探究小學數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想的應用

吳瑞嬋

摘要：本文從數(shù)形結(jié)合思想定義出發(fā)，根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像聯(lián)系起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合；通過對圖形的認識，數(shù)形的轉(zhuǎn)換，使問題化難為易，化抽象為具體，從而獲得簡明的解法。

關鍵詞：數(shù)學；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形轉(zhuǎn)換；抽象

華羅庚說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。當前小學生在數(shù)學解題中方法有些欠缺，因而在數(shù)形結(jié)合的教育意義及教育價值下，用數(shù)形結(jié)合思想方法來提高數(shù)學解題能力成為一個值得探究的課題。在平時教學中，讓學生動筆涂涂畫畫，把抽象的數(shù)學知識與具體的圖形結(jié)合起來，是一種便于學生理解，讓每個孩子都能積極主動的參與教學活動，提高學習效率的學習方法，同時更是讓學生真切地體會到了數(shù)學的美。在學習應用這種思想的前提下，我想有必要從它的定義出發(fā)。

一、數(shù)形結(jié)合思想

（一）數(shù)形結(jié)合定義

所謂數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，一方面借助數(shù)的精確性來闡明形的屬性，另一方面借助形的直觀性來闡明數(shù)量之間的關系。具體的說，就是在解決數(shù)學問題時，根據(jù)問題的背景，數(shù)量關系，圖形特征，或使“數(shù)”的問題借助“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}，借助“數(shù)”去思考。從數(shù)學內(nèi)容上來說，就是代數(shù)問題與圖形之間的轉(zhuǎn)換。這種解決問題的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想。

（二）數(shù)形結(jié)合的價值

數(shù)與形的結(jié)合是重要的數(shù)學思想，它的優(yōu)越性在于將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，化難為易，化抽象為直觀。根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關系的問題轉(zhuǎn)化為圖像性質(zhì)來討論，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的問題來研究，溝通數(shù)與學的內(nèi)在聯(lián)系，由數(shù)構(gòu)形，以形促數(shù)，加大解題的透明度，避免繁瑣的運算過程。這樣簡捷解題，既提高了解題速度，還提高了解題的完整性。

（三）數(shù)形結(jié)合的原則

數(shù)形結(jié)合的原則分為：一、等價原則，是指“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的轉(zhuǎn)換性質(zhì)應是等價的，即對于所討論的問題數(shù)與形所反應的反差關系應具有一致性；二、雙向性原則，在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的；三、簡單性原則，是指盡量使構(gòu)造的圖形簡單合理，即使集合圖形簡單明了又使代數(shù)計算簡潔，避免繁瑣的運算。遵守數(shù)形結(jié)合解題上的原則是確保解題正確性的前提，具體注意事項將在后面探討。

二、數(shù)形結(jié)合的應用

（一）韋恩圖法的應用

韋恩圖法是一種基本的數(shù)形結(jié)合模式，它一般用原來表示集合，兩圓相交則表示倆集合有公共元素，兩圓想離則表示集合沒有公共元素，利用韋恩圖能很直觀的反應并解答有關集合點的關系問題。例，同學們?nèi)ゴ河危?8人帶水壺，有71人帶水果，有48人帶水壺和水果，問一共多少人參加春游？通過韋恩圖法，將總?cè)藬?shù)加起來減去公共元素（帶水壺和水果的人），很容易得出答案101人參加春游，具體解法我就不再累述了。

（二）數(shù)形結(jié)合在幾何方面的應用

在幾何方面上，小學生的空間想象能力存在一定的局限性，有時，僅僅依靠學生在腦子中的想象，學生考慮問題就會出現(xiàn)這樣那樣的不周密，從而影響解題的正確性。這時，老師也可以恰當?shù)匾龑W生來畫一畫，以畫促思，使數(shù)形結(jié)合，能更好地幫助學生解題。例如，把兩個邊長為5厘米的正方形拼成一個長方形，拼成的長方形周長是多少厘米？這個問題看似簡單，其實常常會迷惑很多小學生，錯以為答案為40㎝。但是采用數(shù)形結(jié)合就能很直觀的得出答案30cm。要求拼、割、組合圖形的周長，重點是要弄清周長由哪幾條邊構(gòu)成。如果光憑想象，學生的考慮一定會出現(xiàn)不周全。

（三）數(shù)形結(jié)合在行程問題方面的應用

一類復雜的行程問題，在沒有學習二元一次、三元一次方程的小學階段，還只能利用圖形與數(shù)結(jié)合來表示數(shù)量關系幫助解決。例如，一輛汽車從甲地開往乙地。如果把車速提高20%，可以比原來提早1小時到達；若以原速行駛120千米之后，再將車速提高25%，則可以提前40分鐘到達。問兩地距離多少千米？

分析：用長方形的長表示速度，寬表示時間，則長方形的面積表示總路程，因為不管是以原速度原時間行，還是以變化后的速度和時間行，總路程都不變，即長方形的面積不變，那么減少的面積=增加的面積，即兩陰影部分的面積相等，通過數(shù)形結(jié)合的方式，就非常清晰明白的解決上述論題。

以上談到的數(shù)形結(jié)合在小學數(shù)學中運用的幾個方面，足以讓我們教師更加重視“數(shù)形結(jié)合”“以形輔數(shù)?！背浞忠雸D形，在教學中充分發(fā)揮其作用。因此，在平時教學中，有些數(shù)學知識讓學生動筆涂涂畫畫，把抽象的數(shù)學知識與具體的圖形結(jié)合起來，是一種便于學生理解，讓每個孩子都能積極主動的參與教學活動，提高學習效率的學習方法，同時更是讓學生真切地體會到了數(shù)學的美。