多目標(biāo)約束的精鍛葉片幾何重構(gòu)優(yōu)化算法

馮亞洲，任軍學(xué)，梁永收，劉明山

西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

隨著大飛機(jī)的研制對航空發(fā)動機(jī)葉片高效、精密制造要求的不斷提高，新型航空發(fā)動機(jī)壓氣機(jī)大多采用近凈成形技術(shù)制造葉片毛坯[1]。精密鍛造技術(shù)就是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種少或無切削加工的工藝技術(shù)，采用精鍛工藝制造的葉片毛坯，其葉盆、葉背型面的幾何參數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求，進(jìn)/排氣邊部分因曲率半徑小、幾何形狀復(fù)雜，無法精確鍛造成形，因而留有余量，需要采用數(shù)控加工的方式去除[2]。然而，每個(gè)葉片毛坯在鍛造過程中均存在一定的工藝變形，如厚度、扭轉(zhuǎn)、位置度的變形[3]。導(dǎo)致依據(jù)設(shè)計(jì)模型加工后的進(jìn)/排氣邊與鍛造葉身無法光滑轉(zhuǎn)接，且加工后的幾何輪廓難以滿足設(shè)計(jì)要求。因此，需要采用逆向建模的方法對葉片進(jìn)行工藝模型重構(gòu)。

基于逆向工程的自適應(yīng)數(shù)控加工技術(shù)集成了數(shù)字化檢測、工件配準(zhǔn)定位、模型重構(gòu)等數(shù)字化領(lǐng)域中的多項(xiàng)技術(shù)，是實(shí)現(xiàn)復(fù)合制造工藝背景下葉片類零件高效精密加工的一種系統(tǒng)解決方案[4]。隨著數(shù)字化檢測技術(shù)的不斷提高，學(xué)者們[5-6]提出了不同的自適應(yīng)加工框架與策略，其框架的核心是基于有效測量數(shù)據(jù)重建工藝模型，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)葉片類零件的加工與修復(fù)。隨著計(jì)算機(jī)輔助幾何造型技術(shù)(Computer Aided Geometric Design, CAGD)的不斷發(fā)展，學(xué)者們針對葉片的幾何重構(gòu)方法取得了許多有價(jià)值的研究成果。為了在葉片模型重構(gòu)過程中更多地考慮設(shè)計(jì)意圖，Mohaghegh等[7-8]采用多段圓弧代替樣條曲線擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)渦輪葉片的模型重構(gòu)。在后續(xù)的研究中，引入幾何連續(xù)性約束，提高了重構(gòu)模型的精度。Dong等[9]計(jì)算了一系列圓的圓心作為中弧線，通過中弧線確定葉片截面的輪廓。Zhao等[10]在模型重構(gòu)的迭代過程中，采用了節(jié)點(diǎn)插入算法，提高了FFD算法的精度。上述研究基于完整測量數(shù)據(jù)的葉片模型重構(gòu)，然而精鍛葉片進(jìn)/排氣邊余量分布不均勻，增加了模型重構(gòu)的難度。

針對部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失的幾何重構(gòu)問題，Li和Ni[11]提出一種非剛性配準(zhǔn)算法，通過變形名義曲線來擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失部分的輪廓補(bǔ)缺。Rong等[12]通過移動模板曲線的控制點(diǎn)，使曲線通過測量的有效數(shù)據(jù)，進(jìn)而獲得數(shù)據(jù)缺失部分的輪廓。Li等[13]提出一種損傷零件的修復(fù)策略，對于損傷區(qū)域缺失的數(shù)據(jù)，采用多約束條件下的配準(zhǔn)算法對名義模型和測量數(shù)據(jù)進(jìn)行最佳擬合的方法進(jìn)行補(bǔ)缺。上述研究成功地重建了葉身區(qū)域數(shù)據(jù)缺失部分的輪廓曲線。然而，精鍛葉片需要重構(gòu)進(jìn)/排氣邊區(qū)域的工藝模型，該區(qū)域的輪廓曲線通常曲率變化較大且控制點(diǎn)數(shù)目較多。若直接采用上述文獻(xiàn)中的修改設(shè)計(jì)曲線控制點(diǎn)方法，重構(gòu)的進(jìn)/排氣邊輪廓曲線的形狀和精度難以保證。對于進(jìn)/排氣邊區(qū)域模型重構(gòu)的研究，藺小軍等[14]提出采用圓弧搜索的方法，重構(gòu)精鍛葉片進(jìn)/排氣邊的輪廓。張艷等[15]提出基于配準(zhǔn)算法的進(jìn)/排氣邊圓弧轉(zhuǎn)接重構(gòu)方法。程云勇等[16]采用基于公差約束的橢圓最小二乘迭代擬合的方法重構(gòu)進(jìn)/排氣邊輪廓。侯斐茹等[17]通過改變工件做剛性位移的余量優(yōu)化思路,建立葉身優(yōu)化模型。上述研究主要針對圓弧或橢圓弧等特殊形狀的葉片進(jìn)/排氣邊幾何重構(gòu)。

隨著航空發(fā)動機(jī)氣動性能要求的不斷提高，壓氣機(jī)葉片進(jìn)/排氣邊的輪廓不再局限于圓弧或橢圓弧形狀，逐漸采用分段樣條曲線設(shè)計(jì)其輪廓形狀，進(jìn)一步增加了葉片進(jìn)/排氣邊幾何重構(gòu)的難度。針對精鍛葉片進(jìn)/排氣邊重構(gòu)過程中的幾何不確定性問題，提出一種面向自適應(yīng)數(shù)控加工的精鍛葉片進(jìn)/排氣邊幾何重構(gòu)方案及相關(guān)算法。論文的內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了精鍛葉片自適應(yīng)數(shù)控加工方案和關(guān)鍵算法框架；第2節(jié)介紹了配準(zhǔn)算法和幾何重構(gòu)算法的求解過程；第3節(jié)通過精鍛葉片自適應(yīng)數(shù)控加工實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方案的可行性及算法的可靠性。

1 自適應(yīng)加工方案

精鍛葉片典型結(jié)構(gòu)如圖1所示。對于精鍛葉片的模型重構(gòu)，測量數(shù)據(jù)很大程度上決定著重構(gòu)輪廓的精度。然而精鍛后的葉片毛坯在進(jìn)/排氣邊區(qū)域有著不均勻的余量分布，導(dǎo)致該區(qū)域無法獲得用于模型重構(gòu)的數(shù)據(jù)，如圖2所示。由圖3可以看出，如何在滿足設(shè)計(jì)公差、輪廓形狀、光滑過渡等要求的前提下，重構(gòu)出精鍛葉片進(jìn)/排氣邊的輪廓曲線是需要解決的關(guān)鍵問題。

針對上述問題，提出一種自適應(yīng)數(shù)控加工方案，如圖4所示。

隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的發(fā)展，葉片的參數(shù)化設(shè)計(jì)方法被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機(jī)葉片制造領(lǐng)域[18]，通過定義中弧線與厚度分布構(gòu)造葉片截面幾何輪廓，如圖5所示。然而，葉片在逆向重構(gòu)過程中，通常無法直接獲得葉片實(shí)際輪廓的中弧線。因此，基于葉片設(shè)計(jì)意圖，根據(jù)葉身截面輪廓的測量數(shù)據(jù)，需要計(jì)算出距離葉盆、葉背相等的曲線，為了與設(shè)計(jì)的中弧線進(jìn)行區(qū)分，定義該曲線為重構(gòu)的軸曲線。

葉片在幾何重構(gòu)過程中遵循由二維曲線到三維曲面的葉片參數(shù)化設(shè)計(jì)原則，即先重構(gòu)葉片截面曲線進(jìn)而構(gòu)造完整工藝幾何模型。通過已知的測量數(shù)據(jù)和特征信息，自適應(yīng)幾何重構(gòu)精鍛葉片進(jìn)/排氣邊的加工工藝模型。自適應(yīng)幾何重構(gòu)算法框架如圖6所示。

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 基于公差約束的配準(zhǔn)優(yōu)化算法

最近點(diǎn)迭代(Iterative Closest Point, ICP)算法是典型的基于表面點(diǎn)集的配準(zhǔn)算法，在包含自由曲面的工件檢測中得到了廣泛的應(yīng)用。該算法的實(shí)質(zhì)是通過求取最小平方和來降低每一次迭代過程中對應(yīng)點(diǎn)集的平均誤差,以及通過查找最近鄰點(diǎn)來降低每一點(diǎn)對之間的距離。在實(shí)際配準(zhǔn)的過程中由于缺少約束條件的限制，ICP算法很容易收斂于局部最優(yōu)解。然而，精鍛后的葉片毛坯和設(shè)計(jì)模型之間存在不同程度的幾何偏差，導(dǎo)致算法即使收斂，其結(jié)果可能存在較大的偏差，無法滿足精鍛葉片自適應(yīng)加工的要求。而粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法是以一個(gè)給定的目標(biāo)在迭代過程中不斷地對結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)果的全局最優(yōu)，常被用于對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。因此，需要在ICP算法配準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，建立基于公差約束的配準(zhǔn)目標(biāo)函數(shù)，并采用PSO算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，最大程度地將測量點(diǎn)集約束在設(shè)計(jì)公差范圍內(nèi)。

2.1.1 公差約束

以設(shè)計(jì)模型曲面S為基準(zhǔn)，其輪廓上下偏差S1和S2之間所形成區(qū)域稱為約束區(qū)域，約束區(qū)域外的區(qū)域?yàn)樽杂蓞^(qū)域，如圖3所示。

通過判斷數(shù)據(jù)點(diǎn)是否位于等距曲面S1與S2之間的區(qū)域，來確定該點(diǎn)在配準(zhǔn)過程中不同的權(quán)值。其中，權(quán)因子wi是與點(diǎn)到曲面距離有關(guān)的函數(shù)，可表示為

(1)

2.1.2 配準(zhǔn)優(yōu)化算法

對于零件測量數(shù)據(jù)和理論模型的配準(zhǔn)問題，就是要找到最優(yōu)的變換方式，使得目標(biāo)函數(shù)在約束條件下最小。其目標(biāo)函數(shù)為

(2)

目標(biāo)函數(shù)引入約束區(qū)域權(quán)因子，被定義為待配準(zhǔn)模型上的測量數(shù)據(jù)到理論模型的加權(quán)距離平方和。式(2)中點(diǎn)Pi(i=1,2,…,N)為待配準(zhǔn)模型上的測量數(shù)據(jù)，點(diǎn)Pc,i為點(diǎn)Pi在理論模型曲面上的最近點(diǎn)，wi是配準(zhǔn)約束區(qū)域權(quán)因子，矩陣R(Δα, Δβ, Δγ) 為旋轉(zhuǎn)矩陣, 表示繞3個(gè)坐標(biāo)軸的角度參數(shù);T(Δx, Δy, Δz)為平移矩陣，分別表示沿3個(gè)坐標(biāo)軸的平移參數(shù)。通過計(jì)算參數(shù)(α,β,γ,T0,T1,T2)的最優(yōu)解，直到目標(biāo)函數(shù)最小。以超差點(diǎn)的比例最小作為目標(biāo)對ICP算法的配準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(3)

式中：參數(shù)nout表示配準(zhǔn)后超出葉片公差帶范圍的測量點(diǎn)數(shù)目；參數(shù)n表示用于配準(zhǔn)的測量點(diǎn)數(shù)目。

2.1.3 目標(biāo)函數(shù)求解

采用PSO算法對上述配準(zhǔn)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。PSO算法基于群體智能方法的演化計(jì)算技術(shù)，主要用來求全局最優(yōu)解，是一種高效的并行優(yōu)化方法。PSO算法中選擇沿著坐標(biāo)軸X、Y、Z的3個(gè)平移分量Δx、Δy、Δz和2個(gè)旋轉(zhuǎn)分量Δα、Δβ(參數(shù)Δγ可以通過其他5個(gè)參數(shù)確定)組成粒子群算法的優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)為

GTP=(Δx,Δy,Δz,Δα,Δβ)

(4)

根據(jù)式(3)的配準(zhǔn)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可以構(gòu)造出PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)為

(5)

PSO算法在實(shí)現(xiàn)過程中，通常還需要指定搜索空間，即各個(gè)參數(shù)變動的范圍。在ICP配準(zhǔn)算法的基礎(chǔ)上對結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，只需給定較小的搜索空間，記為(ui,l,ui,h)，其中1≤i≤5表示5個(gè)待優(yōu)化參數(shù)各自的搜索空間。

如圖7所示，通過測量數(shù)據(jù)與設(shè)計(jì)輪廓的配準(zhǔn)，可以確定進(jìn)/排氣邊待加工區(qū)域的余量分布，從而建立實(shí)際鍛造輪廓與設(shè)計(jì)輪廓的幾何對應(yīng)關(guān)系。基于這種對應(yīng)關(guān)系，可以確定鍛造輪廓的進(jìn)/排氣邊與葉身型面分界點(diǎn)為Pf,1和Pf,2，設(shè)計(jì)輪廓進(jìn)/排氣邊與葉身型面分界點(diǎn)為Pd,1和Pd,2。

2.2 輪廓預(yù)測與幾何重構(gòu)

通過葉身測量數(shù)據(jù)與設(shè)計(jì)模型建立軸曲線偏差模型和截面厚度變形模型，預(yù)測進(jìn)/排氣邊部分的變形和厚度偏差，在此基礎(chǔ)上，采用軸曲線變形映射方法重構(gòu)進(jìn)/排氣邊的幾何輪廓；通過修改理論模型控制點(diǎn)方法重構(gòu)截面曲線，葉片截面幾何重構(gòu)過程中引入最小二乘曲線逼近和應(yīng)變能變化最小作為約束條件，對重構(gòu)曲線的精度和光順性進(jìn)行優(yōu)化。其過程主要包括2個(gè)階段，分別是葉片截面軸曲線的重建和幾何輪廓的重建。第1階段可以概括為兩步：首先計(jì)算設(shè)計(jì)輪廓和鍛造輪廓的軸曲線；其次，預(yù)測和重構(gòu)鍛造輪廓軸曲線的缺失部分。第2階段可以概括為兩步：重構(gòu)進(jìn)/排氣邊輪廓曲線；光順輪廓曲線。

2.2.1 缺失軸曲線的預(yù)測與重構(gòu)

軸曲線是由平面內(nèi)葉盆、葉背曲線的等距點(diǎn)集構(gòu)造的曲線。對于葉片截面輪廓軸曲線的構(gòu)造，采用最近點(diǎn)迭代搜索算法進(jìn)行求解，此處不做展開討論。如圖8所示，計(jì)算的設(shè)計(jì)輪廓軸曲線和鍛造輪廓軸曲線分別表示為Cd和Cf,b，其中鍛造輪廓進(jìn)/排氣邊區(qū)域的余量分布，在軸曲線的計(jì)算過程中這部分曲線是缺失的，需要基于兩條軸曲線的偏差趨勢預(yù)測缺失軸曲線的目標(biāo)點(diǎn)，進(jìn)而將軸曲線Cf,b延拓至目標(biāo)點(diǎn)。

由于兩條曲線的偏差較小，偏差趨勢是通過曲線Cf,b到曲線Cd的采樣點(diǎn)之間的距離來表示，其中采樣點(diǎn)按照等弧長分布在曲線上。如圖9所示，曲線Cf,b上第i(1≤i≤N) 個(gè)采樣點(diǎn)Pd,i到曲線Cd對應(yīng)的距離為di。為了尋找目標(biāo)點(diǎn)Pf,e，采用三次樣條插值算法構(gòu)造距離di與采樣點(diǎn)Pd,i之間變化的偏差函數(shù)。將這個(gè)偏差函數(shù)用于計(jì)算曲線Cd端點(diǎn)Pd,e處的偏差距離dr，通過定義端點(diǎn)Pd,e在曲線Cd上的單位法向量Nd,e，軸曲線Cf,b的目標(biāo)點(diǎn)Pf,e的位置可以表示為

Pf,e=Pd,e+Nd,e·dr

(6)

當(dāng)計(jì)算出目標(biāo)點(diǎn)Pf,e，需要對缺失的軸曲線Cf,pa進(jìn)行預(yù)測和重構(gòu)。如圖10所示，曲線Cf,pa的兩個(gè)端點(diǎn)分別滿足兩個(gè)不同的約束條件。一個(gè)端點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)Pf,e重合，另一個(gè)端點(diǎn)與曲線Cf,b在點(diǎn)Pf,N處滿足G2連續(xù)。

定義一條參數(shù)為u，4個(gè)控制點(diǎn)分別為Q0、Q1、Q2和Q3的Bézier曲線用于表示需要預(yù)測和重構(gòu)曲線Cf,pa，表達(dá)式為

Cf,pa(u)=(1-u)3Q0+3(1-u)2uQ1+

3(1-u)u2Q2+u3Q3

(7)

對于上述約束條件，已知曲線Cf,pa的控制點(diǎn)Q3=Pf,e，Q0=Pf,N，則需要求解的控制點(diǎn)Q1和Q2分別表示為

(8)

式中：點(diǎn)Pf,N、P1和P2分別為曲線Cf,b的控制點(diǎn)；參數(shù)α和γ為形狀系數(shù)，決定了曲線Cf,pa的幾何形狀。對于參數(shù)α和γ的求解，采用能量法進(jìn)行約束，文獻(xiàn)[19]中曲線應(yīng)變能被表示為

(9)

合并式(8)和式(9)，那么求解參數(shù)α和γ的目標(biāo)函數(shù)可以被表示為

(10)

式中：矩陣Aα, γ, u=[u-α+γ(1-3u) -α2(1-3u)]，BP=[Pf,e-Pf,NPf,N-P2P2-P1]T。為了提高預(yù)測曲線的光順性，采用曲線Cf,pa的應(yīng)變能最小對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，求解方程被表示為

(11)

將目標(biāo)函數(shù)式(10)代入到式(11)，可以計(jì)算出參數(shù)α和γ的值。將α和γ代入到式(8)中，計(jì)算出曲線Cf,pa的未知控制點(diǎn)Q1和Q2，進(jìn)而得到需要預(yù)測和重構(gòu)的缺失部分軸曲線Cf,pa。

2.2.2 幾何輪廓重構(gòu)與光順

為了提高進(jìn)/排氣邊輪廓的預(yù)測精度，采用基于軸曲線變形映射的方法重構(gòu)葉片輪廓。通過建立葉身輪廓的變形函數(shù)，預(yù)測出進(jìn)/排氣邊輪廓的變形量，并引入到變形映射模型中，進(jìn)而重構(gòu)出葉片進(jìn)/排氣邊輪廓曲線。

本節(jié)所采用的映射關(guān)系是基于2.1節(jié)配準(zhǔn)結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系建立的。假設(shè)曲線Cd上的一個(gè)采樣點(diǎn)為Pda,i，其單位法向量為Nda,i可以通過曲線表達(dá)式計(jì)算。則曲線Cf上的對應(yīng)點(diǎn)為Pfa,i，其單位法向量為Nfa,i。同理，設(shè)計(jì)輪廓曲線上的對應(yīng)點(diǎn)為Pdp,i，單位法向量為Nda,i。則設(shè)計(jì)輪廓在點(diǎn)Pda,i處的葉片厚度Li=|Pdp,i-Pda,i|。那么，重構(gòu)曲線上的映射點(diǎn)Pmp,i可以被表示為

Pmp,i=Pfa,i+|Pdp,i-Pda,i|Nfa,i

(12)

精鍛葉片葉身部分的輪廓厚度可能存在不同程度的變形。為了適應(yīng)葉身的變形趨勢，重構(gòu)曲線的厚度需要調(diào)整。通過對比鍛造輪廓與設(shè)計(jì)輪廓的厚度變化，建立用于評價(jià)變形趨勢的厚度變形函數(shù)，進(jìn)而預(yù)測出進(jìn)/排氣邊上各點(diǎn)的厚度變化。評價(jià)函數(shù)的建立方法與2.1節(jié)中偏差函數(shù)類似，此處不再重復(fù)。將厚度變化代入到式(12)中，得到重構(gòu)曲線上點(diǎn)Pmp,i新的位置信息。對所有的采樣點(diǎn)執(zhí)行該步驟，直到重構(gòu)的輪廓曲線Cf,re可以被點(diǎn)Pmp,i計(jì)算并表示，如圖11所示。

如圖11所示，重構(gòu)的輪廓曲線Cf,re與設(shè)計(jì)輪廓曲線對比可能存在不光順的情況，而進(jìn)/排氣邊幾何形狀的變化，直接影響航空發(fā)動機(jī)的氣動性能，因此需要對其進(jìn)行光順重構(gòu)。對于曲線的光順性，較為公認(rèn)的光順準(zhǔn)則[20]：① 二階幾何連續(xù)；② 沒有多余拐點(diǎn)；③ 曲率變化較均勻；④ 應(yīng)變能較小?？紤]到設(shè)計(jì)輪廓曲線直接反映葉片的設(shè)計(jì)意圖，在輪廓曲線的重構(gòu)過程中，采用修改設(shè)計(jì)輪廓曲線控制點(diǎn)的方法逼近重構(gòu)的輪廓點(diǎn)Pmp,i。在設(shè)計(jì)曲線的修改和逼近過程中，建立應(yīng)變能變化最小目標(biāo)函數(shù)，使新構(gòu)造的輪廓曲線Cf,sr滿足光順性和幾何相似性要求，如圖12所示。

定義設(shè)計(jì)輪廓曲線Cdp是一條三次樣條曲線，曲線參數(shù)為v(0≤v≤1)，控制點(diǎn)為Pi(0≤i≤n)，三次樣條基函數(shù)為Ni,3(v)。那么該曲線可以被表示為[21]

(13)

當(dāng)曲線Cdp的控制點(diǎn)Pi被修改，且改變量為ΔPi時(shí)。重構(gòu)的輪廓曲線可表示為[21]

(14)

考慮到重構(gòu)曲線的光順性與幾何相似性要求，基于曲線應(yīng)變能偏差最小建立光順目標(biāo)函數(shù)為

(15)

由式(15)可以看出，采用單一目標(biāo)函數(shù)ΔEmin對重構(gòu)曲線Cmp進(jìn)行光順，雖然可以獲得與設(shè)計(jì)曲線Cdp近似的幾何輪廓，但是該輪廓與點(diǎn)Pmp,i之間可能出現(xiàn)較大的偏差。為了滿足光順后的重構(gòu)曲線Cmp盡可能地逼近點(diǎn)Pmp,i，引入最小二乘誤差作為目標(biāo)函數(shù)。該函數(shù)被表示為

(16)

因此，合并后的多目標(biāo)函數(shù)Fmin可以被表示為

Fmin=min((1-ω)ΔD+ωΔE)

(17)

式(17)中權(quán)重系數(shù)ω的取值大小與曲線的參數(shù)有關(guān)，此處根據(jù)曲線重構(gòu)的設(shè)計(jì)要求對其賦值。對于多目標(biāo)函數(shù)Fmin的求解采用求偏導(dǎo)的方法:

?Fmin/?(ΔP)=0

(18)

將式(17)代入式(18)，則目標(biāo)函數(shù)求解的矩陣表達(dá)式可以表示為

(19)

式中:R為一個(gè)(K+1)×1 矩陣，其中第k個(gè)元素為Rk=Pmp,k；N為一個(gè)(K+1)×(n+1)矩陣，其第k行i列的元素為Ni,3(vk)；vk為曲線Cmp上一點(diǎn)的參數(shù)，且該點(diǎn)是點(diǎn)Pmp,k到曲線Cmp的最近點(diǎn)。通過分配權(quán)重系數(shù)ω，求解出曲線每個(gè)控制點(diǎn)Pi的改變量ΔPi。將求解的改變量ΔPi代入式(14)，獲得光順后新構(gòu)造的輪廓曲線Cf,sr，如圖12所示。最終對重構(gòu)的不同截面曲線采用放樣方法生成完整的輪廓曲面用于葉片的自適應(yīng)加工。

3 應(yīng)用與實(shí)驗(yàn)

3.1 系統(tǒng)開發(fā)

自適應(yīng)數(shù)控加工系統(tǒng)采用模塊化的方式進(jìn)行開發(fā)，包含5個(gè)主要的模塊：測量模塊、配準(zhǔn)模塊、模型重構(gòu)模塊、數(shù)控加工模塊和輔助功能模塊。其中各個(gè)模塊所實(shí)現(xiàn)的功能如圖13所示。該系統(tǒng)在UG NX通用軟件上采用C語言開發(fā)，通過UG Open/API接口與UG NX進(jìn)行集成。在該系統(tǒng)平臺上，通過調(diào)用UG建模、圖形顯示以及基本幾何圖形算法等，實(shí)現(xiàn)了各種關(guān)鍵技術(shù)的有機(jī)集成。

3.2 加工實(shí)驗(yàn)

某型號航空發(fā)動機(jī)精鍛葉片被用于驗(yàn)證提出的方案和算法，精鍛葉片材料為Ti-6Al-4V，這是一種在航空發(fā)動機(jī)工業(yè)中廣泛使用的鈦合金材料。葉片的長和寬大約為55 mm和35 mm，平均厚度為0.6 mm。葉片在數(shù)控加工過程中，采用在機(jī)測量的方式很大程度上減少了工件重復(fù)裝夾帶來的誤差，而非接觸測量相比較傳統(tǒng)的接觸式測量一定程度上提高測量的效率，同時(shí)避免接觸式測頭半徑補(bǔ)償帶來的誤差，需要注意的是非接觸測量機(jī)的測量精度容易受到切削液、環(huán)境溫度等因素的影響?？紤]到測量效率在自適應(yīng)加工中的重要性，實(shí)驗(yàn)采用非接觸在機(jī)測量系統(tǒng)(303LP-A)在五坐標(biāo)葉片加工中心(XKH800)上完成葉片數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣，其中光學(xué)測頭精度為20 μm，掃描模式下測量速度最大為4 200點(diǎn)/分鐘。如圖14所示，系統(tǒng)中的光學(xué)測頭通過刀柄與機(jī)床主軸連接，能夠?qū)崿F(xiàn)加工過程中的自動換刀，同時(shí)測量的結(jié)果通過無線傳輸?shù)姆绞絺鬏數(shù)焦ぷ髡具M(jìn)行實(shí)時(shí)分析和幾何重構(gòu)。

精鍛后的葉片毛坯在自適應(yīng)數(shù)控加工之前，需要以葉身進(jìn)行定位，在葉片榫頭鍛造余量較大的位置加工出一個(gè)方形基準(zhǔn)，并以該基準(zhǔn)作為葉片的測量基準(zhǔn)。通過測量方形基準(zhǔn)，建立葉片的測量坐標(biāo)系，進(jìn)而對規(guī)劃的待測點(diǎn)進(jìn)行測量。測量的數(shù)據(jù)需要與設(shè)計(jì)模型在公差約束條件下進(jìn)行配準(zhǔn)定位，進(jìn)一步提高數(shù)據(jù)的匹配精度。2.2節(jié)中提出的幾何重構(gòu)算法是遵循葉片二維截面到三維模型的設(shè)計(jì)原則，而配準(zhǔn)后的測量數(shù)據(jù)與設(shè)計(jì)截面可能不在同一平面內(nèi)，因此需要依據(jù)設(shè)計(jì)截面提取幾何重構(gòu)所需的截面點(diǎn)。此處采用點(diǎn)-面-線-點(diǎn)的方式進(jìn)行截取。首先采用三次樣條函數(shù)將配準(zhǔn)后的測量數(shù)據(jù)分別擬合成葉背和葉盆曲面[20]。其次，按照葉片設(shè)計(jì)模型的截面高度在擬合的葉盆和葉背曲面上分別截取不同高度的截面曲線。最后，采用離散的方法將截面線轉(zhuǎn)換成幾何重構(gòu)所需的截面點(diǎn)。

3.2.1 配準(zhǔn)結(jié)果分析

葉片進(jìn)/排氣邊輪廓的設(shè)計(jì)公差要求為下偏差-0.03 mm，輪廓上偏差0.05 mm。測量數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目為180個(gè)，采用ICP算法配準(zhǔn)總計(jì)迭代100次，過程耗費(fèi)的時(shí)間約為20 s，配準(zhǔn)結(jié)果有25個(gè)超差點(diǎn)，配準(zhǔn)過程中3個(gè)平移分量和3個(gè)旋轉(zhuǎn)分量隨著迭代次數(shù)的變化規(guī)律如圖15和圖16所示。

可以看出ICP算法迭代到100次的時(shí)候6個(gè)變量幾乎趨于穩(wěn)定，表明ICP算法已經(jīng)收斂，但是此時(shí)仍然有25個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)處于公差帶范圍之外。采用PSO配準(zhǔn)優(yōu)化算法對ICP算法的配準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，迭代到第266次時(shí)超差點(diǎn)個(gè)數(shù)降低到14個(gè)。結(jié)果表明PSO算法能通過對給定的可能性空間進(jìn)行搜索使得更多的點(diǎn)處于公差帶范圍之內(nèi)，配準(zhǔn)精度要優(yōu)于ICP算法。實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)毛坯和理論模型不一致時(shí)，采用PSO算法對ICP算法的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，能夠進(jìn)一步提高配準(zhǔn)定位的精度。

3.2.2 進(jìn)/排氣邊幾何重構(gòu)

根據(jù)提出的自適應(yīng)幾何重構(gòu)算法，分別預(yù)測和重構(gòu)精鍛葉片進(jìn)/排氣邊的9個(gè)截面輪廓。選取其中一個(gè)截面作為例子來顯示結(jié)果。這條截面線由一個(gè)三次樣條曲線表示，有18個(gè)控制點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)這個(gè)截面重構(gòu)算法的總運(yùn)行時(shí)間為317.72 s。需要指出的是，該算法的效率與控制點(diǎn)數(shù)量密切相關(guān)。圖17比較了該截面進(jìn)氣邊的設(shè)計(jì)輪廓、鍛造輪廓、重構(gòu)輪廓和光順后的輪廓。可以看出，盡管精鍛葉片的厚度大于設(shè)計(jì)模型，幾何重構(gòu)的光順輪廓依然位于毛坯余量中，并與設(shè)計(jì)輪廓相似。

根據(jù)上述算法重構(gòu)的進(jìn)/排氣邊輪廓，自適應(yīng)規(guī)劃加工刀位軌跡，如圖18所示。在五坐標(biāo)數(shù)控加工中心完成精鍛葉片的數(shù)控加工，如圖19所示。圖20可以看出精鍛葉片葉身型面被精鍛成型，不需要加工。而進(jìn)/排氣邊部分的鍛造余量已經(jīng)被去除。

為了評價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將加工后的精鍛葉片在三坐標(biāo)測量機(jī)(Brown & Sharp 121510)上進(jìn)行檢測，并使用葉片專用評價(jià)軟件(BLADE)對檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。檢測結(jié)果如圖21所示，標(biāo)注的兩個(gè)線框分別描述加工后的進(jìn)/排氣邊厚度偏差和輪廓度偏差，其檢測結(jié)果均滿足設(shè)計(jì)公差要求。需要說明的是，對于葉身部分的局部超差，與葉片毛坯質(zhì)量有關(guān)，配準(zhǔn)過程中存在超差點(diǎn)。該部分不需要進(jìn)行數(shù)控加工，不是本文所關(guān)注的問題。

4 結(jié) 論

1) 建立基于公差約束的配準(zhǔn)算法目標(biāo)函數(shù)，并采用PSO算法對配準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，提高了測量數(shù)據(jù)與設(shè)計(jì)模型的配準(zhǔn)精度。

2) 提出基于葉片變形趨勢延拓的幾何重構(gòu)算法，預(yù)測出了進(jìn)/排氣邊數(shù)據(jù)缺失部分的幾何輪廓。

3) 建立多約束條件下的幾何重構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，光順重構(gòu)出了輪廓曲線且滿足幾何相似性要求。在此基礎(chǔ)上，完成自適應(yīng)加工實(shí)驗(yàn)，檢測結(jié)果滿足設(shè)計(jì)公差要求。