帶角度約束的多飛行器編隊(duì)協(xié)同攔截制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

王利國(guó)，馬國(guó)欣，矯永康

（1.北京青云航空儀表有限公司，北京順義101300；2.煙臺(tái)大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，山東煙臺(tái)264001；3.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

新的作戰(zhàn)需求和目標(biāo)特性（如較高的速度、較強(qiáng)的機(jī)動(dòng)能力）給攔截制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)新的挑戰(zhàn)。針對(duì)此類問(wèn)題，研究者在傳統(tǒng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，提出了很多新的攔截制導(dǎo)方法，如最優(yōu)制導(dǎo)[1]、微分對(duì)策[2]、模糊變結(jié)構(gòu)[3]、滑模制導(dǎo)[4]、微分幾何[5]及改進(jìn)的比例導(dǎo)引[6]等方式。從體系對(duì)抗的角度來(lái)看，上述制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)實(shí)施的是“一對(duì)一”的對(duì)抗策略。然而，在復(fù)雜環(huán)境下，隨著目標(biāo)智能化程度愈來(lái)愈高，即使將單個(gè)飛行器的對(duì)抗性能發(fā)揮至極致，其探測(cè)能力和攔截能力也難以滿足高精度、高攔截概率的需求[7]。

在制導(dǎo)攔截過(guò)程中，采用多飛行器協(xié)同攔截的方案逐漸受到研究者的關(guān)注。多導(dǎo)彈編隊(duì)協(xié)同攔截，一方面可以通過(guò)飛行器間的信息共享完成對(duì)同一目標(biāo)的協(xié)同探測(cè)，從而提高目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息的測(cè)量精度[8-10]；另一方面，可以通過(guò)協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)，以特定的編隊(duì)構(gòu)型完成對(duì)同一目標(biāo)的協(xié)同攔截，以擴(kuò)大攔截區(qū)域的方式彌補(bǔ)單枚導(dǎo)彈對(duì)抗測(cè)量信息不準(zhǔn)確及目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)的不足[11]。

目前，關(guān)于協(xié)同制導(dǎo)的研究多見(jiàn)于多飛行器對(duì)固定目標(biāo)或慢速移動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同攻擊[12-16]，此類研究中的制導(dǎo)律不能適用于目標(biāo)高速運(yùn)動(dòng)的情況。Vermeulen A[11]等人證明了采用“二對(duì)一”的協(xié)同對(duì)抗策略能夠擴(kuò)大攔截區(qū)域從而提高對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的攔截概率，但并未探討協(xié)同攔截制導(dǎo)如何實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題。Piet-Lahanier H等人[17]采用預(yù)測(cè)控制的方法，設(shè)計(jì)了考慮攻擊同一目標(biāo)時(shí)多枚導(dǎo)彈之間相互避碰的制導(dǎo)律。Shaferman V等人采用最優(yōu)控制的方法設(shè)計(jì)了帶有指定角度約束的攔截制導(dǎo)律，通過(guò)為編隊(duì)中的導(dǎo)彈指定預(yù)設(shè)的攔截角度，多枚導(dǎo)彈能夠以特定的角度構(gòu)型攔截目標(biāo)[18]；之后，又通過(guò)不指定每枚導(dǎo)彈的具體攔截角度，而是控制編隊(duì)中導(dǎo)彈的相對(duì)攔截角度的方法實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)的角度構(gòu)型[19]。文獻(xiàn)[17-19]對(duì)攔截制導(dǎo)的研究，均未考慮對(duì)導(dǎo)彈飛行時(shí)間的控制調(diào)整，而實(shí)際上由于不同的發(fā)射時(shí)間、發(fā)射地點(diǎn)（或中段制導(dǎo)結(jié)束時(shí)不同的導(dǎo)彈位置）、飛行速度、飛行軌跡等多種因素的影響，編隊(duì)中的各導(dǎo)彈到達(dá)攔截點(diǎn)或攔截區(qū)域的時(shí)間差較大，嚴(yán)重影響了協(xié)同攔截的實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[20-22]在導(dǎo)彈徑向速度完全受控的假設(shè)下，設(shè)計(jì)了未考慮角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律。此類制導(dǎo)律以徑向速度大小為協(xié)調(diào)變量，實(shí)質(zhì)上是仿照了無(wú)人機(jī)的制導(dǎo)方式（速度可任意增減），且文獻(xiàn)[21-22]的本質(zhì)是追蹤導(dǎo)引法，這對(duì)于攔截高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)是不利的。

考慮到飛行器在徑向方向?qū)崿F(xiàn)自由加減速是困難的，本文在傳統(tǒng)的飛行器徑向速度不受控的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)圍繞飛行器編隊(duì)的時(shí)間協(xié)同展開(kāi)。首先，在初始時(shí)刻，按照各飛行器攔截時(shí)間差最小及編隊(duì)整體攔截時(shí)間最小的策略為各飛行器分配預(yù)設(shè)的攔截角度。然后，利用最優(yōu)控制求解飛行器以分配的角度攔截目標(biāo)的導(dǎo)引指令，并給出飛行器剩余飛行時(shí)間的求解方法。最后，根據(jù)剩余時(shí)間一致性的原則，推導(dǎo)出各飛行器時(shí)間調(diào)整項(xiàng)的導(dǎo)引指令。仿真表明，提出的協(xié)同攔截制導(dǎo)方法能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器編隊(duì)以特定的角度構(gòu)型對(duì)目標(biāo)協(xié)同攔截。

1 問(wèn)題的描述

由n枚彈組成的飛行器編隊(duì)對(duì)同一目標(biāo)的攔截制導(dǎo)關(guān)系如圖1所示。

圖1 多飛行器協(xié)同攔截示意Fig.1 Cooperative interception geometry for multi-aircrafts

圖1中：下標(biāo)i、j、T分別代表第i枚飛行器、第j枚飛行器和目標(biāo)，i,j∈{1,2,…,n}；速度、法向加速度、航向角分別表示為V、a、θ；R、q分別表示慣性坐標(biāo)系下的彈目距離、目標(biāo)視線角；期望的終端攔截角度為θd1+θT，θd2+θT，…，θdn+θT；LOSi0代表初始視線方向，目標(biāo)在垂直于此方向上的相對(duì)位移表示為ξ。

目標(biāo)與飛行器在此方向上的加速度分量表示為：

第i枚飛行器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：

用ui表示導(dǎo)引指令，假定飛行器的側(cè)向機(jī)動(dòng)具有理想動(dòng)態(tài)，有

將導(dǎo)引指令ui分解為兩部分：

式（4）中：uA,i引導(dǎo)飛行器以分配的攔截角度攻擊目標(biāo)；uB,i用于調(diào)整飛行器的剩余飛行時(shí)間。

2 協(xié)同攔截制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 攔截角度分配策略

直接為飛行器M1、M2、…、Mn分別指定終端攔截角度θd1+θT、θd2+θT、…、θdn+θT，可以獲得期望的終端角度構(gòu)型。然而，該方法沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化，可能造成不必要的能量損耗。

為使各飛行器能夠擇優(yōu)選取終端攔截角度，需要按照一定的策略為飛行器分配攔截角度，即對(duì)于飛行器編隊(duì){M1、M2、…、Mn}，及其需要實(shí)現(xiàn)的終端攔截角度集{θd1+θT、θd2+θT、…、θdn+θT}，尋求一組對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得終端攔截角度的分配滿足某種最優(yōu)指標(biāo)。

為建立攔截角度分配問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，用Pi,j表示決策變量，當(dāng)?shù)趇枚飛行器分配到第j個(gè)終端攔截角度時(shí)，Pi,j=1，否則Pi,j=0。用Ci,j表示第i枚飛行器以第j個(gè)終端攔截角度導(dǎo)向目標(biāo)時(shí)，其初始剩余時(shí)間估計(jì)值。為有效實(shí)施多飛行器協(xié)同攔截制導(dǎo)，對(duì)于終端角度的分配，優(yōu)化指標(biāo)需考慮2個(gè)方面：一是期望各飛行器的飛行時(shí)間差較小，二是期望飛行器編隊(duì)的整體攔截時(shí)間較小。因此，考慮時(shí)間協(xié)同的攔截角度分配問(wèn)題的優(yōu)化模型描述為：

該問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)中的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，采用規(guī)劃算法可以得出問(wèn)題的解。ω代表優(yōu)化指標(biāo)2個(gè)方面的權(quán)重。注意到，ω=1時(shí)，該問(wèn)題退化為典型的目標(biāo)分配問(wèn)題。對(duì)于剩余時(shí)間估計(jì)值的解算見(jiàn)2.3節(jié)。

2.2 導(dǎo)引指令uA,i的解算

假定攔截過(guò)程中飛行器與目標(biāo)偏離初始視線的角度較小，在此基礎(chǔ)上可采用線性化的方法推導(dǎo)導(dǎo)引指令uA,i。注意到，若初始時(shí)刻該小角度假設(shè)不能滿足，或飛行器與目標(biāo)相對(duì)于初始視線有較大機(jī)動(dòng)時(shí)，則可以采用擴(kuò)展的線性化方法或Riccati方程等處理方法。

第i枚飛行器的狀態(tài)向量表示為：

那么第i枚飛行器的線性化方程為：

性能指標(biāo)選取為：

采用最優(yōu)控制理論求解，最終得到帶有攔截角度約束的最優(yōu)導(dǎo)引指令為：

注意到當(dāng)uB,i=0時(shí)，即對(duì)編隊(duì)中各飛行器的剩余飛行時(shí)間不進(jìn)行控制調(diào)整，式（8）退化為文獻(xiàn)[18]給出的帶終端攔截角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律；當(dāng)bi→0時(shí)，NZEAE,i→0，即終端攔截角度不再受控，若ai→∞則NZEM,i→3/ki，式（8）退化為APN導(dǎo)引律。

Zi1(t)代表零能脫靶量（zero-effort miss），Zi2(t)代表零能攔截角（zero-effort angle），有

2.3 剩余時(shí)間估計(jì)及導(dǎo)引指令uB,i的解算

文獻(xiàn)[23]采用彈目距離除以平均速度的方式，給出了最優(yōu)制導(dǎo)情況下帶終端攻擊角度約束的、針對(duì)固定目標(biāo)的剩余時(shí)間估算公式：

下面將該方法推廣到針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的情況。

對(duì)于第i枚飛行器，用,T表示飛行器與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的平均速度，有

采用泰勒多項(xiàng)式近似處理余弦項(xiàng)，得：

最終可得第i枚飛行器的剩余飛行時(shí)間估計(jì)值

注意到，利用式（11）求解初始時(shí)刻的剩余時(shí)間估計(jì)，可給出2.1節(jié)中所有Ci,j的值。

求解式（11）關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合式（10）、（2）得：

結(jié)合式（3）、（4），式（12）可簡(jiǎn)化為：

式（14）中，sij為二元函數(shù)，反映通信網(wǎng)絡(luò)的連接情況。

sii≡1；在t時(shí)刻，當(dāng)?shù)趈枚彈至第i枚彈存在通信連接時(shí)，sij=1，否則sij=0。關(guān)于通信網(wǎng)絡(luò)的研究，文獻(xiàn)[24]已進(jìn)行了重要的探討，這里不再論述。假定飛行器編隊(duì)具有全通信，即sij=1，?i,j∈{1,2,…,n}。

綜上，多飛行器協(xié)同攔截制導(dǎo)律由式（4）、（8）、（14）給出，編隊(duì)協(xié)同攔截制導(dǎo)框圖如圖2所示。

圖2 多飛行器協(xié)同攔截制導(dǎo)Fig.2 Cooperative interception guidance for multi-aircrafts

3 仿真結(jié)果與分析

2枚飛行器協(xié)同攔截同一目標(biāo)，目標(biāo)位于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0 )，初始航向角0°，速度500 m/s。飛行器M1、M2初始坐標(biāo)分別為(-5km,0km)、(-6km,0.5km)，初始航向角20°、-30°，M1速度為 500 m/s，M2速度為480 m/s。相對(duì)于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向，期望的攔截角度為20°、-20°。

3.1 對(duì)直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的攔截

對(duì)于目標(biāo)直線運(yùn)動(dòng)的情況，若2枚飛行器采用文獻(xiàn)[18]給出的帶有終端角度約束的最優(yōu)導(dǎo)引律，仿真結(jié)果如圖3所示。

文獻(xiàn)[18]給出的導(dǎo)引律對(duì)剩余飛行時(shí)間不進(jìn)行控制，正如圖3b）所示，M1與M2的剩余時(shí)間差從制導(dǎo)開(kāi)始保持到制導(dǎo)結(jié)束。

圖3 文獻(xiàn)[18]的方法對(duì)直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的攔截Fig.3 Interception for the linear movement target by the approach in[18]

飛行器按照指定的攔截角度攻擊目標(biāo)，獲得的終端攔截角度分別為19.83°，-19.95°。飛行器M1的攔截時(shí)間為5.04 s，飛行器M2的攔截時(shí)間為6.20 s，二者相差1.16 s，相當(dāng)于編隊(duì)整體作戰(zhàn)時(shí)間（6.20 s）的18.71%。若不考慮Y方向的速度分量，則2枚飛行器在攔截目標(biāo)時(shí)的相對(duì)距離為580 m，這對(duì)于編隊(duì)的整體攔截制導(dǎo)效果是極為不利的。

采用本文給出的協(xié)同攔截制導(dǎo)方法：首先，通過(guò)式（11）求解初始時(shí)刻飛行器編隊(duì)的剩余時(shí)間估計(jì)值，得到以Ci,j為元素的2×2矩陣為[5.071 7,6.203 9;]5.051 1,6.277 6，取ω=0.5，得到由Pi,j為元素的2×2矩陣為[0，1；1，0]，即M1分配的攔截角度為 -20°，M2分配的攔截角度為20°；然后，采用設(shè)計(jì)的多飛行器協(xié)同導(dǎo)引律（導(dǎo)引參數(shù)取ai=105，bi=108，ci=3×104，i=1,2）。2枚飛行器能夠有效地調(diào)整剩余時(shí)間差，仿真結(jié)果如圖4所示。最終獲得的終端攔截角度分別為-20.20°，19.51°。攔截時(shí)間僅相差0.02 s，幾乎同時(shí)命中目標(biāo)。

圖4 設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)方法對(duì)直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的攔截Fig.4 Interception for the linear movement target by the designed cooperative guidance approach

3.2 對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截

目標(biāo)以3 g的側(cè)向加速度機(jī)動(dòng)規(guī)避來(lái)襲飛行器。飛行器編隊(duì)采用文獻(xiàn)[18]的方法，過(guò)載限制為50 g。結(jié)果如圖5所示。最終獲得的攔截角度分別為20.09°、-19.80°，攔截時(shí)間分別為5.08 s、6.33 s。顯然，由于目標(biāo)的實(shí)時(shí)機(jī)動(dòng)，2枚飛行器的攔截時(shí)間差進(jìn)一步增大，達(dá)1.25 s。

采用本文給出的協(xié)同攔截制導(dǎo)方法（導(dǎo)引參數(shù)同上），過(guò)載限制為50 g，仿真結(jié)果如圖6所示。最終獲得的攔截角度分別為20.37°、-20.21°，攔截時(shí)間分別為6.23 s、6.21 s。

比較圖6 a）與圖5 a）不難發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于文獻(xiàn)[18]對(duì)飛行時(shí)間不控制的情況，采用協(xié)同攔截制導(dǎo)方法后，M1在向目標(biāo)導(dǎo)引的過(guò)程中，通過(guò)適度的機(jī)動(dòng)（將其彈道“壓得”更加彎曲）調(diào)整其剩余時(shí)間go,1趨向于go,2，而M2則將其彈道“拉得”更加筆直調(diào)整其剩余時(shí)間go,2趨向于go,1。當(dāng)然，相比于飛行時(shí)間不控制的情況，這種剩余飛行時(shí)間的實(shí)時(shí)調(diào)整，使得過(guò)載的需求也變得更大。

圖5 文獻(xiàn)[18]的方法對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截Fig.5 Interception for the maneuvering target by the approach in[18]

圖6 設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)方法對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截Fig.6 Interception for the maneuvering target by the designed cooperative guidance approach

4 結(jié)束語(yǔ)

在初始時(shí)刻，以最小化飛行器間的飛行時(shí)間差與編隊(duì)整體飛行時(shí)間為指標(biāo)，建立了攔截角度分配的數(shù)學(xué)模型。以編隊(duì)中各飛行器的剩余時(shí)間作為協(xié)同輸出量，通過(guò)求解帶終端角度約束的導(dǎo)引指令與用于調(diào)整剩余時(shí)間的導(dǎo)引指令，完成了多飛行器編隊(duì)協(xié)同攔截制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。仿真表明，給出的制導(dǎo)方法能夠使飛行器編隊(duì)按照期望的攔截角度協(xié)同攔截同一目標(biāo)。

在多飛行器協(xié)同攔截制導(dǎo)過(guò)程中，如何避免相互碰撞以及降低因調(diào)整飛行器飛行時(shí)間對(duì)過(guò)載的需求是下一步需要重點(diǎn)研究的課題。