微積分的“極限思想”與學(xué)習(xí)方法探微

摘要：微積分是一門重要的基礎(chǔ)必修課，是許多高校的核心課程之一。微積分學(xué)的水平如何，不僅關(guān)系到學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，而且還會(huì)影響將來(lái)的深造和發(fā)展。因此，探討如何學(xué)好微積分具有重大意義。本文就微積分的極限思想和學(xué)習(xí)方法談幾點(diǎn)看法。

關(guān)鍵詞：微積分；極限；方法

在人類科學(xué)發(fā)展史上，沒(méi)有任何學(xué)科比微積分的影響更深更廣。微積分作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性學(xué)科，大多數(shù)高校都將其設(shè)為公共必修課。學(xué)好微積分不僅能夠提高學(xué)生解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，而且對(duì)他們將來(lái)的繼續(xù)學(xué)習(xí)和深造都至關(guān)重要。要想真正學(xué)好微積分，我們一定要切實(shí)掌握微積分的“極限思想”，著力培養(yǎng)理性思維與創(chuàng)新意識(shí)，端正學(xué)習(xí)心態(tài)，積極采取有效措施，努力改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。

一、“極限思想”是微積分學(xué)的基本思想

微積分是一門以變量為研究對(duì)象、以極限方法為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科，它是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的，它最重要的思想就是用“微元”與“無(wú)限逼近”，好像一個(gè)事物始終在變化，我們不好研究，但通過(guò)微元分割成一小塊一小塊，就可以進(jìn)行常量處理，最終將它們加起來(lái)就行了?！盁o(wú)限細(xì)分”就是微分，“無(wú)限求和”就是積分。無(wú)限就是極限，“極限的思想”是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想來(lái)看待問(wèn)題，正是由于這樣一種思想的誕生，使人們解決了許多在生活中難以解決的問(wèn)題。因此，要學(xué)好微積分，必須認(rèn)識(shí)和理解極限思想。極限思想蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想，是變與不變、過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變以及否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一。微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程，其實(shí)質(zhì)就是按照唯物辯證法的原則，在聯(lián)系和發(fā)展中把握認(rèn)識(shí)對(duì)象，在對(duì)立統(tǒng)一中認(rèn)識(shí)事物。我們?cè)诶斫鈽O限思想時(shí)必須把單一、封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開(kāi)放、動(dòng)靜態(tài)相結(jié)合的辯證邏輯思維。數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數(shù)學(xué)的高層次要求，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，是理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方法和手段。

二、大學(xué)微積分課程授課特點(diǎn)

在大學(xué)的課程學(xué)習(xí)中，課堂教學(xué)是極其重要的，但是大學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)相比，有著顯著的差別。由于微積分的教學(xué)通常是多個(gè)班級(jí)集中授課，課堂人數(shù)多，教學(xué)任務(wù)重，師生互動(dòng)少，再加上學(xué)生的高中基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)水平、理解接受能力存在差異，老師授課難以兼顧全體。此外、微積分內(nèi)容極其抽象且豐富，而學(xué)時(shí)又相對(duì)中學(xué)課堂來(lái)得少，從而導(dǎo)致講授內(nèi)容多，授課進(jìn)度快。另外在教學(xué)要求上，大學(xué)與中學(xué)相比也有很大的不同，大學(xué)授課特點(diǎn)是講重點(diǎn)、講難點(diǎn)、講疑點(diǎn)，講分析問(wèn)題的思路、講解決問(wèn)題的方法，例題講授講究以點(diǎn)帶面，力求少而精，而不像中學(xué)上數(shù)學(xué)課那樣，教師通過(guò)列舉大量典型的例子來(lái)反復(fù)講授某個(gè)定理。

三、大學(xué)微積分學(xué)習(xí)策略及方法

（一）端正思想，力求“兩個(gè)轉(zhuǎn)變”。

一是學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變。中學(xué)數(shù)學(xué)是關(guān)于常量的數(shù)學(xué)，而大學(xué)數(shù)學(xué)是關(guān)于變量的數(shù)學(xué)。微積分首先要做的是幫助學(xué)生發(fā)展函數(shù)概念——變量間關(guān)系的表述方式，這就把同學(xué)們的理解力從數(shù)推進(jìn)到變量、從描述推進(jìn)到證明、從具體情形推進(jìn)到一般方程，開(kāi)始領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)的威力。由于學(xué)習(xí)內(nèi)容和其中蘊(yùn)涵的方法都有了本質(zhì)的變化，所以學(xué)習(xí)方法也必然需要相應(yīng)改變。二是從中學(xué)到大學(xué)的心理轉(zhuǎn)變。與中學(xué)相比，大學(xué)老師主要起指導(dǎo)作用，大學(xué)學(xué)習(xí)更多地需要自己的主動(dòng)、自覺(jué)和努力。因此，作為大學(xué)生，我們要端正思想，盡快地從依賴?yán)蠋煹男睦磙D(zhuǎn)為主動(dòng)自覺(jué)學(xué)習(xí)。只有努力盡快實(shí)現(xiàn)這“兩個(gè)轉(zhuǎn)變”，我們的學(xué)習(xí)才會(huì)進(jìn)入良性發(fā)展階段。

（二）盡快適應(yīng)微積分課程的教學(xué)特點(diǎn)。

微積分是一門基礎(chǔ)課， 學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)就是要學(xué)好函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，在學(xué)習(xí)中若遇到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)方面的問(wèn)題，一定要及時(shí)解決。同時(shí)要弄清積分概念和基本理論、基本初等函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)極限的運(yùn)算并且熟練掌握導(dǎo)數(shù)和不定積分的公式。微積分的內(nèi)容具有較強(qiáng)的連貫性和系統(tǒng)性，它對(duì)于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)要求很高。因此，在進(jìn)入大學(xué)以后，同學(xué)們不僅要注意微積分課程的內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系，還要盡快適應(yīng)微積分課程的新的教學(xué)特點(diǎn)。認(rèn)真上好每一節(jié)微積分課，嚴(yán)格按照任課老師的要求去做，盡快適應(yīng)微積分課程的教學(xué)特點(diǎn)。

（三）適當(dāng)預(yù)習(xí)，提高聽(tīng)課效率。

微積分這門課理論深厚、思想深刻、內(nèi)容龐雜、課時(shí)少且課堂容量大，每次至少兩小時(shí)的課堂教學(xué)，內(nèi)容繁雜且難，許多大學(xué)新生因此不適應(yīng)。怎樣避免或改變這種被動(dòng)局面？在這方面做得成功的同學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)就是適當(dāng)預(yù)習(xí)。適當(dāng)預(yù)習(xí)可以大大增強(qiáng)聽(tīng)課的針對(duì)性和主動(dòng)性，使聽(tīng)課效率大為提高，同時(shí)又可以減少?gòu)?fù)習(xí)和做作業(yè)的時(shí)間。由此可見(jiàn)，提前預(yù)習(xí)對(duì)微積分課程的學(xué)習(xí)極為重要。

（四）反復(fù)訓(xùn)練主干知識(shí)，做到精益求精。

數(shù)學(xué)成績(jī)是練出來(lái)的，只有動(dòng)手才會(huì)有收獲。微積分的學(xué)習(xí)沒(méi)有捷徑可走，在理解微積分的概念、理論之后，我們必須通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練，才會(huì)不斷加深對(duì)微積分主干知識(shí)的理解。反復(fù)訓(xùn)練重點(diǎn)內(nèi)容提倡精練，即反復(fù)做一些典型試題，做到一題多解，一題多變。要訓(xùn)練抽象思維能力，對(duì)基本定理的證明，基本公式的推導(dǎo)，以及課后一些基本練習(xí)題，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

（五）適時(shí)整理筆記，學(xué)會(huì)總結(jié)歸納。

在大量練習(xí)的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)該依據(jù)個(gè)人的情況定期對(duì)自己所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)。只有通過(guò)總結(jié)才會(huì)舉一反三，融會(huì)貫通。數(shù)學(xué)不像別的科目，一天不練就會(huì)覺(jué)得生疏。當(dāng)天的內(nèi)容一定要當(dāng)天復(fù)習(xí)，否則時(shí)間一長(zhǎng)就容易遺忘。復(fù)習(xí)時(shí)可以將教材和筆記結(jié)合起來(lái)，適時(shí)對(duì)筆記進(jìn)行整理。每次授課知識(shí)點(diǎn)的整理就是一個(gè)復(fù)習(xí)的過(guò)程。在整理筆記時(shí)，要總結(jié)當(dāng)天學(xué)習(xí)的內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，并反思掌握了哪些，還有哪些問(wèn)題不懂或有疑問(wèn)，今后采取的措施等。

總而言之，學(xué)習(xí)微積分是一個(gè)漫長(zhǎng)且需要耐心的過(guò)程，學(xué)生務(wù)必端正心態(tài)，主動(dòng)培養(yǎng)興趣，同時(shí)還要制定科學(xué)合理的學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持不懈地執(zhí)行，通過(guò)以上努力，我們有理由相信在微積分學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的難題都會(huì)迎刃而解。

作者簡(jiǎn)介：凌卉（1999年-），女，中央民族大學(xué)2017級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)系1班學(xué)生，研究方向：信息與計(jì)算科學(xué)