邏輯推理試題探析

廣東 溫伙其

邏輯推理，是最新一輪課改六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一. 縱觀人教A版高中數(shù)學(xué)教材，邏輯推理在各個(gè)章節(jié)的教學(xué)過程中無處不在，并且在選修2-2第2章《推理與證明》中進(jìn)行了詳細(xì)介紹.回顧全國(guó)卷，從2014年開始，每年都出現(xiàn)考查邏輯推理問題的試題. 本文從教材對(duì)邏輯推理的分類及其特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合近年高考試題，探究邏輯推理問題的解題策略，并對(duì)2018年可能考查的方向做了預(yù)測(cè)，供各位讀者參考.

一、教材溯源

人教A版教材選修2-2第2章《推理與證明》中詳細(xì)介紹了以下概念：

推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程.

歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理.它的特點(diǎn)為由部分到整體、由個(gè)別到一般.

類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理. 它的特點(diǎn)為由特殊到特殊.

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理.

演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論. 它的特點(diǎn)為由一般到特殊.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括:(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情況；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.

二、考題追蹤

近年來，不論全國(guó)考卷還是各地考卷，都逐步出現(xiàn)考查邏輯推理的試題，并且有越來越重視的趨勢(shì).

【例1】(2017·全國(guó)卷Ⅱ理·7)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī).老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則

( )

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

答案：D

【例2】(2016·全國(guó)卷Ⅱ理·15)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3，甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是__________.

答案：1和3

【例3】(2014·全國(guó)卷Ⅰ理·14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為__________.

答案：A

三、解題策略探究

1.數(shù)、式、圖的歸納推理

解決此類邏輯推理問題，需要細(xì)心觀察，尋找相鄰項(xiàng)與項(xiàng)和序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推關(guān)系式、平方數(shù)、立方數(shù)、(10)n-1數(shù)、2n數(shù)、(-1)n符號(hào)法則、周期等；圖形的歸納推理包含數(shù)量問題、三視圖、二次曲線圖形、空間幾何體等，推理時(shí)一般把圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)或式，關(guān)鍵抓住相鄰圖形之間的關(guān)系.

解題策略一般為：

(1)涉及數(shù)字特征的推理：觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律和符號(hào)即可解題；

(2)涉及不等式關(guān)系的推理：觀察不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，尋找規(guī)律；

(3)涉及數(shù)列問題的推理：一般求出幾個(gè)特殊的項(xiàng)，采用不完全歸納法，找出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系；

(4)涉及圖形變化的推理：利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證真假性.

2.類比推理

常見的類比情形有平面與空間類比、低維與高維類比、等差與等比類比、數(shù)的運(yùn)算與向量數(shù)量積運(yùn)算的類比、圓錐曲線間的類比等.

類比推理的一般步驟是：

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；

(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).

以下以圓與球?yàn)槔M(jìn)行平面與空間的類比推理.

3.命題的邏輯推理

此類推理一般有“都”“或”“且”“不”“至多”“至少”“任意”“存在”等字詞，解決辦法為回歸命題思想，間接通過逆否命題、命題的否定、全稱命題和特稱命題進(jìn)行等價(jià)解題.

命題類推理一般用到的方法有：

(1)要判斷命題為真命題，需經(jīng)過嚴(yán)格的推理證明，而判斷它為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可；

(2)原命題和它的逆否命題真假性相同，所以可以利用這種等價(jià)性間接地證明命題的真假；

(3)原命題和命題的否定真假總是相對(duì)立的，即一真一假；

(4)全稱、特稱命題，若其真假性不容易正面判斷時(shí)，可以先判斷其否定命題的真假.

結(jié)合上述策略，對(duì)本文考題追蹤進(jìn)行分析.

【例1】只要掌握關(guān)鍵：四人所知只有自己看到、老師所說及最后甲說話，題目即轉(zhuǎn)化為以下四個(gè)事件.

步驟事件原因結(jié)論事件1老師的回答你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好四人中有2位優(yōu)秀,2位良好事件2甲看乙、丙的成績(jī)四人中有2位優(yōu),2位良,且甲不知道自己成績(jī)1.乙、丙的成績(jī):1優(yōu)1良2.甲、丁的成績(jī):1優(yōu)1良事件3乙看丙的成績(jī)乙、丙的成績(jī):1優(yōu)1良3.乙知道自己成績(jī)事件4丁看甲的成績(jī)甲、丁的成績(jī):1優(yōu)1良4.丁知道自己成績(jī)

故選D.

整整一下午，我都跟馬蘭在討論李老黑為什么非要把閨女嫁給我的問題，但我們同樣一無所獲。這件事實(shí)在太蹊蹺，太沒頭沒腦了，以我倆的智商，無論如何都想象不到其中的原因。想不到就想不到吧，這也不打緊，問題是下一步我如何應(yīng)付李老黑。硬扛著肯定不行，李老黑可是什么手段都使得出來。順從更不行，馬蘭怎么辦，再說我要真娶了李金枝，就她那個(gè)霸道脾氣，那還不是請(qǐng)來一位奶奶。說實(shí)話，我寧肯八輩子打光棍都不愿娶這樣的女人。

【例2】丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙有以下兩種情況：①丙的卡片上的數(shù)字為1和2，此時(shí)乙的卡片上的數(shù)字為2和3，滿足題意；②丙的卡片上的數(shù)字為1和3，此時(shí)乙的卡片上的數(shù)字為2和3，和已知矛盾，不合題意. 所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.

【例3】由三人去過同一個(gè)城市，且甲沒去過B城市，乙沒去過C城市可知，三人去過的同一個(gè)城市為A.

以上考題的解決，關(guān)鍵是從命題的否定出發(fā)，找到原命題為真時(shí)包含的情況，再進(jìn)行下一步的推理驗(yàn)證. 在推理過程中不妨多嘗試假設(shè)法、排除法、列表法和分類討論法，以達(dá)到解決問題的目的.

4.不等關(guān)系的邏輯推理

題目條件中常有“多于”“小于”“不大于”“不低于”等字詞，此類邏輯推理，只要把涉及不等關(guān)系的字詞轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)不等式(組)，即可解題.

【例4】(2017·北京卷文·14)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

(ⅰ)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(ⅱ)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(ⅲ)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為 ；

②該小組人數(shù)的最小值為__________.

分析：設(shè)男學(xué)生人數(shù)、女學(xué)生人數(shù)、教師人數(shù)分別為a,b,c.根據(jù)題意可列下表.

條件對(duì)應(yīng)不等式綜上得男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)a>b女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)b>c教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)2c>a2c>a>b>c,a,b,c∈N*

所以第一小問：8>a>b>4?bmax=6.

第二小問：cmin=3,6>a>b>3?b=4,此時(shí)a=5,則a+b+c=12.

四、考題預(yù)測(cè)

1.來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起，他們除懂本國(guó)語言外，每人還會(huì)說其他三國(guó)語言的一種，有一種語言是三人都會(huì)說的，但沒有一種語言人人都懂，現(xiàn)知道：

①甲是日本人，丁不會(huì)說日語，但他倆能自由交談；

②四人中沒有一個(gè)人既能用日語交談，又能用法語交談；

③甲、乙、丙、丁交談時(shí)，找不到共同語言溝通；

④乙不會(huì)說英語，當(dāng)甲與丙交談時(shí)，他都能做翻譯.針對(duì)他們懂的語言.

正確的推理是

( )

A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德

B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英

C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德

D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英

2.若函數(shù)式f(n)表示n2+1(n∈N*)的各位上的數(shù)字之和，如142+1=197，1+9+7=17所以f(14)=17，記f1(n)=f(n)，f2(n)=f[f1(n)]，…，fk+1(n)=f[fk(n)]，k∈N*.則f2018(17)=__________.

3.某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，則預(yù)計(jì)到第6年樹的分枝數(shù)為

( )

A.5 B.6 C.7 D.8

【參考解答】

1.解：此題可直接觀察選項(xiàng)用排除法得出正確答案，首先丁不會(huì)說日語，故排除B；然后根據(jù)第二條規(guī)則，日語和法語不能同時(shí)由一個(gè)人說，且乙不會(huì)說英語，故排除D；最后，四人沒有共同語言，故排除C；再將A代入題干驗(yàn)證，符合條件，故選A.

2.解：由172+1=290?f(17)=2+9+0=11，

112+1=122?f(11)=1+2+2=5，

52+1=26?f(5)=8,

82+1=65?f(8)=11,

112+1=122?f(11)=5,

以此類推，fn(17)是從第一項(xiàng)起以3為周期的循環(huán)數(shù)列，又2 018÷3的余數(shù)為2，故f2018(17)=f2(17)=f(11)=5. 故答案為5.

3.解：由題意得，這種樹從第一年開始的分枝數(shù)分別是1，1，2，3，5，…，則2=1+1，3=1+2，5=2+3，即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第6年樹的分枝數(shù)是3+5=8，故選D.

4.解：根據(jù)橢圓離心率的說法可以寫出推理的前提，

平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點(diǎn)A(-c，0)和C(c，0)，

雙曲線的離心率是e.