單值中智信息熵及其多屬性決策方法

朱 輪，楊 波

1.常州大學 信息科學與工程學院，江蘇 常州 213016

2.常州大學 懷德學院，江蘇 靖江 214513

1 引言

數(shù)據(jù)客戶所需要的并不僅僅只是一個存儲他們大數(shù)據(jù)的硬盤，就目前這個階段而言，數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商不僅提供到位的數(shù)據(jù)遷移和存儲服務(wù)，而且能夠在此基礎(chǔ)之上提供咨詢服務(wù)，因此數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商選擇問題是一個重要的研究課題，其本質(zhì)是一個多屬性決策問題。多屬性決策（MADM）問題是指針對不同備選方案對不同屬性的屬性值進行融合，然后對方案進行比較并遴選出最佳方案[1]。由于現(xiàn)實決策問題客觀的復雜性以及決策者主觀認知的局限性，決策者傾向于用模糊信息表達方案的評估值。文獻[2]在1965年首次提出了模糊集的定義，但是隨后學者們發(fā)現(xiàn)模糊集存在一定的不足，于是相繼提出了區(qū)間模糊集[3]、直覺模糊集[4]、區(qū)間直覺模糊集[5]、猶豫模糊集[6]、正態(tài)模糊集[7]、Type-2 模糊集[8]等等概念。這其中，直覺模糊集得到了學者們的廣泛關(guān)注和研究。但是其不能有效處理不確定和非一致的決策信息，因此，Smarandache[9]主要從哲學的角度首先引入了中智集的概念，然后Wang等[10]結(jié)合實際給出了單值中智集的定義。

信息熵是描述信息不確定程度的有力工具，Zadeh[11]最先引入了模糊熵的概念用以衡量決策信息的模糊性。Luca和Termini[12]將模糊熵進行了拓展，給出了更為正式模糊熵定義?；谥庇X模糊基數(shù)，Szmidt和Kacprzyk[13]提出了直覺模糊熵測度的公理化條件。Ye[14]構(gòu)建熵加權(quán)模型用以計算熵權(quán)重。文獻[15]提出了區(qū)間直覺模糊連續(xù)加權(quán)熵。李香英[16]首次引入?yún)^(qū)間猶豫模糊熵的公理性定義。

綜上國內(nèi)外研究可知，熵是模糊集理論中的重要研究課題[17]。因此，Majumdar和Samanta[18]提出了單值中智熵的定義，然而在某些情況下存在一定的缺陷（詳見例1）。因此，研究一種合理的單值中智熵概念，并構(gòu)建簡單有效的單值中智熵公式具有較好的實際意義。本文首先引入單值中智熵的公理化定義，同時基于三角函數(shù)設(shè)計一種信息熵測度公式，最后構(gòu)建新的單值中智決策方法。

2 基礎(chǔ)知識

本章主要介紹一些單值中智集的基本概念，并舉例說明現(xiàn)有單值中智熵定義存在的不足。

定義1[10]令X為給定的集合，定義在集合X上的單值中智集 A={＜x,TA(x),IA(x),FA(x)＞|x∈X}由隸屬函數(shù)TA(x)、不確定函數(shù)IA(x)以及非隸屬函數(shù)FA(x)表示，其中TA(x),IA(x),FA(x)∈[0,1]，且TA(x)+IA(x)+FA(x)∈[0,3]。

為了下文討論的方便，記α=＜Tα,Iα,Fα＞?＜α1,α2,α3＞為一個單值中智數(shù)（Single-Valued Neutrosophic Value，SVNV）。令Ω~是X上所有的SVNV的集合。

定義2[10]令 α=＜α1,α2,α3＞為一個單值中智數(shù)，那么它的補為 αc=＜1-α1,1-α2,1-α3＞，即 αct，=1-αt,t=1,2,3。

對于一個單值中智數(shù) α=＜α1,α2,α3＞，Majumdar和Samanta[18]給出了如下單值中智熵的公理化定義。

定義3[18]令 α=＜α1,α2,α3＞是一個單值中智數(shù)，則稱函數(shù)ε:Ω~→[0,1]，如果其滿足如下條件：

（1）當 α 是一個精確數(shù)時，有 ε(α)=0。

（2）當 ＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞，有 ε(α)=1。

（3）ε(α)=ε(αc)。

（4）當 α1+α3≤β1+β3且 |α2-αc2|≤|β2-βc2|時 ，有ε(α)≥ε(β)。

然而在某些情況下，定義3中的條件（4）不一定合理科學，這在例1中可以說明。

例1兩個單值中智數(shù)分別為α=＜1,0,0＞和β=＜0.5,0,0.6＞，那么它們的補分別為αc=＜0,1,1＞和 βc=＜0.5,1,0.4＞。因為α1+α3=1+0=1＜1.1=0.5+0.6=β1+β3且|α2-αc2|=1=|β2-βc2|，那么根據(jù)定義3中的條件（4），可得ε(α)≥ε(β)，即 α 的數(shù)據(jù)信息比 β 更為不確定。然而，顯而易見α=＜1,0,0＞是一個精確數(shù)，因此有 ε(α)=0，于是單值中智數(shù)α的數(shù)據(jù)信息應(yīng)該比β更為精確。因此，從以上分析可知，在某些情況下定義3不一定合理可靠，需要進行改進提升。

3 單值中智信息熵

首先引入了新的單值中智信息熵的公理化定義，然后構(gòu)建一種對單值中智數(shù)進行信息度量的測度公式，并證明其是單值中智熵。

定義4 令 α=＜α1,α2,α3＞是一個單值中智數(shù)，則稱函數(shù)E:Ω~→[0,1]，如果其滿足如下4個公理化條件：

（E1） E(α)=0?αt=0或αt=1,t=1,2,3。

（E2） E(α)=1?＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞。

（E3） E(α)=E(αc)。

（E4）如果β比α更為不確定，即對于?t=1,2,3，當 βt-βct≤0 時，有 αt≤βt；或者當 βt-βct≥0時，有αt≥βt，那么 E(α)≤E(β)。

對于單值中智數(shù) α=＜α1,α2,α3＞，運用三角函數(shù)構(gòu)建如下信息測度公式：

定理1 令 α=＜α1,α2,α3＞是一個單值中智數(shù)，那么公式（1）中構(gòu)建的函數(shù)E1(α)滿足定義4中的4個公理化條件。

證明 首先構(gòu)建如下函數(shù)：

那么函數(shù) f(x)的導數(shù)為：

當 x∈[0,1]時，有 f′(x)≥0；當 x∈[1,2]時，有 f′(x)≤0。因此，當 x∈[0,1]時，函數(shù) f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；當x∈[1,2]時，函數(shù) f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，于是函數(shù) f(x)在x=1處可以取得最大值。從而通過上述分析可知，0≤f(x)≤1，且有 fmin(x)=0當且僅當 x=0或 x=2，fmax(x)=1當且僅當x=1。接下來，將一一證明E1(α)滿足定義4中的4個條件。

（E1）假設(shè) E1(α)=0。因為 0≤αt≤1,t=1,2,3，所以αt-αct+1=αt-(1-αt)+1=2αt∈[0,2],t=1,2,3。因此，結(jié)合上述分析可知，E1(α)中的每一項均為非負數(shù)，于是E1(α)=0 當且僅當 E1(α)中的每一項都為 0，即對于t=1,2,3，有：

根據(jù)上述函數(shù)分析過程可得公式（4）成立當且僅當αt-+1=0或αt-+1=2,t=1,2,3，即αt=0或αt=1,t=1,2,3。

另一方面，當 αt=0或 αt=1,t=1,2,3時，可得αt-+1=0或 αt-+1=2,t=1,2,3，代入公式（1）易知 E(α)=0 。

（E2）當＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞時，有：

αt-+1=1,t=1,2,3

因此代入公式（1）可得 E1(α)=1。

假設(shè) E1(α)=1。由于 αt-+1∈[0,2],t=1,2,3，所以 0≤E1(α)≤1，那么當 E1(α)=1時，意味著其中的每一項的大小都為1，即對于t=1,2,3，有：

結(jié)合函數(shù)分析可得，αt-+1=1,t=1,2,3，從而有＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞。

（E4）若對于?t=1,2,3，當βt-≤0時，有αt≤βt，那么 βt≤=1-βt,t=1,2,3，于是得到：

而 αt-+1=2αt,βt-+1=2βt，所以：

又因為函數(shù) f(x)在x∈[0,1]時為單調(diào)遞增函數(shù)，因此有：

所以 E1(α)≤E1(β)。

類似的，當 βt-≥0 時，有 αt≥βt，可以證明E(α)≤E(β)。綜上，結(jié)論成立。

根據(jù)定理1，有以下定義：

定義5 令 α=＜α1,α2,α3＞是一個單值中智數(shù)，則稱公式（1）中構(gòu)建的函數(shù)E1(α)為單值中智熵。

4 單值中智多屬性決策方法

現(xiàn)考慮單值中智信息多屬性決策問題。假設(shè)X={X1,X2,…, }

Xm為一個備選方案集，C={C1,C2,…,Cn}為一個屬性指標集合。令w=(w1,w2,…,wn)T是屬性集合對

接下來，運用本文提出的單值中智熵公式，建立單值中智多屬性決策方法。

步驟1標準化決策矩陣。

若Cj(j=1,2,…,n)均為效益型屬性，則決策矩陣不變；否則，對D=(αij)m×n進行如下標準化處理，得到標準的單值中智決策矩陣 D~=(α~ij)m×n：步驟2計算屬性權(quán)重。

為了盡可能地使決策更為合理準確，決策者一般希望決策過程盡可能地依賴于確定性信息。因此，各屬性的權(quán)重設(shè)定應(yīng)該盡可能減少不確定信息對決策結(jié)果的影響。于是，基于如上思想可建立如下最優(yōu)化模型：

根據(jù)Lagrange乘數(shù)法計算上述最優(yōu)化模型Model I，可得屬性權(quán)重為：步驟3計算備選方案與正負理想點間的距離。首先設(shè)計如下正負理想點：正理想點X+={α…,}和負理想點 X-={α,…,，其中=＜1,0,0＞,=＜0,1,1＞,j=1,2,…,n。然后計算備選方案 Xi分別與正理想點X+和負理想點X-的距離如下：

步驟4計算備選方案Xi的貼近度。

步驟5備選方案優(yōu)劣排序。

根據(jù)貼近度Ti(i=1,2,…,m)的大小關(guān)系對備選方案進行優(yōu)劣排序，并選擇綜合性能最高的方案。

5 實例分析

考慮評估第三方數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商的選擇問題?，F(xiàn)有5個備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商為{X1,X2,X3,X4,X5}，在優(yōu)選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商時，考慮如下4個評估指標分別為：產(chǎn)品質(zhì)量(C1)、處理能力(C2)、購買成本(C3)、售后服務(wù)(C4)，其中C3為成本型指標，其他指標為效益型指標，并且4個評估指標的屬性權(quán)重信息完全未知?，F(xiàn)專家將數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商在各個屬性下進行評估，并將評估值運用單值中智數(shù)αij=＜＞進行表達，從而構(gòu)建單值中智決策矩陣 D=(αij)5×4。

步驟1由于C3為成本型指標，因此按照轉(zhuǎn)化公式（9）計算得到標準單值中智決策矩陣 D~=(α~ij)5×4如下：

步驟2運用公式（10）～（12）計算屬性權(quán)重為：

w1=0.192 3，w2=0.320 8

w3=0.126 0，w4=0.360 9

步驟3根據(jù)公式（13）和（14）求得所有備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商與正負理想點間的距離如下：

步驟4通過公式（15），計算貼近度：

T1=0.410 8,T2=0.507 4,T3=0.649 7,

T4=0.566 5,T5=0.468 3

步驟5 因為 T3＞T4＞T2＞T5＞T1，所以備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商排序結(jié)果為X3?X4?X2?X5?X1。所以綜合表現(xiàn)最好數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商的是X3。

為了體現(xiàn)本文方法的優(yōu)良性能，與文獻[19]中的方法進行對比分析。運用文獻[19]中方法處理上述數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商選擇問題的大致過程如下：

首先基于標準化的單值中智決策矩陣D~=(α~ij)5×4，利用文獻[19]中的相似度公式：

計算各個數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商與理想點間的相似度：

由于 T(X3,X+)＞T(X4,X+)＞T(X1,X+)＞T(X5,X+)＞T(X2,X+)，所以5個備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商排序結(jié)果為X3?X4?X1?X5?X2，且綜合表現(xiàn)最好數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商的是X3。

通過上面的決策結(jié)果可知，雖然運用本文方法和文獻[19]中的方法得到的最優(yōu)結(jié)果相同，但是5個備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商排序存在一定的差異。事實上，根據(jù)原始的標準單值中智決策矩陣 D~=(α~ij)5×4可知，有 α~21＜α~11,α~22＞α~12, α~23＞α~13, α~24＞α~14且 α~21＜α~51, α~22＞α~52, α~23＞α~53,α~24＞α~54，這表明數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商X2的綜合性能要優(yōu)于數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商X1和X5，這與本文方法得到的排序結(jié)果相一致，因此本文方法更為合理可靠。

6 結(jié)束語

本文針對現(xiàn)有單值中智熵定義存在一定的缺陷，提出了單值中智熵的公理性定義，構(gòu)建了一個單值中智信息熵計算公式，并將其應(yīng)用于單值中智多屬性決策模型的建立過程中，最后通過實例驗證說明了本文提出方法的可行性和有效性。該方法不僅為單值中智多屬性決策問題提供了一種新的解決思路，同時可將方法應(yīng)用在模式識別、醫(yī)療診斷等相關(guān)決策問題中。