采用絲杠傳動(dòng)的電動(dòng)舵機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

徐夢(mèng)圓，林友志，章心怡

（1.江蘇科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212000；2.東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210000；3.江蘇科技大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212000）

電動(dòng)舵機(jī)是一種典型高精度位置伺服系統(tǒng)，因具有體積小、重量輕、易于控制和可靠性高等特點(diǎn)，大量應(yīng)用于飛機(jī)、導(dǎo)彈、火箭等飛行器[1-3]。在實(shí)際的飛行控制系統(tǒng)中，電動(dòng)舵機(jī)是重要的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其中心任務(wù)是執(zhí)行控制系統(tǒng)發(fā)出的指令，即根據(jù)飛行控制系統(tǒng)輸出的一定大小和極性的信號(hào)，驅(qū)動(dòng)舵面按照要求快速、精準(zhǔn)地偏轉(zhuǎn)。相較于直線(xiàn)電機(jī)作動(dòng)器，采用絲杠傳動(dòng)的旋轉(zhuǎn)舵機(jī)不僅充分利用了旋轉(zhuǎn)電動(dòng)舵機(jī)結(jié)構(gòu)緊湊、效率高的特點(diǎn)[4-5]，而且結(jié)合了絲杠靈活性具有減速比大、間隙低、載荷較大等顯著優(yōu)點(diǎn)[6-7]，大大提高了整個(gè)系統(tǒng)的控制精度與動(dòng)態(tài)響應(yīng)，成為高性能的位置伺服作動(dòng)器的重要組成部分，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者與研究機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注[8-9]。

目前，針對(duì)旋轉(zhuǎn)電動(dòng)舵機(jī)構(gòu)成的機(jī)電一體化伺服機(jī)構(gòu)的研究主要集中于舵機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制律設(shè)計(jì)等方面[10-12]。其中，文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了一個(gè)導(dǎo)彈舵機(jī)控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，將設(shè)計(jì)出的控制律即刻加載到導(dǎo)彈舵機(jī)控制系統(tǒng)中進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以獲取最優(yōu)的控制律，然而文中并沒(méi)有針對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、建模進(jìn)行詳細(xì)闡述。文獻(xiàn)[14]介紹了一種稀土永磁直流伺服電機(jī)和精密微型滾珠螺旋副構(gòu)成的電動(dòng)舵機(jī)，作者偏重于伺服系統(tǒng)的各組成部分的功能設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[15]主要針對(duì)電動(dòng)舵機(jī)存在的易受參數(shù)攝動(dòng)及負(fù)載擾動(dòng)影響、剛度較差的特點(diǎn)，采用魯棒控制理論，對(duì)電動(dòng)舵機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論及方法進(jìn)行了深入研究，但僅僅從控制方法入手對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行改善。由此可見(jiàn)，雖然傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的分析設(shè)計(jì)在整個(gè)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)中必不可少，尤其是減少傳動(dòng)過(guò)程中的非線(xiàn)性因素產(chǎn)生的振蕩及精準(zhǔn)度下降等問(wèn)題[16-17]，但針對(duì)伺服機(jī)構(gòu)中機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)進(jìn)行的分析，大多疏于詳細(xì)介紹機(jī)構(gòu)中非線(xiàn)性建模環(huán)節(jié)，給實(shí)際的工程應(yīng)用帶來(lái)了不便。近年來(lái)，為實(shí)現(xiàn)高保真度伺服系統(tǒng)的研究，細(xì)化考慮伺服系統(tǒng)的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)逐漸增多。文獻(xiàn)[18]在針對(duì)“無(wú)刷直流電機(jī)/滾珠絲杠副/撥叉”類(lèi)型電動(dòng)舵機(jī)高保真建模時(shí)，介紹了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)與負(fù)載建模，指出了機(jī)構(gòu)帶來(lái)的非線(xiàn)性，但缺乏針對(duì)機(jī)構(gòu)中的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)闡述。文獻(xiàn)[19-20]在對(duì)滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)非線(xiàn)性特性分析時(shí)，主要偏重模型中的間隙與摩擦。本文結(jié)合實(shí)際伺服系統(tǒng)的作動(dòng)場(chǎng)景，對(duì)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)建立了數(shù)學(xué)模型，分析了電動(dòng)舵機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在經(jīng)搖臂傳動(dòng)后轉(zhuǎn)為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，確立了傳動(dòng)過(guò)程中的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。對(duì)絲杠傳動(dòng)過(guò)程中減速比隨著舵機(jī)轉(zhuǎn)角發(fā)生非線(xiàn)性變化進(jìn)行了推導(dǎo)分析，得到了系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中非線(xiàn)性變化趨勢(shì)。在機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，并通過(guò)模型仿真對(duì)推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，對(duì)減少非線(xiàn)性帶來(lái)的系統(tǒng)振蕩，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)更精準(zhǔn)的控制具有重要意義。

1 結(jié)構(gòu)與工作原理

本文所述電動(dòng)舵機(jī)伺服機(jī)構(gòu)主要由電動(dòng)機(jī)、齒輪減速機(jī)構(gòu)、絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、輸出機(jī)構(gòu)及反饋信號(hào)裝置5個(gè)部分構(gòu)成。其中，電動(dòng)機(jī)為舵機(jī)系統(tǒng)提供原動(dòng)力；減速機(jī)構(gòu)主要由減速齒輪構(gòu)成，通過(guò)減速比的調(diào)整來(lái)完成電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)速與驅(qū)動(dòng)舵面輸出轉(zhuǎn)速的匹配；絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)通過(guò)改變力的方向，以實(shí)現(xiàn)其曲線(xiàn)圓周運(yùn)動(dòng)到直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)變；輸出機(jī)構(gòu)是由連桿和搖臂構(gòu)成，通過(guò)連桿運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)搖臂輸出一定的偏轉(zhuǎn)角，進(jìn)而作用于系統(tǒng)輸出舵面。

如圖1所示，在整個(gè)伺服系統(tǒng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中，當(dāng)電動(dòng)機(jī)接收控制器輸出的給定信號(hào)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，而后經(jīng)過(guò)兩級(jí)減速器，再由絲杠將圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)運(yùn)行，在此過(guò)程中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)信號(hào)傳遞始終是線(xiàn)性的。因連桿連接的搖臂在受往復(fù)慣性力的作用下，來(lái)回地周期性擺動(dòng)，從而導(dǎo)致輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的線(xiàn)性關(guān)系發(fā)生變化，在系統(tǒng)中引入了非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，這也給復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng)分析增加了難度，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生振蕩等問(wèn)題。因此，為了補(bǔ)償非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，改善可能的系統(tǒng)振蕩，提高系統(tǒng)的輸出精度，基于該結(jié)構(gòu)的模型建立與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析尤為重要。

圖1 絲杠傳動(dòng)的電動(dòng)伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structure diagram of electric servo system driving by screw

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型假設(shè)

考慮到雖然齒輪傳動(dòng)間隙和零件彈性變形的因素不可避免，但對(duì)系統(tǒng)影響極小。為了便于模型的抽象和分析，引入如下基本假設(shè)：①忽略齒輪傳動(dòng)間隙；②忽略零件的彈性變形。

2.2 模型建立

如前所述，輸出的非線(xiàn)性主要來(lái)源于輸出機(jī)構(gòu)的連桿與搖臂，根據(jù)系統(tǒng)中輸出搖臂與連桿的連接情況，抽象為圖2模型。圖中以搖臂的固定輸出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以搖臂和連桿垂直時(shí)搖臂所在位置的豎直向下方向?yàn)閤軸正方向，以水平向右的方向?yàn)閥軸正方向，從而復(fù)原了搖臂與連桿的空間關(guān)系。當(dāng)搖臂向左擺動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)角θ為負(fù)，向右擺動(dòng)θ為正。圖2中，R為搖臂的回轉(zhuǎn)半徑/mm；l為連桿的長(zhǎng)度/mm；Δl為絲杠螺母運(yùn)動(dòng)位移量/mm；θ為搖臂往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)角，且θ大小在實(shí)際的搖臂回轉(zhuǎn)范圍內(nèi)。

圖2 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的抽象模型圖Fig.2 Abstract physical model of transmission section

3 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3.1 位置逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

在圖2坐標(biāo)軸的基礎(chǔ)上，若伺服系統(tǒng)的實(shí)際輸出為期望輸出，即搖臂輸出的回轉(zhuǎn)角θ已知，那么根據(jù)圖2中的位置幾何關(guān)系，利用勾股定理可求解出絲杠螺母運(yùn)動(dòng)位移量為：

又因?yàn)榻z杠移動(dòng)位移量與電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角需經(jīng)過(guò)齒輪減速，則有電機(jī)機(jī)械角度α與絲杠移動(dòng)位移量Δl的關(guān)系為：

式（2）中：i為舵機(jī)中齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)減速比；Ph為絲杠的導(dǎo)程/mm。

3.2 速度逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

由位移與速度的物理關(guān)系，對(duì)式（2）求導(dǎo)，可得速度的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

電機(jī)轉(zhuǎn)速為：

4 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

4.1 位置正運(yùn)動(dòng)學(xué)

從電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)到搖臂輸出時(shí)，若給定電機(jī)轉(zhuǎn)速一定，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)到直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的絲杠螺母運(yùn)動(dòng)位移量為Δl，對(duì)式（1）化簡(jiǎn)后，兩邊取平方，求解得搖臂輸出回轉(zhuǎn)角與電機(jī)經(jīng)絲杠輸出位移量的正運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為：

4.2 速度正運(yùn)動(dòng)學(xué)

搖臂的回轉(zhuǎn)角速度為：

搖臂的回轉(zhuǎn)輸出轉(zhuǎn)速為：

5 仿真及結(jié)果分析

在Matlab中搭建絲杠傳動(dòng)的電動(dòng)舵機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)伺服系統(tǒng)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真分析用來(lái)研究絲杠傳動(dòng)的電動(dòng)伺服系統(tǒng)中傳動(dòng)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的非線(xiàn)性影響以及驗(yàn)證機(jī)理分析的可靠性。仿真采用的舵機(jī)系統(tǒng)模型參數(shù)與實(shí)際伺服系統(tǒng)一致，具體如下：搖臂長(zhǎng)度R=65mm，連桿長(zhǎng)l=80mm，絲杠導(dǎo)程Ph=20mm，電動(dòng)機(jī)額定轉(zhuǎn)速NR=1 600rpm，搖臂輸出回轉(zhuǎn)角最大范圍為(-30°,30°)。

若傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中采用普通齒輪減速，且減速比i=2.8，當(dāng)輸出搖臂回轉(zhuǎn)角在期望輸出范圍內(nèi)時(shí)，此時(shí)傳動(dòng)絲杠的位移變化量Δl。如圖3中實(shí)線(xiàn)所示，可知因受非線(xiàn)性因素的影響，絲杠隨搖臂回轉(zhuǎn)角的變化與理想的線(xiàn)性擬合存在帶狀的偏差，與上節(jié)分析一致，式（3）中由于傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中三角函數(shù)的引入給系統(tǒng)模型帶來(lái)了非線(xiàn)性。

圖3 絲杠位移隨搖臂轉(zhuǎn)角變化關(guān)系Fig.3 Displacement of screw vs rocker arm angle

圖4與圖5分別表明了非線(xiàn)性環(huán)節(jié)對(duì)電機(jī)端輸出機(jī)械角與轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的影響。其中，為保證輸出回轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足要求，圖4中機(jī)械角發(fā)生了不規(guī)整的周期變化及幅值差異。而從圖5中可以看出，實(shí)際輸出的電機(jī)轉(zhuǎn)速在額定轉(zhuǎn)速附近變化。然而，在實(shí)際精密的伺服系統(tǒng)中，作為動(dòng)力驅(qū)動(dòng)，電機(jī)在接受控制器指令后，會(huì)準(zhǔn)確地發(fā)生旋轉(zhuǎn)。因此，為了補(bǔ)償裝置中的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，利用上節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析設(shè)計(jì)相關(guān)參數(shù)。若采用行星齒輪、諧波減速轉(zhuǎn)置或螺母可調(diào)節(jié)的多齒輪結(jié)果的減速裝置，在電動(dòng)機(jī)額定轉(zhuǎn)速下，可通過(guò)調(diào)節(jié)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的減速比來(lái)減小系統(tǒng)的非線(xiàn)性影響，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)搖臂輸出角度在期望值的容差范圍內(nèi)。針對(duì)本文的舵機(jī)系統(tǒng)，圖6給出了減速比隨搖臂回轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)。

圖4 舵機(jī)周期運(yùn)動(dòng)機(jī)械角與搖臂轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.4 Periodic motion of electric actuator vs rocker arm angle

圖5 舵機(jī)輸出轉(zhuǎn)速與搖臂轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.5 Output speed of electric actuator vs rocker arm angle

圖6 減速比參數(shù)設(shè)計(jì)與搖臂轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.6 Parameter design of reduction ratio vs rocker arm angle

6 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)絲杠傳動(dòng)的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，對(duì)其中傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，從位置、速度兩個(gè)方面進(jìn)行了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解算，利用推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)伺服系統(tǒng)中的傳動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了分析，并在系統(tǒng)的數(shù)值仿真中，驗(yàn)證了模型分析的正確性。在此基礎(chǔ)上，提出了一種通過(guò)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)的方法補(bǔ)償伺服系統(tǒng)中的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，該方法從理論上能夠準(zhǔn)確地補(bǔ)償系統(tǒng)中的非線(xiàn)性影響，而且思路明確、簡(jiǎn)單易行，為提高系統(tǒng)的控制精度與降低系統(tǒng)跟蹤誤差提供了參考，具有一定的理論和工程價(jià)值。