巧用學(xué)習(xí)材料，助力數(shù)學(xué)建模

陳明寬

【教學(xué)內(nèi)容】義務(wù)教育教科書六年級數(shù)學(xué)下冊第56頁例1及相應(yīng)的“試一試”、“練一練”，完成練習(xí)十三第1—2題。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷從具體實例中認(rèn)識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學(xué)會根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是不是成正比例。

2.在認(rèn)識成正比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，感受表示正比例數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，滲透函數(shù)思想，進(jìn)一步培養(yǎng)比較、抽象、概括和演繹等思維能力。

3.進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)從生活現(xiàn)象中探索數(shù)學(xué)知識和規(guī)律的意識。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)鋪墊

（同學(xué)們，將近六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，你們已經(jīng)了解了一些數(shù)量關(guān)系，讓我們一起回憶吧。）

先列式解答，再說說它們之間的數(shù)量關(guān)系。

1.一輛汽車2小時行駛了120千米，平均每小時行駛多少千米？

2.一名打字員3分鐘打字360個，平均每分鐘打多少個字？

3.小紅花了16元買了2支同樣的鋼筆，每支鋼筆多少元？

小結(jié)：像“路程÷時間=速度，工作總量÷工作時間=工作效率，總價÷數(shù)量=單價”的數(shù)量關(guān)系中，路程和時間，工作總量和工作時間，總價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們之間存在很多的奧秘和特征，下面就讓我們一起來研究吧。

【設(shè)計意圖：通過幾組數(shù)量關(guān)系的理解，使學(xué)生初步感知數(shù)量之間的聯(lián)系。接著教師從“兩個相關(guān)聯(lián)的量”入手，讓學(xué)生說說“關(guān)聯(lián)”是什么意思，抓住與新知密切相關(guān)的生長點，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好堅實的基礎(chǔ)?！?/p>

二、探究新知

1.探究時間與路程兩個量之間的關(guān)系

出示：一輛汽車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

時間/時 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 80 160 240 320 400 480 ……

觀察表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（通過找一找、說一說、想一想、算一算等方式發(fā)現(xiàn)時間與路程兩個量之間的關(guān)系）

預(yù)設(shè)：（1）行駛的路程隨著時間的變化而變化。

（2）行駛的時間越長，行駛的路程越多；行駛的時間越短，行駛的路程越少。

小結(jié)：路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。

2.探究路程和時間的變化有規(guī)律

提問：再仔細(xì)觀察表中的數(shù)據(jù)，你有沒有更多的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生通過計算、觀察比值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，匯報小結(jié)。

師：比值都相等嗎？（相等）那這里的比值80表示什么？

生：表示行駛的速度。

小結(jié)：所以說，在時間和路程這兩個相關(guān)聯(lián)的量變化的過程中，它們的比值（也就是速度）保持不變。相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值都相等或固定不變，在數(shù)學(xué)上叫作“一定”。

提問：誰能用一個式子來表示這幾個量的關(guān)系嗎呢？

學(xué)生回答，教師板書：

=速度（一定）

3.揭示正比例的意義

師：像這樣的路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。當(dāng)路程和相對應(yīng)時間的比值總是一定（也就是速度一定）時，行駛的路程和時間成正比例關(guān)系。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的正比例。（板書課題）

【設(shè)計意圖：由于正比例概念比較抽象，而且是一種特殊的函數(shù)關(guān)系。通過找一找、說一說使學(xué)生體會到路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，再通過想一想、算一算讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)路程和時間變化的規(guī)律，對學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行預(yù)設(shè)，既凸顯學(xué)生的主體地位，又突出本節(jié)課的教學(xué)重點，使學(xué)生在觀察、比較、分析、歸納等具體活動中充分感知正比例的意義。在揭示出文字表達(dá)式后，幫助學(xué)生理解“一定”表示什么意思，并結(jié)合文字表達(dá)式說一說兩種量的變化規(guī)律，促使學(xué)生對已經(jīng)積累的感性認(rèn)識進(jìn)行抽象概括，為進(jìn)一步揭示正比例的意義做好鋪墊?！?/p>

4.正比例意義的應(yīng)用

教學(xué)“試一試”：購買一種鉛筆的數(shù)量和總價如下表。

數(shù)量/支 1 2 3 4 5 6 ……

總價/元 0.4 0.8 1.2

觀察上表，并獨立思考下列問題。

（1）填寫上表，說說總價是隨著哪個量的變化而變化的。

（2）寫出幾組相對應(yīng)的總價和數(shù)量的比，并比較比值的大小。

（3）這個比值表示的實際意義是什么？你能用式子表示它與總價、數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

（4）鉛筆的總價和數(shù)量成正比例嗎？為什么？

前后四人交流討論這四個問題，并進(jìn)行反饋。

購買鉛筆的數(shù)量和總價是兩種相關(guān)聯(lián)的量，總價隨著數(shù)量的變化而變化。對應(yīng)的總價與數(shù)量的比值都相等，也就是鉛筆的單價是一定的， 所以說鉛筆的總價和數(shù)量成正比例關(guān)系。

【設(shè)計意圖：重點放在從計算抽象出用式子“總價/數(shù)量=單價（一定）”做出解釋上，讓學(xué)生進(jìn)一步結(jié)合具體的實例感知成正比例的量的特點，積累對成正比例的量的感性認(rèn)識，為理解正比例的意義提供豐富的感性經(jīng)驗?！?/p>

5.建構(gòu)正比例數(shù)學(xué)模型

提問：仔細(xì)觀察例1和“試一試”，這兩題數(shù)量之間的關(guān)系有什么相同的特點？

指出：這兩個問題里都有兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量的變化而變化；兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值總是一定的，所以兩種量都成正比例關(guān)系。

提問：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示呢？

根據(jù)學(xué)生回答，板書：

=k（一定）（板書）

生活中還有哪些成正比例的量？

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧例1和“試一試”的學(xué)習(xí)過程，說說成正比例的量有什么共同的特點，在充分交流的基礎(chǔ)上，通過抽象和概括得到正比例關(guān)系的表達(dá)式，既可以促使學(xué)生主動把已經(jīng)積累的感性經(jīng)驗上升為理性認(rèn)識，獲得對正比例意義的正確理解，又有利于學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)抽象的過程和方法，體驗符號化的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維?！?/p>

鞏固練習(xí)：張師傅生產(chǎn)零件的情況如下表。

生產(chǎn)零件的數(shù)量和時間成正比例嗎？為什么？

結(jié)合上面的練習(xí)，小結(jié)判斷兩種量是否成正比例的一般方法。

（1）判斷這兩種量是不是（ ）的量。

（2）看這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的（ ）是否一定。如果（ ）一定，這兩種量成正比例；如果（ ）不一定，這兩種量不成正比例。

三、拓展延伸

1.做練習(xí)十第1題

學(xué)生獨立判斷，自己說一說理由。

全班交流，重點讓學(xué)生說說為什么訂閱《趣味數(shù)學(xué)》的總價和數(shù)量成正比例，引導(dǎo)學(xué)生說出判斷的思考過程。

2.做練習(xí)十第2題

學(xué)生自由讀題，理解題意。

提出要求：

（1）想一想：將圖中的正方形按怎樣的比放大，放大后的正方形邊長各是幾厘米。

（2）畫一畫：在書上畫出放大后的圖形。

（3）算一算：算出每個圖形的周長和面積，并填在表中。

（4）看一看：比較數(shù)據(jù)，看看表里哪個量和邊長成正比例？說說判斷的理由。

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：正方形的周長與邊長成正比例，正方形的面積與邊長不成正比例。

明確：兩種量若要成正比例必須是相關(guān)聯(lián)的量，而且要當(dāng)兩種相關(guān)聯(lián)的量對應(yīng)數(shù)值的比值一定時，它們才成正比例。

【設(shè)計意圖：緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)重點和難點，有層次、有針對性地設(shè)計練習(xí)，既有利于學(xué)生進(jìn)一步加深對正比例意義的理解，掌握判斷兩種量是否成正比例關(guān)系的過程和方法，又有利于學(xué)生初步體會變量的特點，感悟函數(shù)的思想，發(fā)展用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力?！?/p>

四、總結(jié)提升

提問：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

引導(dǎo)總結(jié)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)一個量隨著另一個量的變化而變化，且它們的比值總是一定，我們就說這兩種量成正比例關(guān)系。在判斷兩種量是否成正比例時，我們一要判斷兩種量是否相關(guān)聯(lián)，也就是一個量是否隨著另一個量的變化而變化，二看這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值是否一定。

教學(xué)反思：“正比例的意義”是一個對于小學(xué)生來說非常抽象的數(shù)學(xué)概念性知識。我在教學(xué)中調(diào)動了學(xué)生的生活經(jīng)驗，通過已經(jīng)學(xué)過的數(shù)量關(guān)系來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，然后，通過例題引導(dǎo)學(xué)生主動概括出正比例的本質(zhì)特征，完成對新知的建模。通過教學(xué)，我有以下幾點反思。

1.學(xué)思而行

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個思考的過程，可以說，沒有思考就沒有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。本課教學(xué)中，我注意把思考貫穿教學(xué)的全過程。我出示書本例1的表格后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，并思考，表格中的兩種量是怎樣變化的？兩種量之間有怎樣的關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么？從而得出兩個相關(guān)聯(lián)的量，初步滲透正比例的概念。這樣的教學(xué)，讓全體學(xué)生在觀察中思考，在思考中探索，在探索中獲得新知，大大地提高了學(xué)習(xí)的效率。

2.讓小組合作更有效

本課時的教學(xué)內(nèi)容難度相對比較大，我本著“以學(xué)生為主體”的思想，給予學(xué)生足夠的時間，通過找一找、說一說、想一想、算一算等方式在小組里進(jìn)行合作討論，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律。事實證明，在本節(jié)課的教學(xué)中，小組交流發(fā)揮了很大的作用，我也努力做到學(xué)生自己能學(xué)的自己學(xué)，自己能做的自己做，培養(yǎng)他們合作互動的精神，從而達(dá)到互助。

3.通過對比練習(xí)來加深對正比例的意義理解

本節(jié)課設(shè)計了正方形的周長與邊長和面積與邊長的變化關(guān)系，讓學(xué)生獨立填表、觀察，然后與同伴交流，通過表格、圖象、表達(dá)式的比較，體會到雖然正方形的周長和面積都隨邊長的增加而增加，但正方形的周長與邊長、面積與邊長的變化規(guī)律并不相同。同時，學(xué)生將初步感知“在變化過程中，正方形的周長與邊長的比值一定”，為認(rèn)識正比例奠定基礎(chǔ)。同時，借助圖形直觀、動態(tài)地體現(xiàn)了正方形的周長與邊長成正比的過程，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)正比例的圖像積累活動經(jīng)驗。