基于殼梁組合單元預(yù)應(yīng)力混凝土梁非線性響應(yīng)

汪 鋒， 陳艾榮， 張 劍

(1. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2. 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，江蘇 南京 210016)

橋梁是公路交通的咽喉，其使用功能的優(yōu)劣直接影響整條線路的暢通[1-2].以鋼筋混凝土或預(yù)應(yīng)力混凝土修建的各類橋梁占我國現(xiàn)役橋梁的絕大多數(shù)，其中T型截面梁具有構(gòu)造簡潔，并且適應(yīng)現(xiàn)代化施工方法的要求，施工與使用過程中穩(wěn)定性好，在預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁中被廣泛采用.隨著鋼筋混凝土非線性有限元理論的逐漸成熟和完善[3-6]，也有越來越多關(guān)于T梁的研究成果出現(xiàn)：文獻(xiàn)[7]采用具有假定彎矩-曲率關(guān)系的分層梁單元對(duì)T梁進(jìn)行了非線性分析.文獻(xiàn)[8]對(duì)當(dāng)時(shí)運(yùn)行約10年的滬寧高速上某錫澄運(yùn)河大橋引橋(預(yù)應(yīng)力混凝土簡支多梁式T梁橋)進(jìn)行極限狀態(tài)試驗(yàn)研究，其橋梁極限狀態(tài)(破壞性)試驗(yàn)研究屬于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)橋試驗(yàn)破壞性研究，試驗(yàn)對(duì)象為目前公路橋梁中應(yīng)用比較廣泛的橋型，具有相當(dāng)?shù)拇硇?；關(guān)于實(shí)橋破壞性試驗(yàn)研究本身，在國內(nèi)尚屬空白；而對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土簡支多梁式梁橋這類橋梁的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)橋極限狀態(tài)試驗(yàn)研究，目前在世界范圍內(nèi)也屬首例.文獻(xiàn)[9]結(jié)合該座預(yù)應(yīng)力混凝土多T梁橋?qū)崢蚱茐男栽囼?yàn)資料，基于實(shí)體退化殼單元，研究了多T梁橋極限承載力的計(jì)算方法.文獻(xiàn)[10]采用不同單元對(duì)T梁進(jìn)行模擬，即分別采用梁單元和分層板單元模擬T梁的梁肋和翼緣板，并對(duì)T梁進(jìn)行了相應(yīng)分析.文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的極限承載力等力學(xué)性能的預(yù)測(cè)評(píng)估，利用混合殼單元建立了T梁有限元計(jì)算模型，并應(yīng)用非線性理論對(duì)T梁進(jìn)行了分析，其中T梁中預(yù)應(yīng)力鋼筋采用桿單元模型.文獻(xiàn)[12]對(duì)二根跨徑25 m的裝配式后張法預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁靜載試驗(yàn)，對(duì)裂縫發(fā)展模式等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.文獻(xiàn)[13]通過對(duì)秦沈客運(yùn)專線整體多片式T梁橋的結(jié)構(gòu)空間有限元分析，進(jìn)行主梁橫向分析系數(shù)、主梁正應(yīng)力分析、橋面板的作用分析，論述了整體多片式T梁的橋面橫向應(yīng)力及橫截面的框架效應(yīng).此外，還有學(xué)者構(gòu)造不同單元分析T梁結(jié)構(gòu)行為[14-17].在鋼筋混凝土非線性有限元分析中，組合式模型介于分離式和整體式之間，在單元分析時(shí)，先分別求得混凝土和鋼筋對(duì)組合單元?jiǎng)偠染仃嚨呢暙I(xiàn)，再組成一個(gè)復(fù)合的單元，這種模型能在一定程度上反映鋼筋和混凝土的相互作用，其有限元離散工作量和計(jì)算規(guī)模都不大，在實(shí)際鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中便于采用，如文獻(xiàn)[18]對(duì)平面問題的組合式模型和鋼筋層對(duì)體單元?jiǎng)偠染仃囏暙I(xiàn)的組合式模型進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[19]研究了基于體單元和梁單元的組合式模型，并用此組合式單元對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)彈性階段進(jìn)行了分析.

為此，本文基于分層殼單元和梁單元計(jì)算模式，推導(dǎo)預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的非線性殼梁組合單元，并建立預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的非線性有限元模型.結(jié)合已有的試驗(yàn)成果，考證所建立的預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的非線性殼梁組合單元模型的正確性，并對(duì)其受力性能進(jìn)行研究.

1 預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的殼梁組合單元

δk=[ukvkwkβ1kβ2k]T

(1)

式中：δk為實(shí)體退化殼元節(jié)點(diǎn)k的節(jié)點(diǎn)位移列陣，uk、vk、wk為節(jié)點(diǎn)k在整體坐標(biāo)系中的線位移.

a 退化殼單元坐標(biāo)系

b 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移

Fig.1DescriptionofCoordinatesystemofthedegenerateshellelementandangulardisplacementofthenode

位移場(chǎng)通過形函數(shù)插值可表示為[12]

(2)

(3)

(4)

式中：u、v、w為整體坐標(biāo)系下x、y、z方向的位移;n為殼元節(jié)點(diǎn)數(shù);Ni為節(jié)點(diǎn)i的形函數(shù);hi為節(jié)點(diǎn)i處殼元厚度;νx,1i為節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系ν1與x軸夾角余弦值(其余類推).

基于實(shí)體退化殼得到的分層殼單元具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性[20-21].同時(shí)文獻(xiàn)[11]中利用大變形桿單元模擬預(yù)應(yīng)力筋，利用節(jié)點(diǎn)線位移協(xié)調(diào)推導(dǎo)了一種桿殼組合單元，已對(duì)相應(yīng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了全過程分析，表明在預(yù)應(yīng)力混凝土梁中，預(yù)應(yīng)力鋼筋是梁內(nèi)主要受力筋，其在梁體中考慮用組合單元處理.本文利用空間梁單元模擬預(yù)應(yīng)力鋼筋，根據(jù)節(jié)點(diǎn)線位移和轉(zhuǎn)角位移協(xié)調(diào)性，推導(dǎo)非線性殼梁組合單元.殼梁組合單元如圖2所示，其中預(yù)應(yīng)力鋼筋用空間梁單元模擬如圖3所示，預(yù)應(yīng)力鋼筋單元節(jié)點(diǎn)用A和B表示.圖3中uA、vA、wA為節(jié)點(diǎn)A在整體坐標(biāo)系下x、y、z方向的線位移，θxA、θyA、θzA為節(jié)點(diǎn)A在整體坐標(biāo)系下繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)角位移，節(jié)點(diǎn)B的位移變量依此類推.

圖2 預(yù)應(yīng)力混凝土梁的單元模型Fig.2 Element model of the prestressed concrete beam

轉(zhuǎn)角位移場(chǎng)通過形函數(shù)插值由式(5)～(7)表示如下：

(5)

(6)

(7)

式中：θx、θy、θz為繞整體坐標(biāo)系x、y、z方向的轉(zhuǎn)角位移場(chǎng).

利用位移插值關(guān)系式(2)～(7)，則預(yù)應(yīng)力鋼筋單元的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B線位移和轉(zhuǎn)角位移可用退化單元的節(jié)點(diǎn)位移表示為

圖3 預(yù)應(yīng)力鋼筋的空間梁單元Fig.3 Spacial beam element of the prestressed reinforcement

(8)

(9)

δS=RδC

(10)

應(yīng)用虛功原理[13]，推得預(yù)應(yīng)力筋單元對(duì)組合單元?jiǎng)偠染仃嚨呢暙I(xiàn)如下:

(11)

(12)

式中：Ke為組合單元?jiǎng)偠染仃?；m為混凝土層數(shù)，KCk為第k層混凝土的剛度矩陣；KS為普通鋼筋層的剛度矩陣.

2 預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的非線性效應(yīng)

2.1 混凝土的非線性描述

對(duì)于混凝土的材料非線性，考慮其屈服、強(qiáng)化、拉伸剛化和壓碎過程.本文選用Owen混凝土雙參數(shù)屈服準(zhǔn)則和Hinton壓碎準(zhǔn)則.Owen混凝土雙參數(shù)屈服準(zhǔn)則表達(dá)式為

f(I1,J2)=(αI1+3βJ2)1/2=σ0

(13)

式中：I1為應(yīng)力張量第一不變量；J2為應(yīng)力偏量第二不變量；σ0為等效應(yīng)力;α、β為材料參數(shù)，α取1.355，β取0.355.

Hinton壓碎準(zhǔn)則表達(dá)式為

(14)

2.2 鋼筋的非線性描述

本文假定普通鋼筋和預(yù)應(yīng)力鋼筋均為力學(xué)性能是單向的理想彈塑性材料，以模擬其材料非線性特性.普通鋼筋采用殼元中等效厚度的層單元考慮[13].假定每一鋼筋層的力學(xué)性能是單向的，只能承受沿鋼筋方向的軸向力.預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的準(zhǔn)確模擬對(duì)結(jié)構(gòu)分析至關(guān)重要，本文預(yù)應(yīng)力鋼筋采用空間梁單元考慮[5].沿梁單元局部坐標(biāo)的軸向方向，輸入估算得到的有效預(yù)應(yīng)力作為初始預(yù)應(yīng)力，并將其處理為等效節(jié)點(diǎn)荷載施加于預(yù)應(yīng)力混凝土梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析.

3 非線性分析的收斂準(zhǔn)則

收斂準(zhǔn)則一般分為：力系收斂準(zhǔn)則和位移收斂準(zhǔn)則.在預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析中，不平衡力?？尚纬梢恍┢胶饬ο担沟媒獠荒軉握{(diào)收斂，因此采用位移收斂準(zhǔn)則，取

(15)

式中：δi為第i增量步的非線性方程組迭代時(shí)的收斂解，即預(yù)應(yīng)力混凝土T梁第i增量步整體位移向量；δi+1為第i+1增量步的非線性方程組迭代時(shí)的收斂解；ε為收斂容差(可取為5%).

4 算例分析

4.1 試驗(yàn)梁資料

為研究預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的非線性受力性能，交通部第二勘查設(shè)計(jì)院進(jìn)行了二根裝配式后張法全預(yù)應(yīng)力混凝土簡支T梁的試驗(yàn)[12].預(yù)應(yīng)力混凝土T梁尺寸如圖4所示(圖中,p為荷載).采用40號(hào)混凝土，預(yù)應(yīng)力鋼筋采用24Φ5的冷拉碳素鋼絲，極限抗拉強(qiáng)度1 600 MPa，控制張拉應(yīng)力1 200 MPa.混凝土抗壓強(qiáng)度36 MPa，抗拉強(qiáng)度3.35 MPa.混凝土彈性模量36 GPa，預(yù)應(yīng)力鋼筋彈性模量220 GPa.6根預(yù)應(yīng)力鋼筋沿T梁縱向位置坐標(biāo)以及普通鋼筋等構(gòu)造詳見文獻(xiàn)[12].

a I-I截面b 試驗(yàn)加載圖c II-II截面

圖4預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土T梁的構(gòu)造及加載方式(單位：m)

Fig.4ConfigurationandloadingtypeoftheprestressedreinforcedconcreteTbeam(unit:m)

4.2 荷載撓度曲線及剛度折減規(guī)律

為進(jìn)行預(yù)應(yīng)力混凝土試驗(yàn)T梁非線性受力性能分析，建立非線性力學(xué)分析模型，共分176個(gè)單元，759個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中殼梁組合單元48個(gè)，分層殼單元128個(gè).對(duì)普通鋼筋和混凝土均采用分層殼單元模擬，對(duì)預(yù)應(yīng)力鋼筋用殼梁組合單元模擬.由試驗(yàn)方法測(cè)得二根試驗(yàn)梁的極限承載力為1 104 kN和1 125.8 kN.利用本文的殼梁組合單元方法，計(jì)算得預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的極限承載力為1 100 kN.梁體1/4跨和跨中梁底的荷載-撓度曲線分別如圖5和圖6所示，典型加載步下梁的裂縫發(fā)展模式如圖7所示.

圖5 1/4跨荷載撓度曲線Fig.5 loaddeflection curve of the 1/4 span

圖6 跨中荷載撓度曲線Fig.6 loaddeflection curve of the half span

a 荷載步13時(shí)

b 荷載步17時(shí)

圖7典型加載步下預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的裂縫發(fā)展圖

Fig.7CrackdevelopmentdiagramoftheprestressedconcreteTbeamattypicalloadingstep

由圖5和圖6的計(jì)算結(jié)果知，本文方法與試驗(yàn)結(jié)果吻合程度良好，說明非線性殼梁組合單元計(jì)算方法為正確.由圖7可知，本文所得混凝土簡支梁梁的裂縫發(fā)展規(guī)律與已有資料相符[9、11].本文定義“剛度折減系數(shù)” ，主要描述在不同加載階段，梁體剛度的變化情況.剛度折減系數(shù)的表達(dá)式為

(16)

式中：β為梁體剛度折減系數(shù)；pt為t時(shí)刻的加載量；st為t時(shí)刻的梁跨中撓度值；pt/st為t時(shí)刻的梁割線剛度;p0/s0為梁的初始割線剛度.由圖6計(jì)算結(jié)果可知跨中剛度變化規(guī)律(剛度折減系數(shù))見表1.

表1中，剛度折減系數(shù)18.19=(1-10.95/13.55)×100%.由表1可知，在加載初期，T梁處于彈性階段，剛度未出現(xiàn)明顯折減.其后隨著加載量增大，T梁剛度折減系數(shù)越來越大，表明其繼續(xù)承受荷載的能力越來越小.本文對(duì)預(yù)應(yīng)力筋采用了梁單元處理，也可以采用層單元和桿單元模擬，這在相關(guān)成果中已得到了驗(yàn)證[20-21].

表1 預(yù)應(yīng)力混凝土T梁跨中的剛度折減Tab.1 Stiffness reduction in the half span of the prestressed concrete T beam

4.3 預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力重分布規(guī)律

預(yù)應(yīng)力混凝土T梁典型截面的梁底預(yù)應(yīng)力鋼筋的應(yīng)力-荷載曲線如圖8所示.由圖8計(jì)算結(jié)果可知，接近破壞時(shí)，跨中截面的預(yù)應(yīng)力筋已達(dá)1 547.02 MPa.跨中預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增長速度最快，1/4跨預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增長速度次之，1/8跨預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增長緩慢，而支座處預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力-荷載曲線基本保持水平.

本文提出“應(yīng)力重分布系數(shù)”來描述不同加載階段應(yīng)力增量對(duì)相應(yīng)荷載增量的變化率與彈性階段的應(yīng)力增量對(duì)相應(yīng)荷載增量的變化率之比值，分析應(yīng)力的變化速度.應(yīng)力重分布系數(shù)表達(dá)式為

(17)

式中：η為應(yīng)力重分布系數(shù)；Δpt為t-1至t時(shí)段的荷載增量;Δσt為與荷載增量Δpt為t-1至t時(shí)段的應(yīng)力增量;Δp0為彈性階段的荷載增量;Δσ0為彈性階段的應(yīng)力增量.由圖8可得跨中預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力重分布規(guī)律(應(yīng)力增長率和應(yīng)力重分布系數(shù))見表2.

圖8 梁底預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力荷載曲線Fig.8 Stressload curve of the prestressed tendons at the bottom of the beam

荷載步荷載p/kN應(yīng)力σ/MPa荷載增量Δp/kN應(yīng)力增量Δσ/MPa應(yīng)力增長率Δσ/Δp重分布系數(shù)所處階段00.01 0009585.61 181.55585.6181.550.31113765.61 321.18180.0139.630.782.5015855.61 401.4790.080.290.892.8817945.81 456.5490.255.070.611.97191 035.81 503.8790.047.330.531.70211 100.01 547.0264.243.150.672.17彈性非線性

表2中，90.20=945.8-855.6；55.07=1 456.54-1 401.47；0.61=55.07/90.2；1.97=0.61/0.31.由表2可知，隨著荷載增大，預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增長率和重分布系數(shù)都發(fā)生一定變化，其比彈性階段相比都有增大.在加載過程中混凝土出現(xiàn)裂縫及壓碎后，所施加的荷載逐漸轉(zhuǎn)為由預(yù)應(yīng)力鋼筋來承擔(dān)，故與彈性階段相比，其應(yīng)力增長速度較大.

5 結(jié)語

本文基于分層殼單元和梁單元計(jì)算模式，對(duì)預(yù)應(yīng)力鋼筋采用殼梁組合單元模擬，對(duì)普通鋼筋和混凝土采用分層殼單元模擬，推導(dǎo)了殼梁組合單元并對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土T梁的受力性能進(jìn)行了分析.結(jié)合試驗(yàn)梁數(shù)據(jù)分析表明：本文推演的非線性殼梁組合單元用于此類結(jié)構(gòu)分析是合適的，且所采用的Owen準(zhǔn)則等能較為有效地描述混凝土T梁的材料非線性；預(yù)應(yīng)力筋的空間預(yù)應(yīng)力效應(yīng)可采用空間梁單元進(jìn)行較為準(zhǔn)確地模擬；隨著加載量增大，預(yù)應(yīng)力混凝土T梁剛度折減系數(shù)增大，預(yù)應(yīng)力鋼筋的應(yīng)力增長率較彈性階段增大，直至結(jié)構(gòu)失效破壞.