基于稀疏重構(gòu)的混疊脈沖序列的周期估計(jì)

許成維，陶建武

空軍航空大學(xué) 航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130022

隨著社會(huì)信息化的快速發(fā)展，周期估計(jì)廣泛應(yīng)用于電子偵察中脈沖重復(fù)間隔估計(jì)、節(jié)拍和節(jié)奏估計(jì)、神經(jīng)學(xué)中峰值區(qū)間估計(jì)、呼吸率周期檢測(cè)、蛋白質(zhì)編碼和脈沖星周期估計(jì)等各個(gè)軍民應(yīng)用領(lǐng)域。尤其在電子戰(zhàn)領(lǐng)域的應(yīng)用更為顯著，多用于電子干擾與反干擾的脈沖重復(fù)間隔(PRI)估計(jì)[1-7]。PRI是現(xiàn)代電子戰(zhàn)環(huán)境下雷達(dá)脈沖信號(hào)分選與識(shí)別的一個(gè)至關(guān)重要的參數(shù)。近年來(lái)，隨著電子戰(zhàn)技術(shù)的發(fā)展，電磁環(huán)境越發(fā)復(fù)雜、脈沖高度密集且相互交錯(cuò)，影響了現(xiàn)代電子偵察技術(shù)的精確識(shí)別，這對(duì)于現(xiàn)代電子偵察提出了新的挑戰(zhàn)。當(dāng)雷達(dá)發(fā)射脈沖信號(hào)時(shí)，為了防止對(duì)方輕易偵察到雷達(dá)發(fā)射的脈沖信號(hào)的重復(fù)間隔，往往會(huì)在發(fā)射脈沖時(shí)，加入人為干擾和抖動(dòng)，導(dǎo)致了脈沖重復(fù)間隔的不確定性。由于接收設(shè)備自身原因和外界環(huán)境干擾因素，往往造成某些脈沖重復(fù)間隔上的脈沖缺失，導(dǎo)致測(cè)量脈沖串的不完整，使得測(cè)量脈沖串的周期性遭到破壞。尤其是在復(fù)雜電磁環(huán)境中，測(cè)量脈沖串通常是由多個(gè)具有不同周期的脈沖串混合疊加而成。這些因素都不利于信號(hào)周期的提取。

針對(duì)不完整脈沖串的周期估計(jì)，許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，如Fogel和Gavish[8]使用最大似然(ML)算法對(duì)帶有缺失和抖動(dòng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行周期估計(jì)。Sadler和Casey[9]基于修正的歐式算法對(duì)最大公約數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Sidiropoulos等[10]在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了不完整脈沖串?dāng)?shù)據(jù)的周期估計(jì)方法。Clarkson[11]對(duì)最大似然估計(jì)做了改進(jìn)，并驗(yàn)證了兩種估計(jì)方法在周期估計(jì)上的性能。Ye等[12-13]指出了改進(jìn)的Fogel周期圖估計(jì)算法的性能是由空間網(wǎng)格的間隔決定，并從理論推導(dǎo)出合理的網(wǎng)格搜索間隔。McKilliam和Clarkson[14]通過(guò)使用Chirp z-變換和快速傅里葉變換，使其周期圖估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜性減少到O(NlgN)。雖然這些算法在周期估計(jì)的精確度和減小計(jì)算復(fù)雜性方面做出了很大的改進(jìn)，同時(shí)對(duì)于低信噪比和高缺失率的信號(hào)具有較好的性能。但是對(duì)于由多個(gè)具有不同周期的脈沖串混合疊加的脈沖序列，這些方法不能得到真實(shí)的周期估計(jì)。因此，限制了這些方法在復(fù)雜電磁環(huán)境中的應(yīng)用。面對(duì)這些挑戰(zhàn)，需要我們提出全新的、可以應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜電磁環(huán)境的脈沖序列的周期估計(jì)方法。

近年來(lái)，隨著壓縮感知的提出與發(fā)展，其應(yīng)用一直是關(guān)注熱點(diǎn)?；贔arey序列理論，Vaidyanathan和Pal[15]構(gòu)造了一種能夠提取出信號(hào)隱藏周期的過(guò)完備字典。Tenneti和Vaidyana-than[16]將此字典用于心電圖、蛋白質(zhì)編碼等真實(shí)信號(hào)的隱藏周期提取。但是，該字典是基于離散傅里葉變換(DFT)矩陣進(jìn)行構(gòu)造的，對(duì)于周期信號(hào)的表示不能形成一個(gè)完美的稀疏表示?；赗amanujan結(jié)構(gòu)字典(RD)理論，Vaidyanathan[17-18]提出了一種提取信號(hào)隱藏周期的方法。但是，在應(yīng)用于帶有人為抖動(dòng)的、不完整的混疊脈沖序列的周期估計(jì)時(shí)，該方法不能達(dá)到較好的提取效果。因此，針對(duì)由多個(gè)具有不同周期的脈沖串混疊而成的脈沖序列，本文提出了一種基于稀疏重構(gòu)的隱藏子周期估計(jì)新方法。從理論上探討混疊脈沖序列的稀疏表示模型、稀疏字典的設(shè)計(jì)及隱藏子周期估計(jì)方法。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此估計(jì)方法的可行性和有效性。

1 數(shù)據(jù)模型

假設(shè)周期脈沖信號(hào)的脈沖寬度遠(yuǎn)小于脈沖的周期。因此，可以將周期脈沖信號(hào)看成具有單位幅值的周期脈沖序列，從而形成周期脈沖信號(hào)的點(diǎn)過(guò)程模型。本文考慮如下周期脈沖信號(hào)的點(diǎn)過(guò)程模型：一個(gè)周期脈沖信號(hào)為T0k+θ0(k∈Z)是連續(xù)的整數(shù)，T0為周期，θ0為初相位。對(duì)其進(jìn)行N次觀測(cè)，其表達(dá)式為

tn=T0sn+θ0+ωnn=1,2,…,N

(1)

式中:ω1,ω2,…,ωN為隨機(jī)抖動(dòng)(或稱為脈沖滑動(dòng)誤差)；s1,s2,…,sN為不連續(xù)且未知的整數(shù)，由于外界環(huán)境干擾，會(huì)有部分脈沖未觀測(cè)到。這造成了接收到的脈沖信號(hào)不是連續(xù)和完整的，即s1,s2,…,sN是不連續(xù)的整數(shù)。圖1給出了從完整的周期脈沖信號(hào)到形成不完整且?guī)в忻}沖滑動(dòng)誤差的單脈沖序列的示意圖。

假設(shè)有M個(gè)具有不同周期的周期脈沖信號(hào)同時(shí)到達(dá)接收裝置，因此，整個(gè)脈沖序列是M個(gè)不完整且?guī)в忻}沖滑動(dòng)誤差的脈沖串混合而成，其表達(dá)式為

(2)

圖2給出了從兩個(gè)完整的脈沖周期信號(hào)到形成不完整且?guī)в忻}沖滑動(dòng)誤差的混疊脈沖序列的示意圖。圖2中，假設(shè)第1個(gè)脈沖序列的周期T1=15，第2個(gè)脈沖序列的周期T2=18?；旌虾螅麄€(gè)脈沖序列的周期為2個(gè)子脈沖序列周期的最小公倍數(shù)。本文所感興趣的是從整個(gè)脈沖序列中估計(jì)子脈沖序列的周期Tm。

2 結(jié)構(gòu)字典矩陣設(shè)計(jì)

2.1 Farey結(jié)構(gòu)字典矩陣

給定一個(gè)整數(shù)P，考慮所有不可約的有理數(shù)k/q,其中：整數(shù)q∈{1,2,…,P}，k為小于等于q、且與q互質(zhì)的整數(shù)，即gcd(k,q)=1(1≤k≤q)。gcd(·)=1表示為兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1，即它們是互質(zhì)的。表1列出了在周期P=6時(shí)，有理數(shù)k/q的所有數(shù)值。將k/q的所有數(shù)值按從小到大的順序進(jìn)行排列，得到一個(gè)有理數(shù)序列FP，即Farey序列。

表1 周期P=6時(shí)，有理數(shù)k/q的數(shù)值Table 1 Period P=6, rational values k/q

(3)

Vq=[v(q,k1)v(q,k2) …v(q,kφ(q))]

(4)

這里gcd(q,ki)=1和1≤ki≤q，Wq=e-j2π/q。進(jìn)一步，定義一個(gè)P×Φ(P)維Farey序列字典矩陣為

(5)

例如，當(dāng)P為6時(shí)，6×12維Farey序列結(jié)構(gòu)字典矩陣為

(6)

利用Farey序列結(jié)構(gòu)的字典矩陣，能夠?qū)⒕哂胁煌芷诘幕殳B脈沖序列進(jìn)行稀疏化表示，然后通過(guò)一定的稀疏恢復(fù)算法，獲得混疊脈沖序列的不同子周期。但是，字典矩陣維數(shù)的大小是影響稀疏恢復(fù)算法復(fù)雜性的關(guān)鍵因素，隨著P的增大，Φ(P)將急速增大，字典矩陣的維數(shù)增大。所以我們應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)合適的插值尺度來(lái)減少字典矩陣的維數(shù)。下面我們將Farey序列結(jié)構(gòu)字典矩陣簡(jiǎn)稱為Farey結(jié)構(gòu)字典(FD)。

2.2 Ramanujan結(jié)構(gòu)字典矩陣

Ramanujan 結(jié)構(gòu)字典是由印度數(shù)學(xué)家Ramanujan提出的[19]，Vaidyanathan進(jìn)一步發(fā)展了Ramanujan 結(jié)構(gòu)矩陣， 其形式為[17-18]

(7)

其中:當(dāng)0≤n≤q-1時(shí)，構(gòu)成了周期序列cq(n)的主值區(qū)間。例如當(dāng)q∈{1,2,…,6}時(shí)，則在主值區(qū)間，cq(n)的數(shù)值為

c1(n)={1},c2(n)={1,-1},c3(n)={2,-1,-1},c4(n)={2,0,-2,0},c5(n)={4,-1,-1,-1,-1},c6(n)={2,1,-1,-2,-1,1} 定義一個(gè)q×1矢量:

cq=[cq(0)cq(1) …cq(q-1)]T

它是由周期序列cq(n)主值區(qū)間的數(shù)值構(gòu)成的。進(jìn)一步，定義一個(gè)q×φ(q)矩陣：

(8)

如果序列的最大周期為Pmax，構(gòu)造一個(gè)L×Φ(Pmax)維字典矩陣為

(9)

3 混疊脈沖序列的子周期估計(jì)

假設(shè)有M個(gè)具有不同周期的周期脈沖信號(hào)同時(shí)到達(dá)接收裝置，對(duì)接收裝置的測(cè)量值進(jìn)行采樣，得到的采樣序列可表示為

(10)

式中：tk由式(2)給出。根據(jù)采樣定理，采樣間隔為

(11)

本文采用的均勻采樣是一種簡(jiǎn)單而有效的方法，如果不考慮計(jì)算復(fù)雜性，盡可能使用較小的采樣間隔。當(dāng)所有tk為整數(shù)，且min(tk-tk-1)≥2 (k=2,…,K)時(shí)，取Δt=1,在這種情況下，n=1,2,…,tK。將采樣序列y(n)寫成矢量形式，即Y=[y(1)y(2) …y(tK)]T。利用采樣序列和Ramanujan結(jié)構(gòu)字典和Farey結(jié)構(gòu)字典矩陣，采取稀疏重構(gòu)方法估計(jì)混疊脈沖序列的子周期。

考慮下列稀疏優(yōu)化問(wèn)題：

(12)

本文采用了聯(lián)合l2,0混合范數(shù)(JLZA)算法[20-22]求解稀疏優(yōu)化問(wèn)題，如式(12)所示。相比于文獻(xiàn)[16]提出的求解方法，JLZA算法對(duì)周期抖動(dòng)和數(shù)據(jù)缺失的魯棒性更強(qiáng)。因?yàn)镽amanujan結(jié)構(gòu)字典針對(duì)各個(gè)周期都有φ(q)列，因此，X的最優(yōu)稀疏解X*是一個(gè)塊矢量，即最優(yōu)稀疏解中，對(duì)應(yīng)于每個(gè)子周期的φ(q)個(gè)連續(xù)元素構(gòu)成一個(gè)塊矢量。利用式(13)計(jì)算最優(yōu)稀疏解中的各個(gè)塊矢量的總系數(shù)G(P)：

(13)

當(dāng)混疊脈沖序列含有某個(gè)隱含子周期時(shí)，最優(yōu)稀疏解中對(duì)應(yīng)于這個(gè)子周期的總系數(shù)G(P)將出現(xiàn)較大數(shù)值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 不含有隱含子周期的單周期脈沖序列

假設(shè)一個(gè)不含有隱含子周期的單周期脈沖序列，如圖1所示。常數(shù)T=15，采樣間隔Δt=1，采樣序列的長(zhǎng)度為400，幅值為1的脈沖個(gè)數(shù)為26。在沒(méi)有脈沖滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，圖3給出了3種方法的各個(gè)周期總系數(shù)G(P)隨周期P的變化情況。

從圖3(a)看出，在周期為15時(shí)，G(P)有明顯峰值，這說(shuō)明JLZA-RD方法能夠正確估計(jì)出單周期脈沖序列的周期。從圖3(b)看出，在周期為1、3和5時(shí)，G(P)有最大的峰值。但在周期為15時(shí)，其峰值相對(duì)較小。這說(shuō)明很難從G(P)的大小來(lái)判斷這個(gè)脈沖序列的周期。因此，2NCE-RD方法失效。從圖3(c)看出，在周期為1、3、5和15時(shí)，G(P)有相等的峰值，因此，與2NCE-RD方法個(gè)脈沖序列的周期。在脈沖缺失個(gè)數(shù)一定時(shí)，圖4給出了4種方法的成功概率隨滑動(dòng)誤差變化曲線。在滑動(dòng)誤差一定時(shí)，圖5給出了4種方法的成功概率隨脈沖缺失個(gè)數(shù)變化曲線。估計(jì)成功的概率定義為運(yùn)行100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，正確估計(jì)出脈沖序列周期的次數(shù)除以100得到的數(shù)值。從圖4看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能最好。當(dāng)參數(shù)δ≤0.15時(shí)，JLZA-RD方法的成功概率為1。這說(shuō)明JLZA-RD方法的抗噪能力強(qiáng)。在脈沖缺失個(gè)數(shù)較少時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能很好。這說(shuō)明JLZA-FD方法的抗噪能力較強(qiáng)。2NCE-RD方法的估計(jì)性能最差，其成功概率小于0.2。其原因是G(P)不僅在周期為15處出現(xiàn)峰值，而且在周期為15的除數(shù)處也出現(xiàn)虛假峰值，且在大多數(shù)情況下，其虛假峰值高度大于在周期為15處的峰值。對(duì)于PDMax方法，滑動(dòng)誤差較大時(shí)的成功概率大于滑動(dòng)誤差較小時(shí)的成功概率，其原因是滑動(dòng)誤差的增大，使得在周期為1、3和5處的峰值高度降低，其峰值高度小于在周期為15處的峰值高度。因此，其成功概率增加。從圖5看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能最好。在參數(shù)δ=0.1時(shí)，其成功概率不隨著脈沖缺失個(gè)數(shù)增加而減少，始終為1。這說(shuō)明JLZA-RD方法的抗脈沖缺失個(gè)數(shù)能力較強(qiáng)。在脈沖缺失個(gè)數(shù)較少時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能很好，但是，當(dāng)脈沖缺失個(gè)數(shù)較多時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能急劇下降,這說(shuō)明JLZA-FD方法的抗脈沖缺失能力差。2NCE-RD方法的估計(jì)性能最差，其成功概率小于0.2。其原因如上所述。對(duì)于PDMax方法，其成功概率隨著脈沖缺失個(gè)數(shù)增加而減少，但是，減少的程度不大。這說(shuō)明PDMax方法有一定的抗脈沖缺失能力。

4.2 隱含子周期的混疊脈沖序列

假設(shè)一個(gè)具有隱含子周期的混疊脈沖序列，如圖2所示。一個(gè)脈沖序列的周期T=15，初相θ0=1；另一個(gè)脈沖序列的周期T=18，初相θ0=1。采樣間隔Δt=1，采樣序列的長(zhǎng)度為400，幅值為1的脈沖個(gè)數(shù)為48。在沒(méi)有脈沖滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，圖6給出了3種方法的各個(gè)周期總系數(shù)G(P)隨周期P的變化情況。

從圖6(a)看出，G(P)有兩個(gè)明顯的峰值，分別位于周期為15和18處。這說(shuō)明JLZA-RD方法能夠正確估計(jì)出混疊脈沖序列的兩個(gè)隱含子周期。從圖6(b)看出，G(P)有多個(gè)峰值，其兩個(gè)最大峰值分別位于周期為1和3處，而在周期為15和18處，其峰值較小。根據(jù)G(P)取得最大值處的周期是估計(jì)周期的判斷原則，2NCE-RD方法不能正確估計(jì)出混疊脈沖序列的兩個(gè)隱含子周期。因此，2NCE-RD方法失效。從圖6(c)看出，PDMax方法與2NCE-RD方法相似，它也沒(méi)有正確估計(jì)出混疊脈沖序列的兩個(gè)隱含子周期。因此，PDMax方法失效。

在脈沖缺失個(gè)數(shù)一定時(shí)，圖7給出了4種方法的成功概率隨滑動(dòng)誤差變化曲線。在滑動(dòng)誤差一定時(shí)，圖8給出了4種方法的成功概率隨脈沖缺失個(gè)數(shù)變化曲線。

從圖7看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能較好。在滑動(dòng)誤差較小時(shí)，JLZA-RD方法具有較高的成功概率。這說(shuō)明JLZA-RD方法有一定的抗噪能力。在沒(méi)有脈沖缺失時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能很好。這說(shuō)明JLZA-FD方法的抗噪能力較強(qiáng)。對(duì)于2NCE-RD和PDMax方法，其成功概率接近于0。這說(shuō)明這兩方法完全失效。其原因是G(P)具有虛假峰值，且虛假峰值的高度較大。從圖8看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能較好。在滑動(dòng)誤差較小時(shí)，其成功概率ξ≤0.35時(shí)，始終為1。這說(shuō)明JLZA-RD方法的抗脈沖缺失能力較強(qiáng)。JLZA-FD方法受脈沖缺失個(gè)數(shù)的影響較大。當(dāng)脈沖缺失個(gè)數(shù)增加時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)成功概率急劇下降。這說(shuō)明JLZA-FD方法的抗脈沖缺失能力差。對(duì)于2NCE-RD方法和PDMax方法，其成功概率接近于0。這說(shuō)明這兩方法完全失效。

當(dāng)改變混疊脈沖序列的初相時(shí)，即一個(gè)脈沖序列的周期T=15，初相θ0=5；另一個(gè)脈沖序列的周期T=18，初相θ0=6，而其他條件不變。在沒(méi)有脈沖滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，圖9給出了3種方法的各個(gè)周期總系數(shù)G(P)隨周期P變化情況。與圖6比較，圖9(a)沒(méi)有變化，而對(duì)于圖9(b)，峰值的位置和幅度都有較大變化，對(duì)于圖9(c)，峰值的幅度有較大變化。這說(shuō)明初相的改變對(duì)JLZA-RD方法沒(méi)有影響，而2NCE-RD和PDMax方法對(duì)初相的改變是敏感的。因此，不同的初相，2NCE-RD和PDMax方法的估計(jì)性能可能會(huì)變化。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證初相變化對(duì)方法性能的影響。假設(shè)初相為均勻分布的隨機(jī)變量，而其他條件與圖9相同。在此條件下，對(duì)具有隨機(jī)初相的混疊脈沖序列進(jìn)行100次周期估計(jì)實(shí)驗(yàn)，圖10給出成功估計(jì)出序列周期的概率曲線。從圖10看出，在滑動(dòng)誤差和脈沖缺失都為零的情況下，JLZA-RD方法對(duì)初相的隨機(jī)變化不敏感，其成功概率始終為1；而2NCE-RD和PDMax方法受初相改變的影響敏感，其成功概率始終為0。與圖7和圖8對(duì)比，在存在滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，JLZA-RD方法的成功概率變化較小。這說(shuō)明了本文方法在各種情況下，對(duì)初相變化都具有較強(qiáng)的魯棒性。

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，可以得到如下結(jié)果：

1) 基于結(jié)構(gòu)字典的稀疏重構(gòu)方法具有較好的性能。JLZA-RD方法具有較強(qiáng)抗噪能力和抗脈沖缺失能力，并且不受初相的改變影響。JLZA-FD方法具有較強(qiáng)抗噪能力，但是，抗脈沖缺失能力較差。其原因是稀疏重構(gòu)方法使用了聯(lián)合l2,0混合范數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，即確保未知矢量的非零元素的個(gè)數(shù)為最少。因此，通過(guò)稀疏優(yōu)化迭代，不斷減小具有較小能量的峰值幅度，使其趨于零；同時(shí)不斷增大具有較大能量的峰值幅度，使其趨于最大。最終在脈沖序列的周期處，得到了幅度最大的峰值。

2) 2NCE-RD方法具有較差的性能，尤其是在具有隱含子周期的混疊脈沖序列的情況。其原因是2NCE-RD方法使用了l2范數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，即確保未知矢量的每個(gè)元素平方之和為最少。因此，相對(duì)于聯(lián)合l2,0混合范數(shù)優(yōu)化，l2范數(shù)優(yōu)化會(huì)使非零元素的個(gè)數(shù)增加。最終在多個(gè)周期處，出現(xiàn)幅度不等的峰值。這會(huì)給正確識(shí)別脈沖序列的周期帶來(lái)很大困難。另外，2NCE-RD方法對(duì)混和脈沖序列初相的改變是敏感的。

3) PDMax方法具有較差的性能，尤其是在具有隱含子周期的混疊脈沖序列的情況。其原因是PDMax方法使用了脈沖序列的功率譜來(lái)估計(jì)序列的周期。因此，與l2范數(shù)類似，會(huì)在多個(gè)周期處，出現(xiàn)幅度不等的功率譜峰值。這會(huì)給正確識(shí)別脈沖序列的周期帶來(lái)很大困難。

4.3 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)脈沖序列估計(jì)性能的影響

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于單周期脈沖序列，我們給出了能夠正確估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長(zhǎng)度。這里，我們將脈沖序列周期分解成素?cái)?shù)的乘積。圖11給出了當(dāng)脈沖序列周期P為素?cái)?shù)(周期從2到60)時(shí)，序列長(zhǎng)度隨周期P的變化。在圖11中，由星號(hào)標(biāo)記的數(shù)據(jù)表示沒(méi)有脈沖滑動(dòng)誤差的情況下，估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長(zhǎng)度；而由正方形標(biāo)記的數(shù)據(jù)表示有脈沖滑動(dòng)誤差δ=0.1的情況下，估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長(zhǎng)度。兩條曲線是由指數(shù)函數(shù)擬合序列長(zhǎng)度數(shù)據(jù)所得到的結(jié)果。從圖11看出，周期的大小是影響所需最小序列長(zhǎng)度的關(guān)鍵因素。周期增大，所需最小序列長(zhǎng)度近似按指數(shù)曲線增大。

當(dāng)脈沖序列周期P為兩個(gè)以上素?cái)?shù)(素?cái)?shù)1除外)乘積時(shí)，在沒(méi)有脈沖滑動(dòng)誤差的情況下，序列長(zhǎng)度隨周期P(周期從4到40)的變化如表2～表4所示。從表2看出，所需最小序列長(zhǎng)度不僅與周期的大小有關(guān)，還與分解的兩個(gè)素?cái)?shù)中的最大素?cái)?shù)有關(guān)。最大素?cái)?shù)的數(shù)值增大，所需最小序列長(zhǎng)度相應(yīng)增加。例如，周期為14(素?cái)?shù)分解為2×7)和15(素?cái)?shù)分解為3×5)時(shí)，雖然14比15小，但是由14分解的兩個(gè)素?cái)?shù)中的最大素?cái)?shù)是7，而由15分解的兩個(gè)素?cái)?shù)中的最大素?cái)?shù)是5，因而，估計(jì)周期14所需最小序列長(zhǎng)度大于估計(jì)周期15所需最小序列長(zhǎng)度。

從表3和4看出，所需最小序列長(zhǎng)度還與分解的素?cái)?shù)多少有關(guān)。分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)增多，所需最小序列長(zhǎng)度相應(yīng)增加。例如，在周期為36(素?cái)?shù)分解為2×2×3×3)時(shí)，分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是4，因而，估計(jì)周期36所需最小序列長(zhǎng)度大于估計(jì)周期37、38(素?cái)?shù)分解為2×19)、39(素?cái)?shù)分解為3×13)所需最小序列長(zhǎng)度，其中，周期37分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是1，而周期38和39分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是2?？傊?，對(duì)于單周期脈沖序列，能夠正確估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長(zhǎng)度不但與脈沖序列周期的大小有關(guān)、還與分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)和其中的最大素?cái)?shù)有關(guān)。

表2 序列長(zhǎng)度隨周期P的變化(P分解為2個(gè)素?cái)?shù)乘積)

表3 序列長(zhǎng)度隨周期P的變化(P分解為3個(gè)素?cái)?shù)乘積)Table 3 Variation of sequence length with period P (P is decomposed into prouct of three prime numbers)

表4序列長(zhǎng)度隨周期P的變化(P分解為4個(gè)以上素?cái)?shù)乘積)

Table4VariationofsequencelengthwithperiodP(Pcanbedecomposedintoproductoffourormoreprimenumbers)

復(fù)合數(shù)24364032素?cái)?shù)分解2×2×2×32×2×3×32×2×2×52×2×2×2×2序列長(zhǎng)度260498550338

5 結(jié) 論

1) 仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于結(jié)構(gòu)字典的稀疏重構(gòu)方法具有較好的性能。JLZA-RD方法具有較強(qiáng)抗噪能力和抗脈沖缺失能力，并且不受初相的改變影響。JLZA-FD方法具有較強(qiáng)抗噪能力，但是，抗脈沖缺失能力較差。2NCE-RD和PDMax方法具有較差的性能，尤其是在具有隱含子周期的混疊脈沖序列的情況。

2) 對(duì)于單周期脈沖序列，能夠正確估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長(zhǎng)度不但與脈沖序列周期的大小有關(guān)、還與分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)和其中的最大素?cái)?shù)有關(guān)。