關于圓錐曲線單元教學的若干思考

張俊剛

（太原市第二十中學校，山西 太原）

前段時間，筆者參加了市教科研中心組織的“升華杯”說課競賽，競賽課題是人教版選修1-1“圓錐曲線單元教學指導”。賽后，各位評委老師對此給出了較高的評價，同時也提出了一些問題，筆者聽取了建議和意見后，感受頗深，故重新整理內容，愿與同行交流。

一、內容分析

1.選修1-1中的“圓錐曲線與方程”和必修2中的“直線與方程”“圓與方程”以及系列4中的選修4-4“坐標系與參數(shù)方程”一起構成了經(jīng)典的平面解析幾何內容的主干，它是直線與方程、圓與方程內容的延伸，也為后面學習坐標系與各種方程做好了準備。所以，它在解析幾何中起著承上啟下的作用。

2.本章內容包含三種圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義及其標準方程，橢圓的內容要求“理解”，雙曲線與拋物線的內容要求“了解”。

3.教學重點是圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質；教學難點是橢圓標準方程的化簡，橢圓的離心率，雙曲線的漸近線。

二、學情分析

1.在選修2中學生已學會建立直線、圓這兩種平面上最簡單的圖形的方程，并且通過研究它們的方程，研究它們的相關性質及其位置關系滲透了坐標法思想，現(xiàn)在延續(xù)坐標法的思想學習圓錐曲線可能容易切入。另外在必修1、必修4學習函數(shù)的過程中，學生也積累了研究函數(shù)性質的經(jīng)驗，這也為進一步學習圓錐曲線打下了基礎。

2.從知識方面講，認識圓錐曲線方程的推導與化簡，橢圓的曲線的離心率，雙漸近線；從方法方面講，由于圓錐曲線為二元二次方程，幾何性質較為豐富，學生可能在運算求解、數(shù)據(jù)處理的過程中會有所困難。另外在解決問題的過程中，究竟是側重于從形切入，還是從數(shù)切入，可能出現(xiàn)判斷模糊的情況，即數(shù)形結合出現(xiàn)障礙。

三、教學策略

1.關于圓錐曲線定義教學的思考

三種圓錐曲線定義教學都可以引導學生通過經(jīng)歷動腦，動手作圖的過程，探究形成軌跡的動點滿足的幾何條件，展現(xiàn)曲線的典型的幾何特征，在此基礎上，給出具有這種幾何特征的軌跡的正式名稱。同時充分發(fā)揮教材習題的功能，幫助學生把握圓錐曲線定義的本質，例如，課本42頁習題2.17：

如圖一，圓O的半徑為定長R，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點，如線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

再如課本42頁習題2.11：

圖一

如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式點M的軌跡是什么曲線？為什么？

2.關于橢圓標準方程推導過程的教學思考

如果僅僅為了獲得橢圓的標準方程，學生活動也可以結束，但是我們看看以下課本中的兩例題。

課本35課頁：

例3.如圖二，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程。

課本41頁：

例 6.如圖三：點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=的距離的比是常數(shù)求點M的軌跡。

這兩例題讓學生體會到橢圓幾何特征的各種表現(xiàn)形式，但這與前面所學的定義之間是否有內在聯(lián)系？這三種幾何特征是否可以統(tǒng)一呢？帶著這些疑問回顧前面橢圓標準方程的化簡過程的片段：

兩邊再平方：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

其中有兩處可分別變形如下：

通過這種引導，讓學生了解橢圓的不同描述，豐富橢圓的概念，對橢圓的各種表述留下較為深刻的印象。反過來，這也使得單調、繁瑣的運算過程變得生動而有活力，為橢圓方程的靈活運用打下了堅實基礎。更重要的是讓學生明白“變的是形式，不變的是本質”這一科學道理。

教材中的概念、公式、定理等多數(shù)都是以具有較強的抽象性、概括性的“學術形態(tài)”知識呈現(xiàn)出來的，這些知識，有的是學生自我感覺就可以掌握的，有的則需要學生自主學習。其中，對于學生理解起來困難的，教師不僅“要在宏觀上理清思路”，還“要在微觀上推敲細節(jié)”，同時合理地利用教材并對其進行適度地“二次開發(fā)”，將其轉化為易于學生理解的“教育形態(tài)”知識，即生動具體的、暴露實質的“淺顯”知識。