“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”視角下的概念教學(xué)*

一、問題的提出：什么是數(shù)學(xué)現(xiàn)象

圖1

圖2

對于一個對象，人可以有很多種觀點(diǎn)，并在任何一種觀點(diǎn)下產(chǎn)生相應(yīng)的聯(lián)想。對不同的人而言，聯(lián)想又是千差萬別的。例如圖1中的一棵樹，可以從植物學(xué)、生態(tài)學(xué)、化學(xué)等等不同學(xué)科視角出發(fā)對其進(jìn)行研究。若在數(shù)學(xué)家的視野下，則不難看出其枝干數(shù)目恰好構(gòu)成斐波那契數(shù)列。圖2的向日葵結(jié)構(gòu)中，同樣蘊(yùn)含著一個數(shù)學(xué)元素——斐波那契螺旋線。一個獨(dú)立于學(xué)習(xí)者的頭腦之外的客觀存在需要學(xué)習(xí)者的主動探索才能認(rèn)識，我們可以稱它為“現(xiàn)象”。當(dāng)我們把一個現(xiàn)象放在數(shù)學(xué)的視野之中的時候，它就成了數(shù)學(xué)現(xiàn)象。筆者以為，數(shù)學(xué)現(xiàn)象不是世界中的新事物，它本來就在世界之中，只是被我們拿來作為數(shù)學(xué)教學(xué)的題材時，我們給了它這個稱呼。簡單地概括一下：數(shù)學(xué)現(xiàn)象=現(xiàn)實(shí)世界+數(shù)學(xué)觀念。同一個客觀事實(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光去看它，它就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象；用語文的眼光去看它，它就是語文現(xiàn)象；用哲學(xué)的眼光去看它，它就是哲學(xué)現(xiàn)象。對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)現(xiàn)象是師生要共同走進(jìn)的領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)已經(jīng)具備了高度抽象化與形式化，再加上高度的自洽性，其自身已有足夠的動力和理由讓自己存在和發(fā)展下去。所以，數(shù)學(xué)往往遠(yuǎn)離人們的日常生活。拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，讓數(shù)學(xué)成為認(rèn)識、改造世界的工具，在當(dāng)今時代的數(shù)學(xué)教育中顯得尤為迫切。數(shù)學(xué)現(xiàn)象就是把來自于自然的素材展示給學(xué)生，讓他們用數(shù)學(xué)的眼光解析它，在這樣的活動和過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、提煉數(shù)學(xué)方法、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想、形成用數(shù)學(xué)觀念理解世界的情感態(tài)度。

當(dāng)現(xiàn)實(shí)世界融入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們就可以利用數(shù)學(xué)王國里豐富的知識和工具來研究它，從而實(shí)現(xiàn)更深刻、更抽象、更廣泛意義下的認(rèn)識。這就是提出“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”概念的用意和它的價值，也是展開現(xiàn)象教學(xué)的基礎(chǔ)。

二、概念的比較辨析：數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)情境

相比于數(shù)學(xué)情境，數(shù)學(xué)現(xiàn)象有兩點(diǎn)特性：其一，數(shù)學(xué)現(xiàn)象更加直接地指向客觀現(xiàn)實(shí)，它強(qiáng)調(diào)的是用數(shù)學(xué)眼光看世界，在沒有數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，把現(xiàn)實(shí)中的問題納入數(shù)學(xué)的范疇；其二，數(shù)學(xué)現(xiàn)象不是著眼于對學(xué)生調(diào)動熱情、激發(fā)興趣、強(qiáng)化動機(jī)，而是強(qiáng)調(diào)人與現(xiàn)實(shí)的互動、指向人的意志的實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)實(shí)世界就在那里，人們賦予它數(shù)學(xué)意義，人們用數(shù)學(xué)工具去解析它、評價它、改造它，它才成了數(shù)學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)然，在這個過程中人們也體驗(yàn)到喜悅、快樂和滿足，并感受到自身的價值。

數(shù)學(xué)情境則重在營造學(xué)習(xí)氛圍，面向課堂，為數(shù)學(xué)知識服務(wù)。就過程看，它主要關(guān)注設(shè)疑激趣，讓學(xué)生更快更好地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。就結(jié)果看，它主要指向知識的建構(gòu)和能力的形成。雖然在情感態(tài)度價值觀上影響學(xué)生，但主要局限在“知識”的層面上，告訴學(xué)生“這個知識是有用的”或者“這個方法很有效”。在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識過后，情境就被甩掉了。筆者所見過的數(shù)學(xué)情境教學(xué)課例，基本都是在課的一開始用情境引入，從全局看，它只被當(dāng)作一個很次要的環(huán)節(jié)，在用過以后就被悄無聲息地丟棄了，課堂上被反復(fù)提起的是“知識”和“能力”，似乎情境從來就沒有存在過。而在課下，學(xué)生的記憶、練習(xí)、反思、考試等等，所有的學(xué)習(xí)活動中已經(jīng)沒有了對情境的關(guān)注。如果說得不客氣一點(diǎn)，大部分情境都是用來“引入新課”的，而引入新課顯然不只有這一種方式。

如果說數(shù)學(xué)情境教學(xué)很符合人性，有利于數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，那么數(shù)學(xué)現(xiàn)象教學(xué)就很符合人性與自然性的結(jié)合，很利于人的身心發(fā)展與自我價值的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)現(xiàn)象相比于數(shù)學(xué)情境，更加凸顯、關(guān)聯(lián)真實(shí)世界，也更益于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成。

三、數(shù)學(xué)現(xiàn)象視角下的概念教學(xué)

“盲人摸象”故事告訴我們，盡管盲人們有各種準(zhǔn)確的信息，卻不能正確地認(rèn)識大象。因而如果我們要教學(xué)生認(rèn)識大象，一定是把他帶到大象實(shí)體或者是大象的圖片（影像）前，讓他們有完整的認(rèn)知。數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該這樣：給學(xué)生一個現(xiàn)象，讓他們接受完整而鮮活的數(shù)學(xué)信息。他們通過自己的信息采集和加工，從而形成的數(shù)學(xué)知識就是實(shí)在的也是容易牢固記憶的。

1.數(shù)學(xué)現(xiàn)象的選擇：基于概念教學(xué)的本源。

要加深學(xué)生對教材的理解，尤其是對數(shù)學(xué)概念的理解，我們一定要帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)教材，讓他們在原初的概念教學(xué)過程中獲得體驗(yàn)、獲取知識、得到方法，讓不同認(rèn)知水平的學(xué)生在課堂中得到發(fā)展。

案例1：在教學(xué)“向量的概念及表示”這一節(jié)新授課時，學(xué)生記憶中已經(jīng)有力、位移等物理學(xué)中的概念，這實(shí)際上就是一個現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中我們只要提及這些物理學(xué)的概念，學(xué)生馬上就知道三要素：方向、大小和起點(diǎn)。所以筆者在教學(xué)時用“速度”這個量來導(dǎo)入。

（1）假設(shè)貓奔跑的速度為15m/s，老鼠的速度為12m/s，老鼠在前貓?jiān)诤?，那么貓能否抓到老鼠？（學(xué)生回答：肯定行，因?yàn)樨堄忻黠@的速度值優(yōu)勢。）

（2）假設(shè)貓奔跑的速度為15m/s，老鼠的速度為12m/s，老鼠由一點(diǎn)向東北方向逃竄，如果貓由另一點(diǎn)向正東方向追趕（路線與老鼠逃竄沒有交點(diǎn)），那么貓能否抓到老鼠？為什么？（學(xué)生回答：肯定不行，因?yàn)樨堧m有明顯的速度值優(yōu)勢，但追趕方向不一致。）

通過這兩個例子，學(xué)生能感受到貓抓到老鼠（數(shù)學(xué)現(xiàn)象）成功與否的關(guān)鍵不僅僅看速度的大小，還要考慮速度的方向。從而將向量這個概念最本源的要素體現(xiàn)出來，便于學(xué)生對向量的理解。

2.數(shù)學(xué)現(xiàn)象的呈現(xiàn)：重現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的生成。

合理地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念生成的過程，能使他們感受概念形成的思維與現(xiàn)實(shí)的互動，讓他們體驗(yàn)思維的魅力和數(shù)學(xué)的智慧。正如數(shù)學(xué)家波利亞指出的那樣“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。

案例2：筆者在“兩角和與差的余弦”新授課推導(dǎo) cos（α-β）的公式時，先給學(xué)生呈現(xiàn)了10個層層探究的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

現(xiàn)象1不用計(jì)算器，求cos-375°的值。（學(xué)生通過誘導(dǎo)公式可以化簡至cos15°。）

現(xiàn)象2究竟cos15°等于多少？（學(xué)生對15°角余弦的值確實(shí)沒有辦法求解。）

現(xiàn)象3那你知道哪些特殊角的余弦值？（學(xué)生列舉了 30°、45°、60°、90°等等特殊角的余弦值。）

現(xiàn)象4那現(xiàn)在的15°與這些特殊角之間有什么關(guān)系？（非常多的學(xué)生脫口而出15°=45°-30°或者 60°-45°等。）

現(xiàn)象 5 cos15°是否就等于 cos45°-cos30°？（學(xué)生由余弦函數(shù)的單調(diào)性否定了。）

現(xiàn)象 6 那 cos15°、cos45°、cos30°就沒有關(guān)系還是它們間存在其他什么關(guān)系？如果有關(guān)系，那怎么去發(fā)現(xiàn)它們間的關(guān)系呢？（學(xué)生就此陷入思考。）

現(xiàn)象7除了在三角函數(shù)中用過余弦，余弦還在什么知識中遇到過？（學(xué)生思考后回答向量的夾角公式。）

現(xiàn)象8那15°能表示為兩個向量的夾角嗎？（學(xué)生認(rèn)為可以。）

現(xiàn)象9那怎么樣作這兩個向量？（學(xué)生動手作圖，有很多種情況，但總結(jié)下來基本上有這四種情況：①任意作夾角為15°的兩個向量的；②放在坐標(biāo)系里任意作圖；③化為兩個角的差作圖（不妨用60°-45°）；④放在坐標(biāo)系里兩個角的差作圖（不妨用60°-45°）。這個時候教師要有意識地選擇第4種，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)造向量的夾角公式的模型。）

現(xiàn)象 10 再由 cos15°類比到 cos（α-β）從而解決問題。

3.數(shù)學(xué)現(xiàn)象的分析：揭示數(shù)學(xué)概念的特性。

上述的概念本源和概念形成，讓學(xué)生直觀感知了概念的表象，切實(shí)經(jīng)歷了概念意義的生成過程，但這些都還不是概念的最終形態(tài)。數(shù)學(xué)是一門高度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，概念又是其中最核心的要素，數(shù)學(xué)概念自有其特殊的屬性。特別在最終呈現(xiàn)形式上，數(shù)學(xué)概念應(yīng)該體現(xiàn)出實(shí)在性、合理性和結(jié)構(gòu)性，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求，更是學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必由之路。

（1）實(shí)在性。所有的數(shù)學(xué)概念，不論數(shù)的范疇內(nèi)還是形的范疇內(nèi)的，都是高度概括高度抽象的，它們都是人腦的構(gòu)造物，在自然界中并不存在。比如在自然界中不存在脫離具體物體的 1、2、3，也不存在沒有厚度的三角形、沒有寬度的圓周、沒有體積的球面，至于方程、函數(shù)、矩陣、變換群等等，無一有具體實(shí)在的對應(yīng)物。但是，一旦它被構(gòu)造出來，在人的腦海中就必須是實(shí)在的。它必須具有意義的清晰性和穩(wěn)定性，能夠被辨認(rèn)、被區(qū)別、被解析、被表達(dá)。因而，我們在教學(xué)時必須注意調(diào)動學(xué)生自身的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生能夠從感性到理性自主構(gòu)建概念，在豐富的表象之上體會、揭示數(shù)學(xué)概念的清晰性和實(shí)在性。

（2）合理性。合理性可以明確為：一個數(shù)學(xué)概念既不應(yīng)該與其他的概念相矛盾，也不應(yīng)該是沒有價值的。數(shù)學(xué)概念的合理性來自于它的邏輯必然，它是必要的也是可接受的。從這個意義上說，教師在教學(xué)中的主要任務(wù)就是發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解、總結(jié)概念時的邏輯缺點(diǎn)，給學(xué)生以啟發(fā)，使學(xué)生自己在邏輯上修正、完善，讓概念的內(nèi)涵具備合理性。

（3）結(jié)構(gòu)性。任何一個概念都必然地與其他概念產(chǎn)生聯(lián)系，一系列的概念終究要形成一個有機(jī)的結(jié)構(gòu)，孤立的概念是談不上“實(shí)在性”與“合理性”的，也是沒有存在價值的。教師一定要站在高觀點(diǎn)上把握數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)性，才能發(fā)現(xiàn)學(xué)生概念把握的缺陷，從而給予正確的引導(dǎo)，讓學(xué)生完善對概念的理解。

概念在最終呈現(xiàn)時的實(shí)在性、合理性和結(jié)構(gòu)性，要求在教學(xué)時教師要讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際的活動、達(dá)成真實(shí)的意義建構(gòu)、形成明確可感知的心理表征。那種簡單的告知、機(jī)械的記憶以及只在一個名詞上的反復(fù)糾纏，都是無效的或低效的教學(xué)。

如果要找到一個教學(xué)方案以避免“告知”，那么現(xiàn)象教學(xué)就是一條絕對值得考慮的途徑。讓學(xué)生在對現(xiàn)象的感悟與辨析中，改造與升華活動經(jīng)驗(yàn)，在頭腦中形成抽象概念。比如案例1中用“貓追老鼠”來進(jìn)行向量概念的教學(xué)，教師不是首先告知學(xué)生“什么是向量”，甚至不跟學(xué)生說“這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)向量”，而是給出貓、老鼠、追及等實(shí)際問題，這些都是學(xué)生非常熟悉的，不需要投入任何的注意力。但是，“怎樣追及”就直接指向了“速度”。教師再于適當(dāng)?shù)臅r機(jī)提供不同的現(xiàn)象（此處也可以稱之為“情境”）變化，學(xué)生就能透過現(xiàn)象感受到貓與老鼠跑動的“方向”與“大小”。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生可以用兩手在桌面模仿老鼠和貓進(jìn)行追及實(shí)驗(yàn)，動用多種器官加深對“方向”和“大小”的感知，體會不同速度所產(chǎn)生的不同結(jié)果。這時，向量的“觀念”就產(chǎn)生了，當(dāng)然這還不是數(shù)學(xué)。接下來，再要求他們把速度（其實(shí)是向量）畫在紙上，并指明自己所畫的東西包含了哪些內(nèi)容，這樣的數(shù)學(xué)化以后，數(shù)學(xué)上的向量的概念就自然生成了。

4.數(shù)學(xué)現(xiàn)象的追問：用發(fā)展的眼光看待概念。

數(shù)學(xué)概念是用來描述客觀世界的，但是世界本身不能進(jìn)入人的頭腦，人們能夠感知的只是它所呈現(xiàn)的一個個現(xiàn)象，通過對現(xiàn)象的認(rèn)識進(jìn)而逐步認(rèn)識世界。顯然，因?yàn)楝F(xiàn)象并不是世界本身，故而我們頭腦里的概念并不一定是正確的，或許它離真相還很遠(yuǎn)?；诖?，我們就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生有這樣的心理準(zhǔn)備：在必要的時候?qū)Ω拍钸M(jìn)行改進(jìn)，以使它符合于更多的現(xiàn)象。

例如，一個簡單的問題：什么是“形狀相同的三角形”？歐幾里得時代認(rèn)為它是全等的或相似的三角形，等邊三角形與直角三角形就是“形狀不同”的。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，“形狀相同”的概念則由《愛爾蘭根綱領(lǐng)》（F·克萊因，1872）給出，具體是這樣的：“兩個圖形的形狀相同”是指在某個幾何變換下可以由一個變?yōu)榱硪粋€。在此觀點(diǎn)下就有如下的結(jié)果：在剛體變換群下，兩個全等三角形是“形狀相同”的；在位似變換群下，兩個相似三角形是“形狀相同”的；在仿射變換群下，所有的三角形都是“形狀相同”的；在拓?fù)渥儞Q群下，三角形與所有的簡單封閉圖形（無斷裂無扭結(jié)）是“形狀相同”，不論其邊界是直的還是曲的……連簡單的“形狀相同”概念都是這樣，其余的延伸概念就可想而知了。

再回到我們的主題上來。人類的認(rèn)識總是要進(jìn)步和發(fā)展的，這主要就體現(xiàn)在概念上。認(rèn)識的進(jìn)步有兩個途徑，一是歸納，二是演繹。但是，演繹多半只能在已有的概念框架內(nèi)進(jìn)行，這種邏輯推演要么在等價概念之間發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，要么是從一般到特殊，不易產(chǎn)生新的知識。歸納則不然，就概念而言，歸納能從下位概念產(chǎn)生涵蓋范圍更廣泛的上位概念，而這種外延上的擴(kuò)大是從具體的事物和實(shí)踐開始的，而“具體的事物和實(shí)踐”就是現(xiàn)象?；跀?shù)學(xué)現(xiàn)象的教學(xué)就是把自然的素材展示給學(xué)生，讓他們用數(shù)學(xué)的眼光解析它，在這個過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、提煉數(shù)學(xué)方法、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想。這樣的教學(xué)，直擊數(shù)學(xué)概念的特性與學(xué)生的思維特點(diǎn)，值得我們加以研究與嘗試。