一個(gè)圓錐曲線性質(zhì)的推廣

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 偰永鋒

文[1]給出了橢圓和雙曲線如下共有的性質(zhì)：

結(jié)論4 已知A、B為橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若過其焦點(diǎn)F的直線AF與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則直線BC與橢圓E的長軸的交點(diǎn)即為相應(yīng)準(zhǔn)線與長軸的交點(diǎn).

結(jié)論5 已知A、B為橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，其準(zhǔn)線與長軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，則過橢圓E的相應(yīng)焦點(diǎn)的直線AF與直線BM的交點(diǎn)在該橢圓上.

筆者借助幾何畫板對上面的性質(zhì)探究時(shí)發(fā)現(xiàn)對于結(jié)論4和5中的A、B不必是短軸頂點(diǎn)，只要是橢圓上關(guān)于長軸對稱的兩點(diǎn)即可，該性質(zhì)其實(shí)是橢圓焦點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)，并且這個(gè)性質(zhì)可以推廣到雙曲線上.對于結(jié)論6中的A、B不必是虛軸頂點(diǎn)，只要是虛軸所在直線上關(guān)于實(shí)軸對稱的兩點(diǎn)即可.

圖1

推廣1 如圖1，已知A、B為橢圓E上關(guān)于長軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)F及直線l為橢圓的焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線，直線AF與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則直線BC與橢圓E的長軸的交點(diǎn)M即為準(zhǔn)線l與長軸的交點(diǎn).反之也成立.

所以直線BC與橢圓E的長軸的交點(diǎn)M即為準(zhǔn)線l與長軸的交點(diǎn).

圖2

推廣2 如圖2，已知A、B為雙曲線E上關(guān)于實(shí)軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)F及直線l為雙曲線的焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線，直線AF與雙曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則直線BC與雙曲線E的實(shí)軸的交點(diǎn)M即為準(zhǔn)線l與實(shí)軸的交點(diǎn).反之也成立.

證明過程與推廣1類似，此處從略.

圖3