高中生對虛數(shù)的理解

【摘 要】虛數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一，具有很重要的實(shí)際應(yīng)用價值，然而筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于負(fù)數(shù)開平方依然存在疑慮，對于虛數(shù)的概念的理解不夠深刻。本文采用實(shí)證研究方法，對吉林和上海兩地225名高中生進(jìn)行問卷調(diào)查，了解學(xué)生對虛數(shù)的有關(guān)概念、代數(shù)運(yùn)算、幾何意義、實(shí)際應(yīng)用等四方面理解和掌握情況。經(jīng)過問卷統(tǒng)計(jì)分析以及對部分教師的訪談，運(yùn)用SOLO分類理論對部分主觀題目進(jìn)行分析，了解學(xué)生對虛數(shù)的理解程度，探究其原因并得出相應(yīng)的結(jié)論，意義在于為今后的虛數(shù)教學(xué)提供一些教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】虛數(shù)；實(shí)證研究；solo分類理論

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）15-0041-02

一、問題的提出

虛數(shù)是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本工具，復(fù)變函數(shù)論廣泛應(yīng)用于空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、制圖、勢流理論、熱流量、靜電通量以及周期性現(xiàn)象的研究[1]。因此，盡管虛數(shù)概念在高中數(shù)學(xué)課程中所占的比重并不大，但它的學(xué)習(xí)具有重要意義。研究表明，高中生在理解虛數(shù)時存在困難。林永偉等（2004）指出，中學(xué)生對虛數(shù)的困惑表現(xiàn)在三個方面：（1）表現(xiàn)出激烈的內(nèi)心沖突；（2）對新學(xué)的知識難以接受和認(rèn)同；（3）無法理解復(fù)數(shù)的本質(zhì)[2]。汪曉勤等（2005）通過對高一學(xué)生的測試發(fā)現(xiàn)，超過三分之一的學(xué)生并不理解和接受虛數(shù)，他們對負(fù)數(shù)平方根的排斥和抗拒與歷史上數(shù)學(xué)家的態(tài)度相似[3]。趙瑤瑤（2007）通過對高中生的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一半以上學(xué)生對虛數(shù)產(chǎn)生過疑惑[4][5]。

本研究將在前人研究的基礎(chǔ)上考查現(xiàn)階段高中生對虛數(shù)有關(guān)概念、代數(shù)運(yùn)算、幾何意義、實(shí)際應(yīng)用四方面的理解和掌握情況，藉此了解他們在虛數(shù)知識點(diǎn)上的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀。具體研究問題為：

（1）學(xué)生對虛數(shù)是否存在認(rèn)知障礙？造成這些障礙的原因有哪些？

（2）學(xué)生對虛數(shù)有關(guān)概念的理解程度如何？

（3）學(xué)生對于虛數(shù)的四則運(yùn)算、幾何表示以及實(shí)際應(yīng)用的掌握情況如何？

二、研究方法

采用問卷調(diào)查（問卷見附錄）和訪談的研究方法。被試為上海和吉林兩地共225名高中生，其中上海地區(qū)被試為高二學(xué)生140人，吉林地區(qū)為高三學(xué)生85人。

問卷中題目（選出四題），考查學(xué)生對于虛數(shù)概念的理解，復(fù)數(shù)相等的靈活應(yīng)用以填空的形式考查，學(xué)生運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)或者幾何表示解決問題以解答題形式考查，虛數(shù)的學(xué)習(xí)對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響以選擇題形式考查。另外，筆者訪談四位在職高中數(shù)學(xué)教師（F1、F2、M1、M2），深入了解目前學(xué)生學(xué)習(xí)虛數(shù)的困惑及難點(diǎn)等。

按照年級、性別、地區(qū)分類整理問卷，用SPSS進(jìn)行T檢驗(yàn)時，一些客觀題按正確、錯誤、空白三類進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理；對于部分主觀題，根據(jù)學(xué)生所寫的詳細(xì)過程，分為完全正確、部分正確、錯誤和空白四類。對于部分主觀題運(yùn)用SOLO分類理論，判斷學(xué)生處于哪個層次，從而了解學(xué)生對虛數(shù)的理解程度，探究其原因并得出相應(yīng)的結(jié)論。（宋潔、趙洪，2005）

筆者根據(jù)SOLO分類理論對學(xué)生對虛數(shù)的理解水平進(jìn)行劃分：（1）前結(jié)構(gòu)水平：不理解相應(yīng)的概念、性質(zhì)等，解題過程幾乎全部錯誤，給出錯誤答案。（2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平：只記住相應(yīng)概念、性質(zhì)等，答題過程只含一兩步，但不能給出完整、正確的答案。（3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平：理解相應(yīng)知識并能加以運(yùn)用，但對復(fù)雜問題不能有機(jī)整合，給出與正確答案接近的答案。（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：深刻理解并能靈活運(yùn)用所學(xué)知識點(diǎn)來解決問題，給出正確答案。（5）拓展抽象結(jié)構(gòu)水平：能夠根據(jù)所學(xué)知識用多種方法解決相關(guān)問題，靈活解決復(fù)雜問題，給出正確、簡便的解題方法。

三、研究結(jié)果

1.有關(guān)虛數(shù)概念的理解。

第1題：你覺得引入虛數(shù)單位i的目的是什么？〖CD#6〗

此題的目的是了解學(xué)生對于虛數(shù)的概念理解程度如何。24.9%的學(xué)生可以準(zhǔn)確地說出引入虛數(shù)單位的目的，能夠認(rèn)識到虛數(shù)的本質(zhì)以及虛數(shù)與數(shù)系之間的關(guān)系。應(yīng)用SOLO評價法，該部分學(xué)生處于水平4。14.2%的學(xué)生處于SOLO水平3，認(rèn)為引入虛數(shù)的目的是求解方程；或者使的方程有解。25.3%的學(xué)生處于SOLO水平2，他們只是知道虛數(shù)是可以解決實(shí)數(shù)解決不了的問題，但他們并不知道虛數(shù)的本質(zhì)是什么。究其原因，這與學(xué)生不了解虛數(shù)產(chǎn)生的歷史背景有直接關(guān)系。筆者訪談了F1、M1老師，兩位老師認(rèn)為由于高考壓力，虛數(shù)的很多知識都被淡化了，學(xué)生平時接觸比較少，訓(xùn)練也比較少。開始學(xué)習(xí)虛數(shù)時，可能部分學(xué)生會記得引入虛數(shù)的目的是什么，但時間久了，學(xué)生會遺忘，究其原因還是對虛數(shù)的概念理解程度不夠，根本沒有上升到關(guān)系性理解。

2.關(guān)于虛數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。

第2題：已知關(guān)于x的方程x2-（2i-1）x+3m-i=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖CD#4〗。

此題涉及的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)相等的條件，11.6%的學(xué)生給出了正確答案，學(xué)生在回答此類問題時，需要考慮到實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛數(shù)根的情況，知道實(shí)數(shù)與虛數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，深化問題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識點(diǎn)解決問題。76.8%的學(xué)生回答此題時出現(xiàn)了錯誤，其錯誤分為兩類：①m≤-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗。超過90%的被試給出了這個答案。這類學(xué)生是按照求解實(shí)數(shù)系內(nèi)一元二次方程有解△≥0條件求解出答案。這說明，學(xué)生根本沒有區(qū)分實(shí)數(shù)系內(nèi)一元二次方程與復(fù)數(shù)系內(nèi)一元二次方程的區(qū)別，思維還停留在實(shí)數(shù)系內(nèi)，從而導(dǎo)致錯誤。②其他帶有i的式子。少數(shù)被試也按△≥0解答，但計(jì)算過程出現(xiàn)了錯誤。

T檢驗(yàn)知，高二年級學(xué)生的正確率較高，上海地區(qū)學(xué)生正確率較高。教師F2認(rèn)為，很多使用人教版教材的地區(qū)，學(xué)生很少接觸此類題目，面對高考不考查的這類知識點(diǎn)，學(xué)生和老師不重視。上海教材（共10課時）中有一節(jié)是專門講解實(shí)系數(shù)一元二次方程解的問題，而人教版教材（共4課時）中強(qiáng)調(diào)對復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)相等以及四則運(yùn)算等比較基本的知識。

3.虛數(shù)的幾何意義。

第3題：已知|z|=1，，求|1+〖KF（〗3〖KF）〗i-z|的最大值。

此題的目的是考查學(xué)生對于復(fù)數(shù)模的幾何意義的應(yīng)用，35.1%的學(xué)生給出了正確答案，68名學(xué)生在復(fù)平面內(nèi)用數(shù)形結(jié)合的方法求解，將題目給出的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即單位圓上的點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離的最大值，這部分學(xué)生處于SOLO水平4。學(xué)生能夠?qū)で笠环N簡便、靈活的方法巧妙地解決此題，對虛數(shù)的幾何直觀表示理解較透徹；8名學(xué)生采用代數(shù)方法求解，利用不等式|1+〖KF（〗3〖KF）〗i-z|≤|1+〖KF（〗3〖KF）〗i|+|z|，設(shè)z=a+bi，結(jié)合已知條件|z|=1給出正確答案，這8名學(xué)生處于SOLO水平4，在復(fù)數(shù)的代數(shù)計(jì)算方面掌握較好，能夠?qū)⒁郧皩W(xué)過的不等式性質(zhì)與復(fù)數(shù)知識點(diǎn)結(jié)合，從而靈活地解決相關(guān)問題。3名學(xué)生結(jié)合二元二次關(guān)系式，利用求函數(shù)最值的方法求解，他們并不能靈活運(yùn)用虛數(shù)模的幾何意義來解題，處于SOLO水平3。

19.6%的學(xué)生給出了部分正確的答案。一部分學(xué)生利用求函數(shù)最值方法求解，思路基本正確，但由于本題已知條件給出的是一個二元二次的關(guān)系，計(jì)算較繁瑣，所以學(xué)生在求解最大值化簡時極易出現(xiàn)錯誤。筆者認(rèn)為，這類學(xué)生沒有很好地掌握虛數(shù)的幾何表示，運(yùn)用時靈活性不夠，這阻礙了學(xué)生對虛數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識，他們處于SOLO水平2。24%的學(xué)生思路不正確，并不能很好地理解題目的含義。21.3%的學(xué)生沒有給出任何解答，筆者分析，可能學(xué)生面對此題找不到任何解決的辦法，他們處于SOLO水平1。

整理問卷發(fā)現(xiàn)，吉林地區(qū)的大部分被試用求函數(shù)最值的方法求解，由于計(jì)算繁瑣復(fù)雜，最終未能給出正確答案。教師M2認(rèn)為，虛數(shù)的幾何意義實(shí)際上對于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解虛數(shù)起著很重要的作用，對于學(xué)生來說也是學(xué)習(xí)虛數(shù)這部分知識的難點(diǎn)；同時學(xué)生需要深化理解虛數(shù)的模的幾何意義，并能夠靈活運(yùn)用。

4.虛數(shù)的教育價值。

第4題：學(xué)完整章復(fù)數(shù)，你覺得對你的學(xué)習(xí)有何影響？（可多選）（ ）

A.沒什么影響；

B.讓我知道并體會很多數(shù)學(xué)思想；

C.在物理學(xué)等學(xué)科及生活中有很大應(yīng)用；

D.培養(yǎng)我的良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；

E.其他（請具體寫出）.

此題的目的是了解虛數(shù)的教育價值，選擇B的學(xué)生為56.5%，他們在學(xué)習(xí)虛數(shù)的過程中體會了很多數(shù)學(xué)思想。選擇D的學(xué)生達(dá)到29.6%，他們認(rèn)為虛數(shù)的學(xué)習(xí)對其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有幫助的，因?yàn)樘摂?shù)的學(xué)習(xí)過程對其培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維具有積極作用。選擇A“沒什么影響”的學(xué)生為27.8%，這部分被試并沒有體會到虛數(shù)對其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響。選擇C“在物理等學(xué)科及生活中有很大應(yīng)用”的只有11.1%，這部分被試沒有切實(shí)地感受到虛數(shù)在實(shí)際生活中或者對于其他學(xué)科的輔助作用。關(guān)于虛數(shù)的應(yīng)用，卡茨（1999）講解了虛數(shù)（復(fù)數(shù)）在物理和工程上的應(yīng)用，學(xué)生對于虛數(shù)在日常生活中應(yīng)用的實(shí)例了解很少，因而他們不知道學(xué)習(xí)虛數(shù)的意義何在，這也是影響學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)的一個原因。選擇其他的學(xué)生中，2名學(xué)生認(rèn)為可以提高其計(jì)算能力；3名學(xué)生認(rèn)為可以解決其他類型的數(shù)學(xué)問題；2名學(xué)生認(rèn)為可以拓展其思維發(fā)展，其余8名學(xué)生答案與此題毫無關(guān)聯(lián)。

四、結(jié)論與教學(xué)啟示

通過以上分析，我們初步得出以下結(jié)論：

（1）高中生對虛數(shù)的概念理解是存在認(rèn)知障礙的，很多學(xué)生不知道引入虛數(shù)的目的何在，虛數(shù)從本質(zhì)上與實(shí)數(shù)的區(qū)別在哪里，大部分學(xué)生對于虛數(shù)概念的理解停留在SOLO水平1-2，對于虛數(shù)的不接受、不理解也印證了歷史的相似性。

（2）高中生對虛數(shù)的有關(guān)性質(zhì)概念的理解也存在一些問題，很多時候?qū)W生不知道如何運(yùn)用這些概念進(jìn)行分析運(yùn)用，只是死記硬背或者憑感覺。學(xué)生極易混淆實(shí)系數(shù)一元二次方程與實(shí)數(shù)系內(nèi)一元二次方程的異同點(diǎn)。

（3）整體來說高中生對于虛數(shù)的四則運(yùn)算能力不錯，大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確計(jì)算關(guān)于虛數(shù)的加、減、乘、除以及求虛數(shù)的共軛等問題。對于虛數(shù)的幾何意義掌握不好，由于學(xué)生對虛數(shù)的幾何意義理解程度不夠，沒有很好地認(rèn)識復(fù)平面內(nèi)有關(guān)虛數(shù)的各種幾何表示，將近一半學(xué)生對虛數(shù)幾何意義的理解停留在SOLO水平1-2。

（4）虛數(shù)的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說很重要，但由于很多學(xué)生并不知道虛數(shù)在實(shí)際生活中的意義，比如虛數(shù)在電路、飛機(jī)設(shè)計(jì)等方面的應(yīng)用，從而影響了學(xué)生對虛數(shù)學(xué)習(xí)與探究的動機(jī)。

基于上述結(jié)論，我們獲得如下教學(xué)啟示。

（1）虛數(shù)有關(guān)概念的教學(xué)。教師在引入虛數(shù)概念時，可以結(jié)合歷史素材，在課堂上有針對性地向?qū)W生介紹歷史上虛數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的來龍去脈。另外虛數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例子有很多，比如，虛數(shù)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)領(lǐng)域，教師在教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生了解這些內(nèi)容，有利于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)動機(jī)，讓學(xué)生相信虛數(shù)是有用的，學(xué)習(xí)虛數(shù)是必要的。

（2）虛數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及幾何意義的教學(xué)。測試中發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易混淆實(shí)系數(shù)一元二次方程的解與一元二次方程的實(shí)數(shù)解。教師應(yīng)該分析其本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生了解，一個方程為實(shí)系數(shù)一元二次方程并不代表其有實(shí)數(shù)解，注意虛數(shù)解的情況，幫助學(xué)生突破此難點(diǎn)。另外，調(diào)查顯示，學(xué)生對于虛數(shù)幾何意義的應(yīng)用不夠靈活，而且調(diào)查學(xué)生認(rèn)為最難學(xué)或者最難理解的內(nèi)容（問卷中第10題）時，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為運(yùn)用其幾何意義解題是最困難的。教師應(yīng)該將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與實(shí)數(shù)對以及復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)之間對應(yīng)起來，并深化虛數(shù)模的幾何意義，將數(shù)形結(jié)合思想貫穿于復(fù)數(shù)的教學(xué)之中。

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作者簡介：林佳樂，女，漢族，吉林人，1988年2月出生，研究方向：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育，碩士研究生，初級教師，華東師范大學(xué)畢業(yè)。