問渠那得清如許，為有源頭活水來
——《等差數(shù)列(第1課時)》教學(xué)設(shè)計

浙江 孔彭豐

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)5》(人教A版)第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第1課時．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且有承前啟后的作用．在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念、得到數(shù)列的兩種方法(通項公式和遞推公式)后，學(xué)習(xí)等差數(shù)列是對數(shù)列有關(guān)知識的應(yīng)用，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)列；同時，通過學(xué)習(xí)和研究等差數(shù)列，也為接下來通過“類比”方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列打好基礎(chǔ).等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生們在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系.

【教學(xué)目標】

1．知識目標：理解等差數(shù)列定義，掌握等差數(shù)列的通項公式及應(yīng)用．

2．能力目標：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力；通過概念的引入與通項公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強運用公式解決實際問題的能力．

3．情感目標:通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯(lián)系實際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

【教學(xué)重點】

1.等差數(shù)列的概念；

2.等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用．

【教學(xué)難點】

1.理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；

2.等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程．

【學(xué)情分析】

本節(jié)課上課的是同濟中學(xué)高一的學(xué)生，經(jīng)歷了半個學(xué)期的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，部分學(xué)生的知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的發(fā)展已到了形式運算階段，具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力，但同時部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以筆者在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討，以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點為目標，從而促進思維能力的進一步發(fā)展．

【設(shè)計思路】

本課主要安排三個篇章.

第一篇：數(shù)學(xué)是自然的.通過明代數(shù)學(xué)家程大位的一首詩《竹簡容米》，拋給學(xué)生一個問題，引起學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生興趣.同時引入一些具體生活中數(shù)字的例子，通過一般對于實數(shù)的研究方法(加、減、乘、除；能被2,3,5整除等性質(zhì))的引入來分析上述給出數(shù)據(jù)的一般關(guān)系，通過小組討論的方式，把具體的生活問題用數(shù)學(xué)符號語言抽象出來，從而得到等差數(shù)列的定義.

第二篇:數(shù)學(xué)是嚴謹?shù)?通過研究數(shù)列的一般方法，即研究項與項之間的關(guān)系，利用合情推理及數(shù)學(xué)符號語言得到等差數(shù)列的通項公式.美國數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“合情推理是暫時的、有爭議的和冒險的”.告知學(xué)生數(shù)學(xué)是嚴謹?shù)?通過小組合作討論的方法，用數(shù)學(xué)符號語言把數(shù)學(xué)抽象出來，從而推出累加法.

第三篇：數(shù)學(xué)是有用的.得到等差數(shù)列的定義及通項公式，就是對等差數(shù)列的識別和通項公式的應(yīng)用.前后呼應(yīng)，這個時候解決一開始拋出的程大位的題目《竹簡容米》，研究出每層竹筒米的容量.然后是對知三求一方法的練習(xí).通過小組合作的方式來完成例題解答.

最后,對于本課進行小結(jié).

1．教法

①誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對知識進行主動建構(gòu)；有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性．

②分組討論法：有利于學(xué)生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學(xué)生的積極性．

③講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難點．

2．學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從幾個現(xiàn)實問題概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，用數(shù)學(xué)符號語言推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學(xué)使用多元的推導(dǎo)思維方法．用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導(dǎo)．

在引導(dǎo)分析時，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心，各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清．

【教學(xué)過程】

第一篇：數(shù)學(xué)是自然的

一、引入：創(chuàng)設(shè)情境、提出問題

明代數(shù)學(xué)家、商人程大位在《算法統(tǒng)宗》有一道題目：

《竹簡容米》

家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平；

下頭三節(jié)三升九，上梢四節(jié)貯三升.

惟有中間二節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛；

若是先生能算法，教君算得到天明.

師翻譯：有一桿空心的毛竹一共九節(jié)，每節(jié)能容納米的量是不一樣的.下面三節(jié)一共能容納米3.9 L，上面四節(jié)一共能容納米3 L，中間有兩節(jié)竹.竹竿內(nèi)米的容量是均勻增加的.請問先生，能算出中間兩節(jié)竹子各盛米多少嗎？

生：(沉默)

師：有困難，我們先放一放.

二、觀察歸納、形成定義

師：在自然界、生活中，我們會經(jīng)常遇到一些與“有規(guī)律的數(shù)字”有關(guān)的問題！

譬如上節(jié)課提到的斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,…；

哈雷彗星近三百年內(nèi)經(jīng)過地球的時間：1682，1758，1834，1910，1986，…;

從地面到10 km的高空，氣溫隨著高度增加的變化情況：

高度(km)12345678溫度(℃)2821.5158.52………

2000年，在澳大利亞悉尼奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目.該項目設(shè)置了7個級別，較輕的4個級別體重組成數(shù)列(單位：kg)：48,53,58,63.

師：在初中階段我們學(xué)習(xí)了實數(shù)，研究了它的一些運算和性質(zhì)(加、減、乘、除、質(zhì)因數(shù)分解等)，現(xiàn)在，我們能不能用研究實數(shù)的方法來研究這些數(shù)呢？下面請同學(xué)們小組合作討論，這些“特殊的有規(guī)律的數(shù)字”滿足什么關(guān)系！

生1：有滿足Fn=Fn-1+Fn-2關(guān)系的，有滿足前面一項減去后面一項為同一個數(shù)關(guān)系的.

生2: 有滿足后面一項減去前面一項為同一個數(shù)的.

師：很好，但是到底是前項減后項好，還是后項減前項好呢？不妨來思考下48-53=53-58=58-63=63-？，那么63減誰呢？所以滿足前項減去后項為同一個數(shù)，這樣會導(dǎo)致最后一項無人可以減了.所以我們說后項減去前項比較好，那么，我們要注意什么？

生：從第二項開始！

師：非常好！即：從第二項起，每一項與前一項的差為同一個常數(shù)，我們稱該數(shù)列為等差數(shù)列；這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

設(shè)計意圖：開門提問，通過引用明代數(shù)學(xué)家程大位的《竹簡容米》設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時也反映了中國古代人民的智慧.接下來從具體的實例引入,實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,目的是讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型．通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究知識的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．

第二篇：數(shù)學(xué)是嚴謹?shù)?/p>

師：我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)符號來描述等差數(shù)列呢？

生3：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d;……

生4：an-an-1=d，n∈N*.

生5：還是不對，應(yīng)該為an-an-1=d,n≥2,n∈N*.

師：有沒有想過，為什么要n≥2？

生6：因為有an-an-1=d；而an-1中，如果n=1，那就會出現(xiàn)a0，故要從第二項開始.

生7：能不能寫成an+1-an=d,n∈N*呢？

師：很好，這個式子符合等差數(shù)列的定義，那這里需要n≥2嗎？

生齊答：不需要.

師:所以我們也可以用an+1-an=d，n∈N*表示等差數(shù)列的定義.

設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量材料的觀察、分析，提煉出材料的本質(zhì)屬性,使學(xué)生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點；一開始抓住“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達.

三、舉一反三、理解定義

師：接下來我們分小組合作來練習(xí)以下題目，判斷是否為等差數(shù)列并說明原因.

A.1,3,5,7,9,2,4,6,8,10； B.5，5，5，5，5，5，…；

C.a,3a,5a,7a,9a,…； D.1，2，4，6，8，10，…；

E.4，5，6，7，8，9，…； F.3，0，-3，-6，…；

G.40，50，60，70，80，90，100； H.40，40，40，40，40，40.

生合作1組：A,D

不是，因為不滿足定義.

生合作2組：B,E,F,G,H

是，d=0；d=1；d=-3；d=10；d=0.

生合作3組：C

是的，d=2a.

師：各組同學(xué)都非常棒！請同學(xué)們小組觀察并小結(jié)：

探究1：等差數(shù)列的公差與等差數(shù)列單調(diào)性的關(guān)系？

1.哪些數(shù)列d>0：E,G；d=0：B,H；d<0：F.

哪些數(shù)列無法判斷d的符號？ C.

2.單調(diào)性如何？增：(d>0)：E,G；不變：(d=0)：B,H；減(d<0)：F.

3.C組數(shù)列的單調(diào)性如何判斷？

d>0，等差數(shù)列單調(diào)遞增；d=0，等差數(shù)列為常數(shù)列；d<0，等差數(shù)列單調(diào)遞減.

探究2：項數(shù)最少的等差數(shù)列需要幾項？

分解問題：1.兩項？譬如：1，2；答：不可以.

2.三項？譬如：1,2,3；答：可以.因為2-1=3-2=1 滿足等差數(shù)列的定義.

3.若a,A,b三項滿足等差數(shù)列，應(yīng)該滿足什么條件.

四、定義應(yīng)用、導(dǎo)出通項

師：好，接下來請同學(xué)們探求等差數(shù)列的通項公式；分小組討論，請各小組派代表上來展示.

生8：由等差數(shù)列的定義a1=a1；a2=a1+d；……，通過歸納，不難發(fā)現(xiàn)an=a1+(n-1)d.

師：很好，通過觀察、總結(jié)得到：an=a1+(n-1)d；我們把這種通過觀察、總結(jié)的方法叫作合情推理.但是美國的數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“合情推理是冒險的、暫時的、有爭議的！”同學(xué)們能否用一個嚴格的數(shù)學(xué)方法證明呢？

生9：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d;…an-an-1=d，

把他們加起來，得到an-a1=(n-1)d；于是得到an=a1+(n-1)d.

師:非常好！我們把這種方法叫作累加法.當(dāng)n=1時，滿足：an=a1+(n-1)d,n∈N*.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力．學(xué)生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學(xué)生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識．鼓勵學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運算能力．

第三篇：數(shù)學(xué)是有用的

五、理解通項、簡單應(yīng)用

師：通過計算，我們得到了等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d,n∈N*，

請看課前我們的問題，可以設(shè)九節(jié)竹的第一節(jié)為a1；第二節(jié)為a2；……；第九節(jié)為a9，接下來請小組合作求中間兩節(jié)竹的容量.

師：問題1：請將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言.

生10：a1+a2+a3+a4=3 L；a7+a8+a9=3.9 L.

師：問題2：能否利用所學(xué)知識將這些數(shù)字關(guān)系找出來？

生11：a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=3 L；(a1+6d)+(a1+7d)+(a1+8d)=3.9 L,

解得a1=0.6 L,d=0.1 L,則a5=1 L，a6=1.1 L.

師：經(jīng)過同學(xué)們的努力，我們終于解決了這個“先生”都難算的題目！

請同學(xué)們回顧一下：我們把所有數(shù)列中的項都用a1和d表示出來，兩個未知數(shù)，兩個方程，利用方程組的思想，把題目解決了.那么對于an=a1+(n-1)d,n∈N*這個通項，我們是不是可以利用解方程組將an,a1和n,d四項知三求一呢？接下來請同學(xué)們分小組做以下題目.

例1：(1)求等差數(shù)列8，5，2，…，的第20項.(求an)

(2)等差數(shù)列-5，-9，-13，…，的第幾項是-401.(求n)

例2：在等差數(shù)列中,已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.

設(shè)計意圖：主要是熟悉公式,使學(xué)生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系．初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題．

六、課后小結(jié)、鞏固知識

1.試用兩種數(shù)學(xué)語言(文字語言、符號語言)來表述一下等差數(shù)列的概念：

①如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等差數(shù)列.②如果數(shù)列{an}，滿足an-an-1=d,n≥2,n∈N*，則數(shù)列{an}叫作以d為公差的等差數(shù)列.

2.首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d,n∈N*，在an,a1和n,d這四個量中可“知三求一”，體現(xiàn)方程思想；

3.等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法——歸納法(由特殊到一般)和累加法，也是我們今后已知數(shù)列的遞推式求通項公式的常用方法.

【設(shè)計反思】

1．從數(shù)學(xué)文化角度分析：中國數(shù)學(xué)文化歷史悠久，中國前人對世界數(shù)學(xué)貢獻巨大！本設(shè)計從中國古代數(shù)學(xué)家的一首詩導(dǎo)入，其新穎性有助于學(xué)生認識中國古代的數(shù)學(xué)研究，從而發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感；同時讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)在具體的生產(chǎn)生活過程中的巨大作用，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是自然的！

2．從數(shù)學(xué)課程背景分析：本課按照章建躍老師在人教A版教材中對于數(shù)學(xué)的認識進行設(shè)計，著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)是自然的、嚴謹?shù)?、有用的這三個特征，幫助學(xué)生認識數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，為進一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)！

3．從數(shù)學(xué)思想方法角度分析：本課的各環(huán)節(jié)設(shè)計環(huán)環(huán)相扣、簡潔明了、重點突出；引導(dǎo)分析細致、到位、適度；概念形成的素材合理；此外，加強了對于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，例如本課中用方程思想、化歸思想指導(dǎo)等差數(shù)列基本量的運算，學(xué)生在經(jīng)歷過程中，加深了對概念的理解和鞏固.

4．從教學(xué)過程能力培養(yǎng)分析：在探索的過程中，學(xué)生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

5．從教學(xué)方法角度分析：本節(jié)課體現(xiàn)了課堂教學(xué)從“灌輸式”到“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式”的轉(zhuǎn)變，以教師提出問題、學(xué)生探討、解決問題為途徑，以相互補充展開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的知識體系，讓學(xué)生“動”起來，小組合作討論，實現(xiàn)“生動課堂”為目的，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學(xué)效率．