淺談代數(shù)不等式的基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

胡映貴

代數(shù)不等式的基本性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它可以滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，是解決很多數(shù)學(xué)問題的有利工具，再加上它在實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用性，決定了它將是常考不衰的高考熱點(diǎn)問題。根據(jù)有關(guān)資料顯示，在歷年高考試題中，直接或間接考查不等式知識(shí)約占總分的四分之一以上。代數(shù)不等式基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)邏輯思維能力、推理能力起著非常重要的作用。不等式的基本性質(zhì)試題不僅體現(xiàn)了“基礎(chǔ)與能力考查并重”的原則，還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、最優(yōu)化數(shù)學(xué)思想、函數(shù)與方程的思想、建立數(shù)學(xué)模型的思想等等。怎么把代數(shù)不等式的基本性質(zhì)融入到實(shí)際解題中就是本文所研究的。

一、不等式基本性質(zhì)的運(yùn)用

同學(xué)們都知道，不等式的基本性質(zhì)有以下三條：（1）不等式的兩邊加上（或減去）一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變 ，通過舉例，說說不等式基本性質(zhì)的作用。

（一）比較大小

利用不等式比較大小，有兩種方法：第一，作差比較法。比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，或者比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，我們可以拿一個(gè)實(shí)數(shù)減去另外一個(gè)實(shí)數(shù)，或者可以拿一個(gè)代數(shù)式減去另外一個(gè)代數(shù)式，如果差大于零，那么被減數(shù)或被減式大于減數(shù)或減式；如果差等于零，那么被減數(shù)或被減式等于減數(shù)或減式；如果差小于零，那么被減數(shù)或被減式小于減數(shù)或減式。第二，作商比較法。這一種方法適用于含有冪代數(shù)式大小的比較。拿一個(gè)代數(shù)式除以另外一個(gè)代數(shù)式，如果商大于1，那么被除式大于除式；如果商大于零小于1，那么被除式小于除式；不過此種方法有使用范圍，必須是兩個(gè)代數(shù)式同正同負(fù)，其他情形一般不適合第二種方法。

（二）確定范圍

利用不等式可以確定一些實(shí)際問題中的取值范圍。第一，在函數(shù)問題中，可以用不等式表示函數(shù)的定義域及值域。第二，在實(shí)際應(yīng)用題中，可以用不等式表示可以取哪些值。如表示工資錢數(shù)，只能大于零。第三，在分類討論數(shù)學(xué)題目中，可以用不等式表示分類的具體情況。如可分為大于零，等于零，小于零這三種情況。第四，用不等式可以表示一些實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題。如大于零表示盈利，等于零表示收支平衡，小于零表示虧損等等。

（三）用于構(gòu)造一元一次不等式

例1 不等式______的解集是

解：答案不唯一，如，，，，，等等。

（四）用于找關(guān)系

例2 若，，試表示和之間的關(guān)系。

解：由不等式的性質(zhì)1，不等式的兩邊都加上2，可得。由不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都乘以-1，可得。

因此可得。由不等式的性質(zhì)1，兩邊都加上，得

故和之間的關(guān)系為。

（五）最值問題

例3 設(shè)，則的最大值與最小值之差為______。

解：由，得，。

原式

因?yàn)椋?所以，的最大值為2，最小值為0。

所以原式的最大值為，最小值為其差值為1。

二、不等式性質(zhì)的三個(gè)應(yīng)用

（一 ）利用不等式性質(zhì)證明不等式

利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式，解決此類問題一定要從充分理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用。

我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí)的一些不等式的性質(zhì)以及推論都可以作為證明不等式的主要依據(jù)，不過在利用過程中一定要注意不等式的使用范圍，切不可盲目利用不等式的性質(zhì)及推論，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。另外，在證明過程中大多數(shù)題目都是對(duì)不等式性質(zhì)及推論的反用，及對(duì)不等式性質(zhì)及推論的逆向應(yīng)用。因此，在利用不等式性質(zhì)證明不等式過程當(dāng)中一定要熟練掌握性質(zhì)及推論的雙向應(yīng)用。

（二）利用不等式性質(zhì)求范圍

利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某個(gè)不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對(duì)于這類問題要注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），但這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形。在一個(gè)解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時(shí)，就有可能擴(kuò)大真實(shí)的取值范圍，解題時(shí)務(wù)必小心謹(jǐn)慎，應(yīng)先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過一次不等式關(guān)系的運(yùn)算，求得待求的范圍，這是解這類題的最有效的方法。

（三）利用不等式性質(zhì)，探求不等式成立的條件

不等式的性質(zhì)，包括五個(gè)性質(zhì)定理及三個(gè)推論，不等式的性質(zhì)是解不等式和證明不等式的主要依據(jù)，只有正確的理解每條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的變化才能正確的加以運(yùn)用，利用不等式的性質(zhì)，尋求命題成立的條件是不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用。

三、總結(jié)

本文通過比較大小，確定范圍， 用于構(gòu)造一元一次不等式， 用于找關(guān)系，最值問題，利用不等式性質(zhì)證明不等式，利用不等式性質(zhì)求范圍，利用不等式性質(zhì)，探求不等式成立的條件九個(gè)方面逐一說明了代數(shù)不等式性質(zhì)在實(shí)際問題中的滲透，但是，對(duì)于代數(shù)不等式性質(zhì)的應(yīng)用我們不能單純的，死搬硬套的去利用。也許有些方法，有些性質(zhì)適用于某種題型，但是他不可能適用于任何一種題目；也許有些方法在理論上是萬能的，但是在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中可能非常繁瑣。所以，我們要具體題型具體對(duì)待，具體題目具體對(duì)待，選擇最合適，最簡(jiǎn)便的方法來解決問題。這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用當(dāng)中多做總結(jié)，多分析，多交流，多反思，多應(yīng)用，多滲透。只有這樣我們才能游刃有余的利用代數(shù)不等式的性質(zhì)解決我們遇到的實(shí)際問題。