磁性斯格明子晶格的磁彈現(xiàn)象與機(jī)理?

胡楊凡 萬(wàn)學(xué)進(jìn) 王彪

(中山大學(xué)中法核工程與技術(shù)學(xué)院,珠海 519082)

近年來(lái),人們?cè)谝恍┚哂惺中韵嗷プ饔玫拇判泽w材料及薄膜中成功觀測(cè)到具有非平凡拓?fù)湫再|(zhì)的二維自旋結(jié)構(gòu),稱作磁性斯格明子.在大部分情況下,磁性斯格明子自發(fā)地聚集成一種晶格結(jié)構(gòu),稱作斯格明子晶格.孤立的斯格明子由于其奇特的拓?fù)湫再|(zhì)以及優(yōu)異的電流驅(qū)動(dòng)性質(zhì)等“局域化特征”受到人們的廣泛關(guān)注.與此相對(duì),斯格明子晶格作為一種新穎的宏觀磁性相,可能與材料固有的多場(chǎng)耦合性質(zhì)發(fā)生相互作用進(jìn)而引發(fā)許多奇特的宏觀物理現(xiàn)象乃至新性質(zhì).在此范疇內(nèi),人們發(fā)現(xiàn)由于手征磁體內(nèi)稟的磁彈耦合,斯格明子晶格不但對(duì)材料的力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生影響,而且在外力作用下自身具備“層展的彈性性質(zhì)”.本文對(duì)相關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行梳理,并基于一種針對(duì)B20族手征磁體磁彈耦合效應(yīng)普遍適用的熱力學(xué)唯象模型,逐一簡(jiǎn)述對(duì)于不同類型的磁彈現(xiàn)象如何建模分析,進(jìn)而給出其中一部分現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果比對(duì).最后,對(duì)這一領(lǐng)域的發(fā)展提出幾個(gè)可供進(jìn)一步探索的方向.

1 引 言

斯格明子(skyrmion)的概念最早由Tony Skyrme[1,2]在核物理的范疇提出,是指非線性sigma模型的一個(gè)拓?fù)浞瞧椒驳墓伦咏?隨后人們發(fā)現(xiàn)斯格明子出現(xiàn)在橫跨宇觀到微觀的各個(gè)尺度的物理體系中[3?7].在非中心對(duì)稱的鐵磁性體材料或薄膜結(jié)構(gòu)中,自旋在一定條件下自發(fā)地排列成拓?fù)浞瞧椒驳拇判运垢衩髯?大多數(shù)情況下它們由于非共線的Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用而得以穩(wěn)定存在[8?11].磁性材料中的二維斯格明子有兩種可能的構(gòu)型,分別是布洛赫型[12?15](圖1(a))與奈爾型[16,17](圖1(b)).材料中具體出現(xiàn)何種類型的斯格明子取決于系統(tǒng)的手性,而手征磁體中布洛赫型的斯格明子較為常見(jiàn).孤立斯格明子的拓?fù)涮卣魇蛊浔憩F(xiàn)出穩(wěn)定的“粒子”性質(zhì)[18?20],是人們理解層展物質(zhì)態(tài)存在與演化的突破口.同時(shí),斯格明子能夠被極低密度的電流驅(qū)動(dòng)[21,22]且能引發(fā)拓?fù)浠魻栃?yīng)[23?27],對(duì)新型自旋電子學(xué)器件以及高密度存儲(chǔ)器件的研發(fā)至關(guān)重要.然而,真實(shí)材料中發(fā)現(xiàn)的斯格明子大多數(shù)情況下不會(huì)孤立存在,而是自發(fā)結(jié)晶形成所謂的斯格明子晶格(SkX).2009年,Mühlbauer等[12]通過(guò)小角度中子散射在MnSi體材料中首次發(fā)現(xiàn)自旋在特定外場(chǎng)條件下形成了二維SkX.此后,人們?cè)贐20族手征磁體的體材料[28,29]以及薄膜[13,14,19,30?32]中大量地觀測(cè)到穩(wěn)定的SkX.在納米結(jié)構(gòu)中,人們能夠通過(guò)幾何尺寸上的約束[33?36]獲得單個(gè)的斯格明子,然而隨著結(jié)構(gòu)尺寸的增加,單個(gè)斯格明子迅速演化為斯格明子團(tuán)簇(圖1(c)),進(jìn)而變化為SkX(圖1(d)).

圖1 二維斯格明子及其團(tuán)簇、晶格 (a)布洛赫型以及(b)奈爾型孤立斯格明子示意圖;(c)納米盤中孤立斯格明子隨半徑增大逐漸變化為斯格明子團(tuán)簇[35];(d)斯格明子晶格[13]Fig.1.2D skyrmions,skyrmions clusters and skyrmion lattices:(a)B loch-type and(b)Neel-type isolated skyrmions;(c)skyrmions in the nanometer disk which transform from isolated state into cluster state with increasing diameter of the disk[35];(d)skyrmion crystal[13].

長(zhǎng)程有序的SkX[37]打破了孤立斯格明子的軸對(duì)稱,與孤立斯格明子的粒子特征不同,其物理實(shí)質(zhì)為相互耦合的自旋密度波[38].作為一種宏觀磁相,SkX“彌散”在整個(gè)材料中,因而導(dǎo)致材料本身各種宏觀性質(zhì)發(fā)生變化,諸如彈性常數(shù)[39]、比熱容[40]、磁電阻等[41].與之相比,孤立斯格明子對(duì)材料宏觀性質(zhì)的影響往往可以忽略.另一方面,斯格明子晶格的波本質(zhì)使其可能出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)變得更加豐富,并且這種結(jié)構(gòu)多樣性從孤立斯格明子的角度難以解釋.例如,人們?cè)趯?shí)驗(yàn)上觀測(cè)到斯格明子晶格會(huì)發(fā)生所謂的結(jié)構(gòu)相變[29,42],即從六角晶格變化為四方晶格.這類相變發(fā)生前后兩種晶格的波矢模長(zhǎng)基本不變,意味著晶格中的斯格明子有效半徑發(fā)生了跳變,也就是說(shuō)兩種晶格中的斯格明子具有截然不同的尺寸.

由于手征磁體內(nèi)稟的磁彈相互作用,材料內(nèi)部的斯格明子及其晶格在外力作用下引發(fā)豐富的磁彈耦合現(xiàn)象,一般來(lái)說(shuō)可分為兩類.一類現(xiàn)象體現(xiàn)外力對(duì)斯格明子及其晶格的影響.首先,此中研究得最多的現(xiàn)象就是通過(guò)外力調(diào)整斯格明子晶格相在磁場(chǎng)-溫度相圖中穩(wěn)定區(qū)域的大小.人們?cè)诶碚揫43?46]與實(shí)驗(yàn)[47?54]上都發(fā)現(xiàn),對(duì)材料施加單軸拉伸或壓縮可以達(dá)到這一目的.對(duì)于薄膜結(jié)構(gòu),可以通過(guò)基底與薄膜之間的晶格失配施加應(yīng)變,從而同樣達(dá)到調(diào)節(jié)斯格明子晶格穩(wěn)定性的目的[31,55,56](見(jiàn)圖2).其次,單軸拉伸還能影響斯格明子的生成、湮滅以及基本性質(zhì).Ghimire等[57]通過(guò)第一性原理計(jì)算發(fā)現(xiàn)較強(qiáng)的磁彈耦合相互作用可能使材料出現(xiàn)非共線的磁性基態(tài).Liu等[58]發(fā)現(xiàn)單軸應(yīng)力能夠?qū)⒋女牎扒小背伤垢衩髯?Chen等[59]發(fā)現(xiàn)單軸拉伸可以改變斯格明子手性,導(dǎo)致混合手性斯格明子的出現(xiàn).Li等[60]發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)對(duì)材料施加應(yīng)力控制斯格明子的生成以及在電流中的運(yùn)動(dòng)軌跡.最后,外力還會(huì)導(dǎo)致SkX發(fā)生層展變形.2015年,Shibata等[28]通過(guò)洛倫茲透射電子顯微鏡(TEM)發(fā)現(xiàn)對(duì)FeGe薄膜施加0.3%的單向拉伸應(yīng)變后,材料內(nèi)部的SkX出現(xiàn)了高達(dá)20%的單向?qū)诱箲?yīng)變(見(jiàn)圖4(a)—(c)).這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明SkX具有極好的“層展彈性”,且該性質(zhì)獨(dú)立于底層材料的剛度.隨后這種層展彈性現(xiàn)象在MnSi中也得到驗(yàn)證[47,61].Hu與Wang[62]推導(dǎo)了描述SkX層展彈性的線性本構(gòu)方程,構(gòu)建了定量描述這一現(xiàn)象的解析理論.

另一類現(xiàn)象體現(xiàn)SkX的出現(xiàn)對(duì)于材料自身力學(xué)性質(zhì)的影響.首先,磁彈耦合使得SkX總是伴隨著一個(gè)周期變化的內(nèi)稟彈性場(chǎng)[63].在自由邊界上,其中的內(nèi)稟應(yīng)力場(chǎng)的釋放形成一個(gè)周期分布的凹凸不平的表面構(gòu)型,稱為SkX的表面形貌[64].其次,當(dāng)材料磁極化相變到斯格明子晶格相的過(guò)程中,材料的彈性常數(shù)發(fā)生跳變[39,65,66,67],Zhang等[68]在理論上構(gòu)建了聲子-磁振子耦合理論對(duì)此進(jìn)行了解釋.最后,材料的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)(聲子譜)受到斯格明子晶格的影響[69,70].上述現(xiàn)象說(shuō)明材料內(nèi)部彈性場(chǎng)與磁性斯格明子及其晶格之間相互影響,其中蘊(yùn)含豐富的物理,而對(duì)此的明晰是發(fā)展斯格明子及其晶格“應(yīng)變工程”的基礎(chǔ).

在針對(duì)某個(gè)特定的材料中某種磁彈耦合現(xiàn)象進(jìn)行專門研究的過(guò)程中涌現(xiàn)出若干有效的理論方法,然而其中大部分方法局限性較大.與此相對(duì),要建立一個(gè)針對(duì)某一類材料的各種磁彈耦合現(xiàn)象普遍適用的理論則非常困難.Hu與Wang[71]基于B20族材料的對(duì)稱性推導(dǎo)了包含必要高階磁彈相互作用的Landau-Ginzburg泛函,并在此基礎(chǔ)上定量解釋了與典型材料MnSi相關(guān)的若干磁彈耦合現(xiàn)象,在此方面推進(jìn)了一步.本文以這一套理論方法為脈絡(luò),首先分類梳理上述磁彈耦合現(xiàn)象,再簡(jiǎn)述如何基于這一理論研究相應(yīng)的磁彈耦合問(wèn)題,并給出相應(yīng)實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果的對(duì)比,最后給出斯格明子磁彈耦合范疇內(nèi)我們認(rèn)為較為重要的幾個(gè)發(fā)展方向.

2 B20族手征磁體在磁場(chǎng)-溫度場(chǎng)-彈性場(chǎng)耦合作用下的朗道-金茲堡泛函

針對(duì)手征磁體磁彈耦合現(xiàn)象的研究由來(lái)已久.早期的理論工作主要可分為以下兩類:一類是基于立方對(duì)稱鐵磁體的磁致伸縮理論[72](稱作K理論);另一類是基于針對(duì)MnSi中的自旋密度波相(或稱圓錐相)發(fā)展的磁致伸縮理論[73](稱作P理論).然而,使用這兩類理論解釋許多與斯格明子及其晶格相關(guān)的磁彈耦合現(xiàn)象卻并不成功,其主要原因在于這兩類理論使用的磁彈耦合相互作用泛函被過(guò)度地地簡(jiǎn)化了.Hu與Wang[71]基于群論推導(dǎo)了針對(duì)B20族手征磁體普遍適用的磁彈耦合相互作用泛函,除P理論中描述的泛函項(xiàng)外,還包含了另外兩類高階相互作用泛函項(xiàng).以此為基礎(chǔ),它們拓展了B20族手征磁體的朗道-金茲堡自由能密度泛函[7,10,74],適用于分析手征磁體在磁-溫-彈耦合場(chǎng)作用下的行為:

其中M=[M1,M2,M3]T表示磁極化向量;εij表示應(yīng)變分量;T表示溫度;Ms表示接近絕對(duì)零度時(shí)測(cè)得的飽和磁極化;M2=M21+M22+M23.方程(1)中第一項(xiàng)源自交換相互作用,A表示其強(qiáng)度;第二項(xiàng)源自DM相互作用,D表示其強(qiáng)度;第三項(xiàng)表示外磁場(chǎng)B引起的Zeeman能密度;α(T?T0)M2+βM4表示自由能密度朗道展開(kāi)的二次以及四次項(xiàng);wan,wel以及wme分別表示各向異性能密度、彈性能密度、以及磁彈耦合能密度.它們的表達(dá)式分別可展開(kāi)為:

其中

方程(2)中第一項(xiàng)源自交換各向異性,Ae表示其強(qiáng)度;第二項(xiàng)源自磁晶各向異性,Ac表示其強(qiáng)度.方程(4)將磁彈相互作用分為三部分,其中wme0給出的泛函形式與P理論一致,wme1與wme2則給出兩類高階磁彈耦合相互作用,K,Li(i=1,2,3),LOi(i=1—6),L2i(i=1,2,3)等為磁彈耦合系數(shù).后面會(huì)看到,wme1描述的部分對(duì)于理解材料彈性常數(shù)C11以及C33隨外磁場(chǎng)的變化至關(guān)重要,而wme2描述的部分對(duì)于理解材料彈性常數(shù)C44以及C66隨外磁場(chǎng)的變化至關(guān)重要.從泛函展開(kāi)的角度而言,wme2是wme1的高階項(xiàng),wme1又是wme0的高階項(xiàng),因此在討論某些特定問(wèn)題時(shí)wme2可忽略不計(jì).

若材料的應(yīng)變?chǔ)舏j被約束(或說(shuō)材料受到位移約束),則磁彈耦合對(duì)手征磁體平衡態(tài)性質(zhì)的影響可通過(guò)分析wme對(duì)于方程(1)中其他他項(xiàng)的影響獲得.例如,wme0中的項(xiàng)會(huì)影響朗道展開(kāi)二次項(xiàng)α(T?T0)M2的系數(shù).在給定應(yīng)變約束εij時(shí),磁彈耦合對(duì)平衡態(tài)性質(zhì)的影響不僅依賴于材料的磁彈耦合系數(shù)(K,L1,L2,L3等),更依賴于其與相應(yīng)熱力學(xué)參數(shù)(在本例中為α)的相對(duì)大小.為方便討論,可將方程(1)給出的泛函重整化為如下的形式:

x與r分別為重整化前后坐標(biāo)矢量,通過(guò)這一變換得到的是無(wú)量綱化的磁極化m以及應(yīng)變?chǔ)舏j的泛函,且與的表達(dá)式形式可通過(guò)如下變換從方程(2)—(9)直接導(dǎo)出:

方程(12)中的重整化系數(shù)與原系數(shù)之間滿足

與方程(1)相比,方程(10)的形式更具普適性.此時(shí)磁彈相互作用對(duì)斯格明子及其晶格的影響完全取決于方程(13)中列出的重整化系數(shù).

3 斯格明子晶格相的波本質(zhì)及其平衡態(tài)性質(zhì)

自斯格明子晶格相在手征磁體中被發(fā)現(xiàn)以來(lái),一個(gè)備受爭(zhēng)議的基本問(wèn)題是應(yīng)該將其理解為耦合的自旋密度波還是拓?fù)浯判詫诱沽Ｗ拥暮?jiǎn)單堆砌.“粒子”派認(rèn)為SkX中的斯格明子之間存在相互作用,然而這種相互作用僅僅擾動(dòng)了其中斯格明子的邊緣區(qū)域,而每個(gè)斯格明子仍然具有一個(gè)面內(nèi)軸對(duì)稱的“核”[7,75].反之,“波動(dòng)”派認(rèn)為被廣泛觀測(cè)到的具有六角對(duì)稱的SkX可被近似為一個(gè)常向量與三個(gè)具有不同波矢方向的自旋密度波的疊加[12,29,37].在大部分體材料[12,28,29]與相應(yīng)薄膜[13?15,30,31]中,斯格明子都以晶格態(tài)存在;同時(shí)人們還發(fā)現(xiàn)其他層展磁性粒子(如雙斯格明子[76,77]以及反斯格明子等[78])均形成相應(yīng)的晶態(tài).這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象說(shuō)明層展晶態(tài)的波-粒本質(zhì)爭(zhēng)議具有一般性.同時(shí),這一問(wèn)題的解答至少具有以下兩重顯著的價(jià)值:1)層展晶態(tài)的波表述與粒子表述在數(shù)學(xué)上互不相容,因此只有解決這一議題才能明確任何層展晶格的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式;2)兩種表述具有不同的局部對(duì)稱性,因此這一議題的答案決定了層展晶態(tài)中的粒子是否保持孤立層展粒子的許多物理性質(zhì)(例如拓?fù)浔Ｗo(hù)).不考慮磁彈耦合作用時(shí)(即在方程(10)中忽略以及),Hu[38]運(yùn)用泛函分析證明了任何長(zhǎng)程有序的層展晶態(tài)具有波本質(zhì),也就是說(shuō)這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù).對(duì)于任一二維層展晶態(tài),其序參量可寫為如下形式的n階傅里葉表述:

其中ni表示第i階展開(kāi)中波矢的個(gè)數(shù);qij表示第i階展開(kāi)中第j個(gè)波矢;si表示i階展開(kāi)波矢模長(zhǎng)與1階展開(kāi)波矢模長(zhǎng)q的比值,為一個(gè)遞增的正實(shí)數(shù)序列,其取值與晶格結(jié)構(gòu)有關(guān).六角晶格對(duì)應(yīng)的si值見(jiàn)表1.應(yīng)注意方程(14)以及下文中,與下標(biāo)i具有不同含義.

將方程(14)形式的解代入方程(10),積分后可得

因此mqij可以展開(kāi)為

而

表1 六角晶格對(duì)應(yīng)傅里葉表述的詳細(xì)信息Table 1.Detail in formation related to the Fourier representation of hexagonal lattices.

圖2 (a)MnSi體材料磁場(chǎng)-溫度相圖[12],其中A-phase指斯格明子晶格相;(b)FeGe薄膜磁場(chǎng)-溫度相圖[31],其中高亮且標(biāo)Sk X的區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定的斯格明子晶格相,內(nèi)插圖高亮標(biāo)注的區(qū)域?yàn)镕eGe體材料穩(wěn)定的斯格明子晶格相Fig.2.(a)Magnetic field-temperature phase diagram of bulk MnSi[12],in which A-phase stands for the skyrmion lattice phase;(b)magnetic field-temperature phase diagram of FeGe film[31],in which the region high lighted and labeled with Sk X is the sTable skyrmion lattice phase,the high lighted region in the inset rep resents the sTable skyrmion lattice phase of bulk FeGe.

4 材料的受力與變形對(duì)斯格明子晶格性質(zhì)的影響

手征磁體作為鐵磁體中的一小類,具備內(nèi)稟的磁彈耦合性質(zhì).SkX作為手征磁體中的磁極化可能呈現(xiàn)的一種宏觀狀態(tài),必然受到外力作用的影響.本節(jié)我們從兩個(gè)方面探討材料的受力與變形對(duì)磁性SkX性質(zhì)的影響.

4.1 外力與變形對(duì)斯格明子晶格穩(wěn)定性的影響

斯格明子晶格相最初在MnSi體材料中被發(fā)現(xiàn)時(shí)[12],只能穩(wěn)定存在于溫度-磁場(chǎng)相圖右下方的一個(gè)狹小的口袋狀區(qū)域中.隨后,人們?cè)趯?shí)驗(yàn)中觀測(cè)到在外延生長(zhǎng)的Fe0.5Co0.5Si[13],FeGe[14,31]以及MnSi[56]薄膜中,SkX在相圖中的穩(wěn)定區(qū)域與體材料相比大大增加.由于外延生長(zhǎng)的薄膜與基底之間總是存在失配應(yīng)變,這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象由此成為應(yīng)力應(yīng)變能夠影響斯格明子晶格穩(wěn)定性的第一個(gè)證據(jù).在理論上,Butenko等[43]在自由能密度泛函中引入單軸各向異性項(xiàng),發(fā)現(xiàn)能夠通過(guò)調(diào)控各向異性的大小來(lái)穩(wěn)定非中心對(duì)稱的鐵磁體中的斯格明子晶格相,并認(rèn)為這一機(jī)制可以解釋外延薄膜中斯格明子晶格相的穩(wěn)定性.該理論的遺憾之處在于自由能密度泛函中并不顯含應(yīng)變,因此無(wú)法得知單軸各向異性是如何通過(guò)外延薄膜受到的失配應(yīng)變產(chǎn)生的[79].此后,Nii等[48]在MnSi的單軸拉伸壓縮實(shí)驗(yàn)中得到更直接的證據(jù):單軸拉伸或壓縮能夠有效地調(diào)節(jié)斯格明子晶格相在相圖中的穩(wěn)定區(qū)域.Hu與Wang[71]基于第2節(jié)給出的熱力學(xué)模型定量解釋了這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果,我們?cè)诖撕?jiǎn)述其思路.

首先,在給定的溫度、磁場(chǎng)以及應(yīng)力條件下,我們通過(guò)方程(10)給出的自由能密度泛函求出給定應(yīng)力邊界條件下的應(yīng)變解.由本構(gòu)關(guān)系有

其中

在方程(20),(21)中,具有上標(biāo)“*”的參數(shù)定義如下:

對(duì)于任意非共線的周期磁極化態(tài),彈性應(yīng)變的解都可以分解為均勻部分與周期部分:,其中.因此,可通過(guò)對(duì)方程(19)進(jìn)行體積分來(lái)求解,而的求解方法會(huì)在5.1節(jié)介紹.值得注意的是,由方程(19)可知即使材料不受任何外力(即),材料內(nèi)部均勻應(yīng)變?nèi)匀豢山鉃?由此公式求出的均勻應(yīng)變稱作磁性材料的磁致伸縮應(yīng)變.

其次,選擇一個(gè)特定的磁性相,以斯格明子晶格相為例,則m具有方程(14)的形式.將此具體形式代入上面求出的以及的表達(dá)式中,再以替代方程(10)中的應(yīng)變分量,則推導(dǎo)后可得.求的極小值,以確定mFn.

再次,對(duì)所有可能出現(xiàn)的磁性相(如螺旋相、圓錐相、鐵磁相等),重復(fù)上一步的求解過(guò)程.然后比較所有磁性相對(duì)應(yīng)的自由能極小值,找到其中的最小值,則對(duì)應(yīng)的相就是給定磁場(chǎng)、溫度以及應(yīng)力條件下的平衡態(tài).

最后,改變磁場(chǎng)以及溫度條件,重復(fù)上述過(guò)程,則最終可以得到給定應(yīng)力條件下手征磁體的磁場(chǎng)-溫度相圖.任意其他兩個(gè)熱力學(xué)參數(shù)構(gòu)成的相圖可以用類似的方法求得.

表2 MnSi體材料的熱力學(xué)參數(shù)[71]Table 2.Thermodynamic parameters of bulk MnSi[71].

圖3 MnSi體材料在不同方向受單軸壓縮對(duì)應(yīng)的溫度-磁場(chǎng)相圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[48]與理論計(jì)算結(jié)果[71](a)—(c)磁場(chǎng)方向沿z軸,壓力作用于[1,1,0]T方向;(d)—(f)磁場(chǎng)與壓力作用方向均沿z軸;(g)—(i)磁場(chǎng)與壓力作用方向均沿[1,1,1]T方向;(j)—(m)磁場(chǎng)方向均沿z軸,壓力方向(j),(k)沿z軸,(l),(m)沿[1,1,0]T方向Fig.3.Experimental results[48]and theoretical calculation results[71]of temperature-magnetic field phase diagram of bulk MnSi subjected to uniaxial compression in different direction:(a)–(c)The magnetic field is along z-axis,the pressure is along[1,1,0]T direction;(d)–(f)the magnetic field and the pressure are all along z-axis;(g)–(i)the magnetic field and the pressure are all along[1,1,1]T direction;(j)–(m)the magnetic field is along z-axis,the pressure is along(j),(k)z-axis,(l),(m)[1,1,0]T direction.

基于這一思路,可計(jì)算MnSi體材料在四種不同條件的單軸壓縮作用下的磁場(chǎng)-溫度相圖(見(jiàn)圖3(j)—(m)),對(duì)比可知其與相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[48](見(jiàn)圖3(a)—(i))定量地符合.由此可得出結(jié)論:面外單軸壓縮縮小SkX在磁場(chǎng)-溫度相圖中的穩(wěn)定區(qū)域,而面內(nèi)單軸壓縮擴(kuò)大斯格明子晶格在磁場(chǎng)-溫度相圖中的穩(wěn)定區(qū)域.進(jìn)一步分析可知[71],對(duì)這一現(xiàn)象起決定性作用的是中的這一項(xiàng).

4.2 斯格明子晶格的層展彈性力學(xué)

2015年,Shibata等[28]發(fā)現(xiàn)FeGe薄膜在0.3%的單向拉伸應(yīng)變作用下,材料內(nèi)部的SkX出現(xiàn)了高達(dá)20%的單向?qū)诱箲?yīng)變.隨后,在針對(duì)MnSi的單向拉伸實(shí)驗(yàn)中,Fobes等[47]觀察到類似的現(xiàn)象.這說(shuō)明手征磁體底層的原子晶格與層展的SkX同樣具有“彈性”,即在外力作用下會(huì)發(fā)生變形,且兩種晶格的彈性剛度相差較大(對(duì)于FeGe來(lái)說(shuō)相差兩個(gè)量級(jí)).Hu與Wang[62]在第2,3節(jié)介紹的熱力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了描述斯格明子晶格“層展彈性”的線性本構(gòu)方程,并且將方程中的線性系數(shù)解析表達(dá)為底層材料熱力學(xué)參數(shù)的函數(shù).下面簡(jiǎn)介這一理論的基本思想和結(jié)果.

在方程(14)中我們給出斯格明子晶格的傅里葉表述時(shí),曾給出了的假設(shè).這一假設(shè)將SkX的結(jié)構(gòu)固定為六角晶格,然而考慮材料自身的各向異性(反映在方程(10)中的,或者外荷載的作用時(shí),這種六角對(duì)稱會(huì)被打破,從而導(dǎo)致斯格明子晶格結(jié)構(gòu)的變形.為了在數(shù)學(xué)上描述這種變形,我們首先不失一般性地選擇q11,q12作為斯格明子晶格的倒格矢.與原子晶格相仿,SkX的倒格矢與正格矢之間總是保持著如下的正交關(guān)系:

其中a1,a2為斯格明子晶格的正格矢.當(dāng)晶格發(fā)生變形時(shí),原始正格矢變化為變形后的正格矢根據(jù)柯西-波恩定律[80],我們引入層展應(yīng)變(i,j=1,2)以及層展扭轉(zhuǎn)角ωe,將變形前的正格矢映射到變形后的正格矢

而層展應(yīng)變與層展扭轉(zhuǎn)角又可通過(guò)層展位移場(chǎng)(i=1,2)定義:.將方程(23)代入方程(22),變形后的倒格矢與可表示為與ωe的函數(shù),而可通過(guò)關(guān)系求出.對(duì)于二維六角晶格,不失一般性地假設(shè),推導(dǎo)后可得

這里我們將彈性應(yīng)變拆分為如下形式:

為研究獨(dú)立變量之間的線性耦合,我們對(duì)系統(tǒng)施加一個(gè)微擾場(chǎng),對(duì)應(yīng)的線性本構(gòu)關(guān)系可寫為

其中

而

方程(34)—(37)中定義的向量σe,,ba,Fq分別是對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)共軛變量,其中的σe分量稱作層展應(yīng)力分量,為矢量形式的均勻彈性應(yīng)力,ba的前三個(gè)分量為均勻外磁場(chǎng)分量,其他分量為周期變化的磁場(chǎng)的幅值,Fq的分量與外加的周期應(yīng)力場(chǎng)有關(guān).而所有變量的前綴“d”表示對(duì)變量的小擾動(dòng).方程(30)—(33)給出描述斯格明子晶格層展彈性變形的線性本構(gòu)關(guān)系.由這組方程可知,均勻應(yīng)力場(chǎng)、周期應(yīng)力場(chǎng)、均勻磁場(chǎng)、周期磁場(chǎng)以及層展應(yīng)力場(chǎng)均可導(dǎo)致斯格明子晶格的彈性變形,而對(duì)應(yīng)的線性系數(shù)矩陣可通過(guò)方程(38)給出的定義由平均自由能密度解析求得.其中我們將Ce稱為層展彈性剛度矩陣,將h稱為層展壓彈系數(shù)矩陣.

考慮一種特殊情形,即系統(tǒng)只受到均勻應(yīng)力荷載擾動(dòng),此時(shí)有dσe=0,dba=0,dFq=0.而方程(30)—(33)可簡(jiǎn)化為

或者

其中

而

我們將方程(41)定義的4×6矩陣λ稱作層展應(yīng)變率矩陣.它表征受外力作用時(shí),底層材料應(yīng)變與表層斯格明子晶格層展應(yīng)變之間的比值.

由于從現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)結(jié)果難以獲取FeGe完整的熱力學(xué)參數(shù),圖4中給出了FeGe薄膜層展變形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[28]與MnSi體材料層展變形的理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比[62].在針對(duì)MnSi體材料層展彈性的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)其層展彈性性質(zhì)對(duì)于外磁場(chǎng)的變化非常敏感.值得注意的是,隨著外磁場(chǎng)的增加,MnSi內(nèi)斯格明子晶格的起主導(dǎo)作用的層展應(yīng)變率矩陣系數(shù)λij均會(huì)發(fā)生“變號(hào)現(xiàn)象”,也就是說(shuō),在相同形式的外力荷載作用下,低場(chǎng)下的斯格明子晶格與高場(chǎng)下的斯格明子晶格會(huì)表現(xiàn)出截然相反的層展變形模式.

圖4 (a)—(c)洛倫茲力TEM觀測(cè)的FeGe薄膜在單向拉伸前(a),(b),后(c)的斯格明子晶格[28],其中(a)觀測(cè)溫度260 K,(b),(c)觀測(cè)溫度94 K;(d)—(g)理論計(jì)算MnSi體材料內(nèi)的斯格明子晶格在受到應(yīng)力作用前(每張小圖中黑色虛線)、后(邊框?qū)嵕€)的魏格納-塞茲原胞示意圖[62],圖中背景顏色反映磁極化z軸分量的空間分布,分布箭頭表示反映磁極化面內(nèi)分量的空間分布,其中箭頭長(zhǎng)短表示面內(nèi)極化分量大小;(d)—(f)分別受到x,y以及z方向大小0.02的單向拉伸變形;(g)受到xy平面內(nèi)大小0.02的剪切變形Fig.4.(a)–(c)Observed Lorentz TEM images of the skyrmion lattices in FeGe film before(a),(b)and after(c)uniaxial tension[28],the observation temperatures of(a)and(b),(c)are 260 K and 94 K,respectively;(d)–(g)theoretically calculated Wigner-Seitz cell of skyrmion lattice in bulk MnSi before(region enclosed by black dotted lines)and after(region enclosed by black full lines)stress loads[62],the background color reflects the magnitude of z-component of magnetization,the arrows reflect the distribution and magnitude of in-plane components of magnetization;(d)–(f)uniaxial tensile deformations of 0.02 along x-,y-and z-direction;(g)shear deformation of 0.02 in xy-plane.

5 斯格明子晶格對(duì)材料力學(xué)性質(zhì)的影響

由于材料的磁彈耦合效應(yīng),SkX的存在會(huì)反過(guò)來(lái)影響帶料的力學(xué)性質(zhì).本節(jié)從兩個(gè)方面分析這種影響.

5.1 斯格明子晶格的內(nèi)稟彈性場(chǎng)及表面形貌

5.1.1 斯格明子晶格的內(nèi)稟彈性場(chǎng)

在4.1節(jié)我們發(fā)現(xiàn)材料的磁彈耦合效應(yīng)使其在不受任何外力的情況下仍然會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變.由于斯格明子晶格相的極化隨空間周期分布,產(chǎn)生的應(yīng)變包含一部分均勻的磁致伸縮應(yīng)變,和一部分周期變化的應(yīng)變[81].后者對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨空間周期變化的本征應(yīng)變問(wèn)題[82],其解析解由Hu和Wang[63]給出.由該解析解可知斯格明子晶格相對(duì)應(yīng)于一個(gè)非平凡的周期應(yīng)力,因此在任意自由表面無(wú)法滿足其自由邊界條件.非平凡的周期應(yīng)力在自由表面的釋放導(dǎo)致材料表面產(chǎn)生一個(gè)周期位移,由此形成凹凸不平的表面形貌.Wan等[64]求解了這一問(wèn)題的解析解.本小節(jié)我們簡(jiǎn)要介紹這兩個(gè)問(wèn)題的求解思路.

將本構(gòu)方程(19)代入到平衡方程中,同時(shí)代入小變形假設(shè)下的幾何方程,則有

這里,Xi(i=1,2,3)可看作由本征應(yīng)變引起的體力.

假設(shè)磁極化m(r)及位移u(r)為空間周期函數(shù),表示為

當(dāng)系統(tǒng)不受外部力學(xué)載荷時(shí),Uq可通過(guò)求解手征磁體的本征應(yīng)變問(wèn)題得到

Xq由求得.

當(dāng)系統(tǒng)的磁極化狀態(tài)確定時(shí),其彈性場(chǎng)由方程(46)完全確定.SkX或任意一種層展晶態(tài)的磁極化可表示成如方程(14)所示的一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù),對(duì)于每一個(gè)特定的波矢q,可運(yùn)用方程(43)—(47)給出的方法求出Uq,從而最終解出對(duì)應(yīng)的周期位移解.由位移解u(r)可求出總應(yīng)變?chǔ)舏j(r),從而確定彈性應(yīng)變并最終通過(guò)方程(19)求出周期應(yīng)力解.由方程(20),(21),(44)可知本征應(yīng)變引起的體力X是磁極化m的非線性函數(shù),因此位移解u(r)和應(yīng)力解包含m的高階項(xiàng).Hu與Wang[63]采取“3Q”近似描述斯格明子晶格[12],求解了相應(yīng)的本征位移場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng),發(fā)現(xiàn)后兩者均由三個(gè)“3Q”周期場(chǎng)構(gòu)成,波矢模長(zhǎng)分別為q,以及2q,其中q為極化“3Q”波矢的模長(zhǎng).

可以證明[63],SkX的本征位移解和應(yīng)力解與其磁極化分布具有相同的晶格矢量及周期.對(duì)于手征磁體,該周期由DM相互作用及交換能密度決定,而與底層原子晶格的周期無(wú)關(guān),這直接證明處于磁性斯格明子晶格相的材料發(fā)生了公度-非公度相變.

周期彈性場(chǎng)為平衡磁極化的函數(shù),因此會(huì)隨著溫度和磁場(chǎng)變化.溫度從0 K升高到臨界溫度時(shí),磁極化強(qiáng)度逐漸減小到零,“3Q”結(jié)構(gòu)中的矢量也會(huì)慢慢減小,但其結(jié)構(gòu)形貌幾乎不發(fā)生變化.另一方面,本征位移場(chǎng)(如圖5(a)—(d)所示)與應(yīng)力場(chǎng)對(duì)外加磁場(chǎng)的變化很敏感.這種變化是由于波矢模長(zhǎng)為q的“3Q”本征位移場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)隨著磁場(chǎng)的增加會(huì)發(fā)生“構(gòu)型翻轉(zhuǎn)”.

5.1.2 斯格明子晶格的表面構(gòu)型

我們?cè)?.1.1小節(jié)求解了體材料在斯格明子晶格相時(shí)的本征彈性場(chǎng),沒(méi)有考慮表面邊界條件的作用.本小節(jié)我們考慮表面自由邊界條件的影響,研究半無(wú)限大立方螺旋磁體的彈性問(wèn)題.

對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定在斯格明子晶格相的半無(wú)限大材料,為了滿足應(yīng)力自由邊界條件,必須在表面施加與斯格明子引起的本征應(yīng)力等大反向的面力:

圖5(e)—(h)分別表示4 K條件下0.1,0.2,0.3,0.4 T時(shí)總的法向位移場(chǎng).如圖所示,斯格明子晶格的表面構(gòu)型由具有周期排列的鼓包與谷地構(gòu)成.與本征彈性場(chǎng)類似,此表面構(gòu)型隨外磁場(chǎng)的變化非常敏感.

當(dāng)材料中存在電流場(chǎng)[21,83]或溫度梯度場(chǎng)[84]時(shí),斯格明子會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng).對(duì)于以速度v運(yùn)動(dòng)的斯格明子,描述其磁極化需引入平移變換r→r?vt,則有m=m(r?vt).相應(yīng)地,本征彈性場(chǎng)的解以及表面構(gòu)型的解也應(yīng)將r變?yōu)閞?vt.因此,本征彈性場(chǎng)以及表面位移場(chǎng)隨著斯格明子一起運(yùn)動(dòng).如4.2節(jié)所述,當(dāng)材料受到力學(xué)荷載時(shí),SkX會(huì)產(chǎn)生層展變形.變形SkX的波矢可表達(dá)為層展應(yīng)變的函數(shù).此時(shí),波矢的變化直接影響本征彈性場(chǎng)以及表面位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)的波矢.也就是說(shuō),它們隨SkX的變形而變形.從材料力學(xué)性質(zhì)的角度考慮,這說(shuō)明斯格明子的出現(xiàn)賦予了材料新的力學(xué)性質(zhì).反過(guò)來(lái)從斯格明子的角度考慮,材料內(nèi)稟的磁彈耦合賦予斯格明子這種磁性拓?fù)淞Ｗ印傲W(xué)性質(zhì)”.更廣泛地說(shuō),擁有更豐富多場(chǎng)耦合性質(zhì)的材料內(nèi)部產(chǎn)生的斯格明子將具備更多樣的物理性質(zhì).類似的例子是多重鐵性材料中發(fā)現(xiàn)的周期分布的電極化場(chǎng)構(gòu)型[85].

圖5 (a)—(d)MnSi體材料內(nèi)Sk X對(duì)應(yīng)的內(nèi)稟周期位移場(chǎng)隨磁場(chǎng)的變化圖[63],計(jì)算溫度4 K,磁場(chǎng)(a)0.1 T,(b)0.2 T,(c)0.3 T,(d)0.4 T;(e)—(h)MnSi處于斯格明子晶格相時(shí)的表面構(gòu)型隨磁場(chǎng)的變化[64],計(jì)算條件與(a)—(d)一一對(duì)應(yīng)相同F(xiàn)ig.5.(a)–(d)Intrinsic periodic displacement fields corresponding to SkXin bulk MnSi in different magnetic field[63],the calculation temperature is 4 K,the magnetic field is(a)0.1 T,(b)0.2 T,(c)0.3 T,(d)0.4 T;(e)–(h)surface configurations of MnSi hosting skyrmion lattice phase in different magnetic field[64],the calculation conditions are the same as(a)–(d).

5.2 手征磁體材料彈性系數(shù)隨磁場(chǎng)的變化

SkX對(duì)材料力學(xué)性質(zhì)的影響還體現(xiàn)在材料彈性系數(shù)在圓錐-斯格明子晶格相變以及斯格明子晶格-圓錐相變的過(guò)程中會(huì)發(fā)生跳躍,且各個(gè)系數(shù)的變化規(guī)律各異.Hu與Wang[71]基于2,3節(jié)的熱力學(xué)框架構(gòu)建了這一問(wèn)題的分析方法,下面簡(jiǎn)述其思路.

根據(jù)熱力學(xué)理論[86],方程(10)給出了系統(tǒng)的Helmholtz自由能密度,可由此對(duì)應(yīng)變求二階偏導(dǎo)得出材料在給定磁極化以及溫度下的彈性系數(shù):其中矢量ε與方程(26)形式相同.然而實(shí)際測(cè)量材料彈性常數(shù)的環(huán)境卻是在給定外磁場(chǎng)以及溫度的條件下進(jìn)行的.因此我們需要使用雅各比變換的方法[87]通過(guò)Helmholtz自由能密度求得給定溫度、磁場(chǎng)下的彈性系數(shù).具體求解方法如下.

假設(shè)在約化溫度t以及約化磁場(chǎng)作用下,材料的平衡態(tài)是斯格明子晶格相.則磁極化可用n階傅里葉表述寫為其中m03的熱力學(xué)共軛變量為b3,而的熱力學(xué)共軛變量為給定溫度、磁場(chǎng)下的彈性常數(shù)可以推導(dǎo)為

此表達(dá)式的復(fù)雜性隨著傅里葉表述階數(shù)n的增大而急劇升高.對(duì)于最簡(jiǎn)單的“3Q”表述,我們有m=mtripleQ(m0,mq1,q),此時(shí)上式簡(jiǎn)化為

圖6給出了上述理論計(jì)算的MnSi各個(gè)彈性常數(shù)隨磁場(chǎng)的變化曲線[71]以及對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.可以看到所有參數(shù)的理論預(yù)報(bào)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量定量符合.

圖6 MnSi彈性常數(shù)隨磁場(chǎng)變化的實(shí)驗(yàn)與理論[71]結(jié)果對(duì)比 (a)實(shí)驗(yàn)測(cè)得C11與C33隨磁場(chǎng)變化曲線[39];(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)得C44與C66的變化量隨磁場(chǎng)變化曲線[66];(d)—(f)理論計(jì)算的所有彈性常數(shù)變化量隨磁場(chǎng)的變化曲線Fig.6.Comparison of experimental and theoretical results[71]of the MnSi elastic coefficients varying with magnetic field:(a)Experimental measurement of C11 and C33 as a function of magnetic field[39];(b)experimental measurement of C 11 and C33 as a function of magnetic field[66];(d)–(f)theoretical calculation of elastic coefficients as a function of magnetic field.

6 展 望

綜上所述,對(duì)于磁性SkX的磁彈現(xiàn)象及其機(jī)理的研究在近年來(lái)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展,并越來(lái)越受到關(guān)注.然而,現(xiàn)階段這一領(lǐng)域的研究大多數(shù)有以下三個(gè)局限性:1)研究對(duì)象局限于簡(jiǎn)單的磁性斯格明子晶格;2)外力荷載局限于單軸拉伸;3)研究問(wèn)題局限于靜態(tài)問(wèn)題.我們認(rèn)為對(duì)這三個(gè)局限的打破對(duì)應(yīng)于此新興領(lǐng)域的三個(gè)發(fā)展方向.

首先是研究對(duì)象的拓寬.一方面,導(dǎo)致斯格明子等手性自旋層展結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的DM相互作用不僅可以來(lái)源于體材料內(nèi)稟的中心對(duì)稱破缺,也可以來(lái)源于表面引起的中心對(duì)稱破缺.實(shí)際上,表面或界面導(dǎo)致的手性相互作用為新型手性層展結(jié)構(gòu)的探索打開(kāi)了一扇新的大門.薄膜與多層結(jié)構(gòu)中陸續(xù)發(fā)現(xiàn)大量新穎的層展自旋結(jié)構(gòu)以及現(xiàn)象,讀者可參考相關(guān)綜述深入了解[32,88?91].另一方面,磁性斯格明子并不一定只能出現(xiàn)在鐵磁材料中.近期人們成功地在反鐵磁體[92?95]和亞鐵磁體[96,97]中觀測(cè)到斯格明子的存在,且相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)與鐵磁材料中的斯格明子存在顯著差異.這些新型手性自旋結(jié)構(gòu)是否存在與斯格明子類似的磁彈耦合現(xiàn)象以及是否能夠通過(guò)施加外力進(jìn)行調(diào)控,是亟待研究的問(wèn)題.

其次是荷載形式的多樣化.一種方式是施加造成非均勻應(yīng)力場(chǎng)的荷載形式,例如考慮彎曲變形對(duì)斯格明子晶格的影響,又如考慮柱體扭轉(zhuǎn)這種具有手性的變形形式對(duì)材料內(nèi)部斯格明子晶格的影響.另一種方式是考慮材料內(nèi)部缺陷或微結(jié)構(gòu)引起的局域彈性場(chǎng)對(duì)斯格明子及其晶格的影響.對(duì)此,實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)知道材料內(nèi)部的缺陷不但會(huì)使運(yùn)動(dòng)中的斯格明子發(fā)生“釘扎”現(xiàn)象[98],更可能產(chǎn)生新的自旋準(zhǔn)粒子構(gòu)型[99]乃至層展“磁單極”[100].固體力學(xué)廣為人知的一個(gè)結(jié)論是:遠(yuǎn)場(chǎng)作用下,缺陷周圍必然出現(xiàn)奇異且迅速衰減的應(yīng)力場(chǎng).因此,斯格明子及其晶格與缺陷的相互作用有可能以局域化的應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)為媒介,其中物理機(jī)制的明晰對(duì)實(shí)際材料中斯格明子及其晶格的性能調(diào)控非常重要.

最后是動(dòng)力學(xué)相關(guān)問(wèn)題的研究,此方面問(wèn)題的探究也分為兩個(gè)層次.一是力學(xué)荷載作用下斯格明子及其晶格在電流或溫度梯度等外場(chǎng)作用下的動(dòng)力學(xué)行為.上文已經(jīng)提到,外力作用為材料引入附加的各向異性,從而必然導(dǎo)致斯格明子動(dòng)力學(xué)性質(zhì)乃至運(yùn)動(dòng)軌跡的各向異性.基于簡(jiǎn)化的磁彈耦合泛函,Li等[60]在此方面進(jìn)行了初步理論研究.為考慮更復(fù)雜的荷載形式以及獲得更準(zhǔn)確的定量結(jié)論,有必要基于本文綜述的磁彈耦合泛函進(jìn)行深入探討.二是從根本上明晰斯格明子與聲子等元激發(fā)的動(dòng)態(tài)耦合,探究基于彈性波或聲子振動(dòng)驅(qū)動(dòng)斯格明子及其晶格的可能性.在這方面,Ogawa等[101]在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)激光脈沖驅(qū)動(dòng)磁泡運(yùn)動(dòng)時(shí)是通過(guò)耦合的聲子與自旋波——稱作磁彈耦合波——實(shí)現(xiàn)的.Ivanov等[69]解釋中子散射實(shí)驗(yàn)與第一性原理計(jì)算,證實(shí)FeSi中出現(xiàn)的非共線磁性相導(dǎo)致材料聲子的重整化.Nepal等[102]在理論上發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)反向傳播的表面波驅(qū)動(dòng)斯格明子.整體上說(shuō)此方向的研究方興未艾,而這些現(xiàn)有的工作為我們進(jìn)一步探索提供了一定思路.