部分簡單不定方程的求解問題的討論

郭夢媛 高麗

摘 要：利用一些基本的代數(shù)和數(shù)論方法總結(jié)出了關(guān)于二元一次不定方程的四種解法和關(guān)于二元二次不定方程的七種解法，為求解簡單的不定方程問題提供了便利。

關(guān)鍵詞：二元一次不定方程 二元二次不定方程 問題討論

中圖分類號：O112.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）02（a）-0211-021 一次不定方程的概述

一次不定方程是指未知量次數(shù)為一的不定方程，為方便計算，本文在此主要研究二元一次不定方程，即形如的方程，求其整數(shù)解的問題叫做解二元一次不定方程。

定理1[2]：二元一次不定方程有整數(shù)解的充要條件是。

定理2[2]：如果二元一次不定方程有整數(shù)解，則此方程一切解可以表示為。

1.1 視察法

在二元一次不定方程中，當(dāng)系數(shù)以及的絕對值較小時，可以用觀察法求它的一個特解，從而得到其通解。

這種方法是很簡單，但是它的適應(yīng)范圍比較有局限性，有些方程就會不變觀察，所以我們還需要繼續(xù)尋找其他方法。

1.2 輾轉(zhuǎn)相除法

輾轉(zhuǎn)相除法就是對整個不定方程用輾轉(zhuǎn)相除法，以此化為等價的不定方程，直至得到有一個變元的系數(shù)為的不定方程為止，這樣的不定方程是可以直接解出的。再依次反推上去，就可以得到原方程的通解。

例1：求方程的整數(shù)解

解

用輾轉(zhuǎn)相除法求特解

由

逆推得：

兩邊乘以5得：

即：

所以方程的一般解是

如果不定方程無解，則在實施這種算法時，到某一步就會直接看出，下面來舉一個例子。

例2：求的解

解

最后一式表明：不可能同時為整數(shù)，所以不定方程無解。

1.3 參數(shù)法

這種方法是解出系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)，將其寫成幾個部分的和的形式，然后引進(jìn)參數(shù)，于是便又得到一個新的不定方程，這時用觀察法便可得出新方程的特解，然后再用代入法就能得出原方程的特解，進(jìn)而求出通解.下面用例子說明此種方法的解題過程：

例3：求整數(shù)解

解 從系數(shù)絕對值較小的解之得：

于是得到新不定方程

這時用觀察法便知，是新不定方程的特解。將代入得

所以原方程的通解為：

注：有時要求不定方程的正整數(shù)解，這時只需要均大于0，解不等式組便可求t的范圍，然后t取整數(shù)就可以得出正整數(shù)解了。

參數(shù)法一般對于系數(shù)較大的不定方程適用，最后再介紹一種其他的方法。

1.4 同余式法

定義：當(dāng)且僅當(dāng)時，我們稱與對模m同余，用記號可寫為：

例如：

對于方程就是兩個同余式：我們可選其中任一個并解出其變量，然后將結(jié)果代入原方程而求得其全部解，下面用例子說明其具體作法：

例4：求二元一次不定方程的一切整數(shù)解。

解 取模4得知原方程等價于同余式

上述同余式的解為

把代入原方程，得

由此得原方程的解為

以上介紹的四種方法便是解二元一次不定方程常用的幾種方法，當(dāng)然了，每種方法都既有利，又有弊，所以我們在解題時要選擇一種合適的方法，這就需要我們多做題，總結(jié)經(jīng)驗了。

2 簡單二次不定方程的解法探究

2.1 估計法

所謂估計法就是利用不等式估值，已達(dá)到縮小未知數(shù)的取值范圍的目的，然后求得不定方程的解或證明不定方程無解。

例5：求的正整數(shù)解

解：原方程兩邊同除以得

若，則故即由上式可知，故得時，時。由原方程中的對稱性，的原方程的正整數(shù)解為

2.2 數(shù)與式的分解

先把方程變形、分解，將含未知數(shù)的代數(shù)式化為積的形式，把常數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式，然后利用整數(shù)的唯一分解定理將原方程轉(zhuǎn)換成若干個方程組求解。這是解不定方程的一種十分有效的方法。

2.3 配方法

通過配方，使方程變形為一邊是平方和的形式，另一邊為常數(shù)，然后求解或判斷方程無解的方法稱為配方法。

例6：求的整數(shù)解

解 將原方程變形為，即

由上式得

當(dāng)

于是有

解得

所以有：

解得

當(dāng)，上式無整數(shù)解.

于是原方程的整數(shù)解是

2.4 分離整數(shù)法

把某些方程的一部分寫成分式的形式，然后從分式中分離出整數(shù)的部分，再對真分式進(jìn)行分析，就能得到方程的解.

例7：求方程的整數(shù)解

解 將原方程變形得

顯然，故

又因為故即

又因為23為素數(shù)，所以時

與是原方程的解為

2.5 求根公式法

把不定方程看成是某個未知數(shù)的二次方程，然后利用二次方程的有關(guān)知識，有時能較快的解出方程或證明方程無解。

例8：求的整數(shù)解

解 當(dāng)時，

當(dāng)時，可將原方程看成是關(guān)于的二次方程，若它有整數(shù)解

設(shè)，則由韋達(dá)定理得

消去得即

由此得

解得

當(dāng)時，；

當(dāng)時，

所以原方程的整數(shù)解是。

綜上所述關(guān)于二元一次不定方程有四種解法，分別是：觀察法、輾轉(zhuǎn)相除法、參數(shù)法、同余式法和關(guān)于二元二次不定方程有七種解法，分別為：估計法、數(shù)與式的分解、配方法、分離整數(shù)法、求根公式法、奇偶討論法和同余法，本文主要分析前五種解法。

參考文獻(xiàn)

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[2] 周煒.數(shù)論，群論，有限域[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.