí)是前提，正確的數(shù)學(xué)建模方法是保障，通過兩者完美的結(jié)合實(shí)現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)在實(shí)際問題解答過程中的利用價(jià)值，為實(shí)際問題的解答提供了良好的思路和方法。

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作者簡介：

楊麗清（1988年），女，河北省張家口市人，碩士. 研究方向： 微流體力學(xué)、數(shù)學(xué)教育。