基于有限流場的瓦斯卸壓排放帶寬度確定方法

孫 銳

(1.瓦斯災(zāi)害監(jiān)控與應(yīng)急技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400037；2.中煤科工集團(tuán)重慶研究院有限公司，重慶 400037)

煤與瓦斯突出和瓦斯爆炸是嚴(yán)重威脅煤礦安全生產(chǎn)的災(zāi)害，這些事故最易發(fā)生在煤巷掘進(jìn)工作面[1]，主要是因?yàn)槊合锞蜻M(jìn)工作面作業(yè)地點(diǎn)位于原始煤體，對(duì)煤體擾動(dòng)較大，大量的瓦斯從煤體內(nèi)部解吸出來涌入工作面作業(yè)空間，由于掘進(jìn)工作面不能采用全負(fù)壓通風(fēng)，容易形成作業(yè)地點(diǎn)瓦斯異常積聚，若不采取有效的措施就會(huì)造成瓦斯事故，因此準(zhǔn)確掌握煤巷在掘進(jìn)期間瓦斯賦存及運(yùn)移規(guī)律是治理掘進(jìn)工作面瓦斯災(zāi)害的前提條件。煤巷剛暴露時(shí)煤層瓦斯壓力平衡被打破，煤體內(nèi)部到工作面煤壁之間形成瓦斯壓力梯度，煤層透氣性增加形成瓦斯卸壓排放區(qū)域。卸壓瓦斯解吸后從煤體裂隙和孔隙向煤壁流動(dòng)，即表現(xiàn)為巷道煤壁瓦斯涌出，其涌出強(qiáng)度與煤層瓦斯壓力、透氣性相關(guān)，隨著煤壁暴露時(shí)間而逐漸減弱。經(jīng)過長時(shí)間的排放，可在煤巷形成一個(gè)穩(wěn)定的瓦斯卸壓排放帶[2]。

瓦斯卸壓排放帶寬度是重要的瓦斯基礎(chǔ)參數(shù)，在礦井瓦斯基本參數(shù)測(cè)定、瓦斯抽采達(dá)標(biāo)、通風(fēng)管理等方面應(yīng)用十分廣泛。采用分源預(yù)測(cè)法對(duì)礦井瓦斯涌出量進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，開采煤層瓦斯涌出量公式里的采面巷道預(yù)排瓦斯影響系數(shù)K3值需要采用瓦斯卸壓排放帶寬度等參數(shù)來計(jì)算；《煤礦瓦斯抽采達(dá)標(biāo)暫行規(guī)定》第二十六條對(duì)同一評(píng)價(jià)單位預(yù)抽煤層瓦斯抽采效果達(dá)標(biāo)評(píng)判時(shí)需要采用間接法計(jì)算抽采后煤層殘余瓦斯含量，在計(jì)算過程中也需要用到瓦斯卸壓排放帶寬度來計(jì)算評(píng)價(jià)單元內(nèi)的煤炭儲(chǔ)量；采用井下直接測(cè)定方法測(cè)定煤層瓦斯含量、對(duì)瓦斯抽采鉆孔進(jìn)行封孔時(shí)需要考慮瓦斯卸壓排放帶對(duì)瓦斯含量測(cè)試孔取樣深度及抽采鉆孔封孔深度的影響，也需要由瓦斯卸壓排放帶寬度來確定最小取樣和封孔孔深。目前瓦斯卸壓排放帶寬度一般是通過經(jīng)驗(yàn)值和現(xiàn)場考察所得，與實(shí)際有較大誤差，因此本文研究煤巷瓦斯流動(dòng)規(guī)律，建立計(jì)算煤巷瓦斯卸壓排放帶寬度計(jì)算公式有較強(qiáng)的意義。

1 基于有限流場單向不穩(wěn)定流動(dòng)的煤巷瓦斯流動(dòng)理論模型

根據(jù)以上假設(shè)，煤巷煤壁煤層瓦斯流動(dòng)為單向不穩(wěn)定流動(dòng)。煤壁暴露前煤層中原始瓦斯壓力為p0，巷道煤壁上瓦斯壓力為p1，在瓦斯壓力梯度的作用下在煤體中形成寬度為L′的瓦斯流場，隨著瓦斯從煤體中排出，瓦斯流場逐漸向煤體內(nèi)部延伸，直至瓦斯卸壓排放帶寬度L為止。因此煤巷掘進(jìn)工作面的瓦斯流動(dòng)可以看做寬度為L的有限流場單向不穩(wěn)定瓦斯流動(dòng)，其幾何模型見圖1所示。

圖1 幾何模型示意圖

由此建立瓦斯有限流場單向不穩(wěn)定流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為[6-7]：

(1)

式中：P(x,t)為煤體內(nèi)部某點(diǎn)的瓦斯壓力的平方，MPa2；t為煤壁暴露的時(shí)間，d；x為煤體某處距煤壁的距離，m；L為瓦斯卸壓排放帶寬度，m；α1為瓦斯壓力傳導(dǎo)系數(shù)，m2/d。

(2)

式中：λ為煤層透氣性系數(shù)，m2/(MPa2·d)；α為瓦斯含量系數(shù)，m3/(m3·MPa0.5)。

2 理論方程的解析解

理論方程(1)為帶齊次邊界條件和初始條件的二階常系數(shù)偏微分方程，可以采用分離變量法[8-9]來求解其定解問題，分離變量法是求解數(shù)學(xué)物理方程常用的一種方法，是把未知多元函數(shù)分解成多個(gè)一元函數(shù)的乘積，通過求解常微分方程的特解，由疊加原理作出這些特解的線性組合，從而求得偏微分方程的解。

首先令函數(shù)U(x,t)=P(x,t)-p12，使理論方程(1)轉(zhuǎn)化為二階拋物線型偏微分方程的初邊值問題

(3)

T′(t)+ηa1T(t)=0

(4)

X″(x)+ηX(x)=0

(5)

方程(3)的邊界條件和初始條件轉(zhuǎn)化為：

(6)

X(0)=0

(7)

(8)

將初始條件(7)(8)代入方程(5)中，即得到方程(3)的特征值問題

(9)

特征值問題是含有特定常數(shù)的常微分方程在一定條件下求非零解的問題，具有使方程有非零解的特征值，和特征值對(duì)應(yīng)的非零解即為該常微分方程的特征函數(shù)。方程(9)僅在η>0時(shí)有非零解，求導(dǎo)得出

(10)

X(0)=B=0

(11)

式(11)即為方程(9)的特征值，將式(9)代入式(10)中即得到方程(9)的特征函數(shù)為

(12)

將特征值(11)代入方程(4)中，得出方程(3)的特征函數(shù)為

(13)

因此U(x,t)的特解族為

由疊加原理得出：

由式(6)可知：

(14)

即方程(1)的理論解析解為

(15)

式(15)表示煤壁暴露后煤層瓦斯在有限流場單向不穩(wěn)定流動(dòng)的壓力分布規(guī)律，煤層瓦斯壓力平衡打破后，煤層瓦斯在瓦斯壓力梯度的作用下解吸并向煤壁涌出，瓦斯流動(dòng)是非穩(wěn)定單向流動(dòng)，煤層瓦斯壓力的變化不僅與原始瓦斯壓力、煤層瓦斯擴(kuò)散系數(shù)等有關(guān)，還與距巷道的距離和煤壁暴露時(shí)間有關(guān)。

3 煤壁瓦斯涌出量及煤巷瓦斯卸壓排放帶寬度

由達(dá)西定律可知，煤壁單位面積的瓦斯涌出量[11]為

(16)

式中：q(t)為煤壁單位面積瓦斯涌出量；λ為煤層透氣性系數(shù)

將式(15)帶入式(16)得

(17)

由式(17)得出煤壁單位面積瓦斯涌出量與煤層瓦斯壓力、瓦斯卸壓排放帶寬度和煤壁暴露時(shí)間的關(guān)系是復(fù)雜的負(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)函數(shù)關(guān)系；由于負(fù)指數(shù)函數(shù)收斂速度很快，因此取級(jí)數(shù)中第一項(xiàng)即可以滿足現(xiàn)場應(yīng)用的精度要求，即煤壁單位面積瓦斯涌出量為

(18)

對(duì)于某一煤層而言，p0、λ、α1均為一般常數(shù)，在排放時(shí)間足夠長的情況下，瓦斯卸壓排放帶寬度L也為定值，可見煤壁瓦斯涌出量是一個(gè)隨著煤壁暴露時(shí)間而逐漸遞減的負(fù)指數(shù)函數(shù)，在煤壁剛暴露時(shí)煤壁瓦斯涌出量最大，隨著煤壁暴露時(shí)間增加，煤壁瓦斯涌出量逐漸趨于0。

4 煤巷瓦斯卸壓排放帶極限寬度應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證推導(dǎo)出的煤巷瓦斯卸壓排放帶寬度公式的適用性，在平舒礦15號(hào)煤層81115回風(fēng)巷掘進(jìn)工作面進(jìn)行了現(xiàn)場驗(yàn)證。15號(hào)煤層平均厚度為3.97m，位于太原組下部，K2灰?guī)r之下，K2灰?guī)r為其直接頂板。底板巖性為泥巖或砂質(zhì)泥巖?，F(xiàn)場實(shí)測(cè)得出[12]：15號(hào)煤層瓦斯壓力為1.16MPa(表壓)、瓦斯含量為15.24m3/t、煤層水分Mad平均為1.34%、灰分Ad平均為18.64%、揮發(fā)分Vdaf平均為12.01%、煤層透氣性系數(shù)為λ=0.337m2/(MPa2·d)，經(jīng)計(jì)算得出15號(hào)煤層瓦斯含量系數(shù)α=13.58 m3/(m3·MPa0.5)。

為了確定81115回風(fēng)巷掘進(jìn)工作面煤壁初始瓦斯涌出強(qiáng)度q(0)，采用巷道法[13]在現(xiàn)場進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試步驟為

(1)在81115回風(fēng)巷掘進(jìn)工作面沿巷道掘進(jìn)方向布置四個(gè)測(cè)風(fēng)站，每個(gè)測(cè)風(fēng)站相距100m，測(cè)風(fēng)站巷道斷面要求盡量平整，斷面面積相差不大，測(cè)風(fēng)站布置如圖2所示。

圖2 測(cè)風(fēng)站布置示意圖

(2)每天在煤巷掘進(jìn)工作面清理完落煤后，在各測(cè)量站同時(shí)測(cè)量回風(fēng)量和瓦斯?jié)舛?。各相鄰測(cè)風(fēng)站在不同的暴露時(shí)間下單位面積煤壁瓦斯涌出量可用下式來進(jìn)行計(jì)算：

(19)

式中：q(t)為兩個(gè)測(cè)風(fēng)站間單位面積煤壁瓦斯涌出量，m3/(m2·min)；C1、C2為1號(hào)、2號(hào)測(cè)風(fēng)站斷面的平均瓦斯?jié)舛龋?；V1、V2為1號(hào)、2號(hào)測(cè)風(fēng)站斷面的平均風(fēng)速，m/s；S1、S2為1號(hào)、2號(hào)測(cè)風(fēng)站斷面積，m2；m為煤層平均厚度，m。

(3)每天重復(fù)觀測(cè)兩個(gè)測(cè)風(fēng)站的回風(fēng)量和瓦斯?jié)舛戎?，得出不同暴露時(shí)間t時(shí)單位面積煤壁瓦斯涌出量q(t)，將測(cè)定的各組數(shù)據(jù)(t,q(t))進(jìn)行回歸擬合得出煤壁瓦斯涌出強(qiáng)度q(t)和煤壁暴露時(shí)間t的關(guān)系曲線，如圖3所示。

圖3 煤壁瓦斯涌出強(qiáng)度與時(shí)間關(guān)擬合曲線

由圖3得出，81115回風(fēng)巷煤壁初始瓦斯涌出強(qiáng)度q(0)=0.0509m3/(m2·min)。

將現(xiàn)場測(cè)定和計(jì)算的各參數(shù)帶入煤巷卸壓瓦斯排放帶極限寬度L的計(jì)算公式，求出81115回風(fēng)巷瓦斯卸壓排放帶寬度為10.45m。

81115回風(fēng)巷經(jīng)過瓦斯充分排放后，采用直接測(cè)定不同深度瓦斯含量對(duì)煤巷瓦斯卸壓排放帶寬度驗(yàn)正，不同深度煤層瓦斯含量測(cè)定結(jié)果見表1。

表1 不同深度瓦斯含量測(cè)定值 m3/t

由不同深度瓦斯含量測(cè)定綜合分析得出，煤巷經(jīng)過充分排放瓦斯后在孔深小于10m時(shí)瓦斯含量減小，在孔深大于10m后瓦斯含量基本穩(wěn)定，由此可以看出瓦斯排放帶寬度在10m之間，這與推導(dǎo)出的公式計(jì)算得出的瓦斯排放帶寬度結(jié)果基本相符。

5 結(jié)論

(1)建立了煤巷有限流場單向不穩(wěn)定流動(dòng)的理論模型和方程；

(2)采用分離變量法推導(dǎo)出理論方程的解析解，并由此得出煤巷瓦斯卸壓排放帶極限寬度的計(jì)算公式，由公式可得：煤巷卸壓瓦斯排放帶極限寬度與煤層原始瓦斯壓力、煤層透氣性系數(shù)成正比，與煤壁初始瓦斯涌出強(qiáng)度、煤壁瓦斯涌出衰減性系數(shù)成反比；

(3)在現(xiàn)場實(shí)測(cè)相關(guān)瓦斯基本參數(shù)，采用推導(dǎo)的公式計(jì)算了煤巷瓦斯卸壓排放帶寬度，并通過測(cè)試不同深度煤層瓦斯含量驗(yàn)證了公式的準(zhǔn)確性，結(jié)果表明：煤巷瓦斯卸壓排放帶寬度公式計(jì)算的瓦斯排放帶寬度與實(shí)測(cè)結(jié)果基本相符，能夠用于指導(dǎo)現(xiàn)場瓦斯涌出量預(yù)測(cè)與治理工作。