注重數(shù)據(jù)處理分析 決勝考題能力培養(yǎng)
——解讀2018年概率與統(tǒng)計部分的考試大綱

廣東 顏堅真

2018年高考數(shù)學考試大綱已公布，與2017年數(shù)學考試大綱相比，2018年高考數(shù)學考試大綱在考核目標、考試范圍與要求等方面都沒有變動.無論是知識內(nèi)容及其要求的三個層次(了解、理解、掌握)，還是能力(空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識)要求、個性品質(zhì)要求和考查要求都沒有變化.這說明2018年高考數(shù)學學科的命題仍然保持相對的穩(wěn)定.下面對2018年考綱在概率與統(tǒng)計部分進行綜合解讀.

一、考綱解讀

概率與統(tǒng)計作為高考的必考內(nèi)容，在2018年的高考中預(yù)計仍會以“一小一大”的格局呈現(xiàn). 對于概率部分，選擇題或填空題中概率求值是高考命題的熱點，以古典概型或幾何概型為主，考查隨機事件的概率；解答題中則常與統(tǒng)計知識相結(jié)合，考查離散型隨機變量的分布列與期望，需注意知識的靈活運用.對于統(tǒng)計部分，選擇題、填空題中以考查抽樣方法和用樣本估計總體為主，兼顧兩個變量的線性相關(guān)；解答題中則重點考查求回歸直線方程及獨立性檢驗.本部分著重考查學生數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識，所以，在備考策略上，概率與統(tǒng)計的解答題，應(yīng)該先設(shè)事件，然后寫出使用公式的理由，當然要注意步驟的多少決定解答的詳略，注重看懂圖表中的數(shù)據(jù)，并會處理分析，培養(yǎng)學生的審題能力.

二、真題呈現(xiàn)

(2017·全國卷Ⅰ理·19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．

(Ⅰ)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望；

(Ⅱ)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．

(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

三、考題特點

1.數(shù)學語言豐富，閱讀量大，共計19行文字(官方發(fā)布的試卷來統(tǒng)計).

2.考查知識全面：既有概率又有統(tǒng)計，既有數(shù)據(jù)又有分布.

(1)正態(tài)分布及其概率求法;

(2)二項分布的判定及其數(shù)學期望的求法;

(3)正態(tài)分布的3σ原則;

(4)數(shù)據(jù)平均數(shù)與方差的計算公式;

(5)數(shù)據(jù)的剔除;

(6)參數(shù)的處理.

四、考情分析

1.考生的心態(tài)分析

(1)心里一涼;

(2)閱讀緊張;

(3)回讀頻繁.

2.考生的知識儲備分析

(1)數(shù)據(jù)平均數(shù)與方差的計算公式?jīng)]有問題;

(2)正態(tài)分布的簡單應(yīng)用沒有問題;

(3)正態(tài)分布的3σ原則理解與應(yīng)用有問題;

(4)附加參考公式和參考數(shù)據(jù)的應(yīng)用有問題.

3.考生能力分析

(1)閱讀能力不足;

(2)計算能力差;

(3)數(shù)據(jù)處理能力欠缺.

五、尋根溯源

源頭一:考試大綱

《2017年全國統(tǒng)一考試大綱的說明》關(guān)于概率統(tǒng)計在生產(chǎn)生活中的闡述：

在工業(yè)生產(chǎn)中，零件產(chǎn)品質(zhì)量的監(jiān)控和管理是極為重要的環(huán)節(jié)，運用合理的方法抽檢零件產(chǎn)品的質(zhì)量指標，進而分析和處理質(zhì)量指標數(shù)據(jù)以達到了解零件產(chǎn)品質(zhì)量狀況以及監(jiān)控生產(chǎn)過程之目的，這其中需要大量運用統(tǒng)計與概率的知識和方法.利用正態(tài)分布擬合零件產(chǎn)品質(zhì)量指標繼而進行更加深入的分析也是常用的方法.本題以零件產(chǎn)品質(zhì)量指標數(shù)據(jù)為背景，設(shè)計概率與統(tǒng)計、正態(tài)分布問題.這不僅對提高考生進一步學習統(tǒng)計與概率知識的興趣能起著積極作用，也讓考生體會到正態(tài)分布就在我們身邊.試題考查的統(tǒng)計與概率知識較豐富，符合考試大綱的要求.

源頭二：歷年真題

(2014·全國卷Ⅰ理·18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8

(ⅱ)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用(ⅰ)的結(jié)果，求EX.

若Z～N(μ,σ2)，則P(μ-σ

源頭三：教材背景

1.教材必修三(北師大第68頁)章節(jié)小結(jié)對統(tǒng)計學習的闡述： 統(tǒng)計的學習，本質(zhì)上是統(tǒng)計活動的學習，而不是概念和公式的學習，要特別注重統(tǒng)計的過程，即經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)——整理數(shù)據(jù)——分析數(shù)據(jù)——作出推斷”的全過程.統(tǒng)計學習的要點是“做”而不是記憶和運算……感受統(tǒng)計的意義和價值，發(fā)展初步的統(tǒng)計觀念，培養(yǎng)統(tǒng)計意識……在統(tǒng)計活動中真正理解統(tǒng)計對決策的作用.

教材必修三(人教版第79頁)“閱讀與思考”對生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖的論述：在現(xiàn)實生活中，有一些總體(如某地區(qū)同齡兒童的身高、體重等)的分布的密度曲線是由它的平均值μ與標準差σ完全確定的(圖1～圖3)，我們把這種分布記作N(μ,σ2)，稱為平均數(shù)為μ，方差為σ2的正態(tài)分布.

圖1 圖2 圖3

從密度曲線圖可以測量出這個總體在(μ-σ,μ+σ)，(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)等區(qū)間內(nèi)取值的百分比是：

區(qū)間取值的百分比(μ-σ,μ+σ)68.3%(μ-2σ,μ+2σ)95.4%(μ-3σ,μ+3σ)99.7%

2.本題的第Ⅱ問(ⅰ)的回答可以用人教版必修三第 80頁的原話回答：

上述總體分布在產(chǎn)品質(zhì)量控制中的應(yīng)用是非常廣泛的.例如，工人生產(chǎn)零件時，零件尺寸一般服從N(μ,σ2)分布.這樣，零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的只有0.3%，它表明在大量重復(fù)試驗中，平均每抽取1 000個零件，屬于這個范圍以外的尺寸大約有3個.因此在一批產(chǎn)品中隨機抽取一個零件，零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外是幾乎不可能發(fā)生的.一旦這種情況發(fā)生，即零件尺寸x滿足 |x-μ|≥3σ，我們就有理由認為生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況.比如，可能原料、機器出了問題，或工藝規(guī)程不完善，或工人操作時精力不集中等.這種情況下，需要停機檢查，找出原因，使生產(chǎn)過程重新控制在一種正常狀態(tài)，從而避免繼續(xù)生產(chǎn)更多的次品，以保證產(chǎn)品質(zhì)量.

3.本題的第Ⅱ問(ⅰ)的回答也可以用北師大版選修2-3第 65頁的原話回答：

從上面的結(jié)論中可以看到，隨機變量服從正態(tài)分布，則它在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有4.6%，而在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%，由于這些概率值很小，通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說，通常認為這些情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.

六、審題解答

【解析】(Ⅰ)由題可知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.997 4，則落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率為0.002 6.

所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.

由題可知X～B(16,0.002 6),

由二項分布的性質(zhì)，得E(X)=16×0.002 6=0.041 6.

(Ⅱ)(ⅰ)尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.002 6 ，由正態(tài)分布知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外為小概率事件，因此，上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.

≈0.09.

七、考題預(yù)測

1.近六年的概率與統(tǒng)計考題分析

年份201220132014201520162017題號第18題第19題第18題第19題第19題第19題題型概率概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率問題分布列、期望、方差概率、分布列、期望、方差均值、方差、正態(tài)分布擬合回歸方程分布列、最值正態(tài)分布概率、期望均值、方差創(chuàng)新點選擇理由檢驗標準正態(tài)分布回歸選擇選擇理由合理剔除

2.2018年考題考點預(yù)測

按照近六年的概率統(tǒng)計考題的考點分布情況，對2018年考題考點預(yù)測為：考查統(tǒng)計中對數(shù)據(jù)處理分析的可能性大，但不像2017年作為壓軸題型出現(xiàn)，難度有所降低.

八、備考建議

通過以上對2018年考綱的解讀及2017年真題的分析，提出2018年高考理科數(shù)學在概率與統(tǒng)計部分的三點備考建議：

1.考綱對基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求是對能力要求的強調(diào)，因此，可以說加強從教材習題出發(fā)，兼顧綜合，體現(xiàn)應(yīng)用，進行微創(chuàng)新是2018年高考命題的基本方向.

2.應(yīng)用意識體現(xiàn)在數(shù)學的應(yīng)用功能，在概率與統(tǒng)計知識背景下命制應(yīng)用性試題，備考時應(yīng)重點關(guān)注.

3.2017年高考試題中，出現(xiàn)一些立意新、情境新、設(shè)問新的試題.此類試題新穎、靈活，難度不大，廣泛而又有科學尺度，考查考生的數(shù)學創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，把此類題稱為創(chuàng)新試題.在概率與統(tǒng)計部分，要注意它的創(chuàng)新性，注重對數(shù)據(jù)處理分析、附加參考公式的應(yīng)用和參考數(shù)據(jù)的使用等.

在這些備考建議中，培養(yǎng)考生相應(yīng)的能力就是備考的要求.

(1)閱讀理解能力：訓(xùn)練在課堂;

(2)臨場心態(tài)能力：訓(xùn)練在月考;

(3)數(shù)據(jù)處理能力：訓(xùn)練在練習;

(4)創(chuàng)新應(yīng)用能力：訓(xùn)練在課外;

(5)先易后難答卷意識：訓(xùn)練在考卷;