具有2T1R與2R1T運動模式3自由度并聯(lián)機構型綜合

劉 偉 劉宏昭

(1.西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安 710048; 2.西安工程大學機電工程學院，西安 710048)

0 引言

近些年關于并聯(lián)機構的型綜合研究主要集中在通過并聯(lián)機構型綜合，降低機構的耦合來提升并聯(lián)機構運動性能和可控性[1]，增大機構的耦合來提升機構剛度[2]，提升并聯(lián)機構的可重構性以適應不同的工作需要[3]。

具有2T1R運動模式的并聯(lián)機構在工業(yè)裝配機器人、姿態(tài)調(diào)節(jié)器、并聯(lián)機床、工作臺等領域應用比較廣泛[4-5]。具有2R1T運動模式的并聯(lián)機構，適合應用于在曲面上工作的操作手，具有剛度高、精確度高、靈巧性強等特點[6]。文獻[7]對2R并聯(lián)機構進行了運動解耦方面的設計。文獻[8]對2R2T完全解耦的并聯(lián)機構進行了綜合。具有多種運動模式的并聯(lián)機構使用較少的驅動可實現(xiàn)多種運動模式，以較少的成本可以提升機器適應實際工業(yè)生產(chǎn)中多樣的需求。具有多種運動模式的并聯(lián)機構，也稱為具有多種操作模式、位移子群可變、具有運動分岔或者可重構并聯(lián)機構。其特征為：較少的驅動副可以實現(xiàn)多種運動模式；運動模式變換時不需要對機構進行重新組裝，因而可以快速實現(xiàn)機構重構；一些此類并聯(lián)機構在進行運動模式變換時，需要通過機構的奇異位形[9]。DYMO并聯(lián)機構具有4種不同的3自由度運動模式[10]。文獻[11]使用虛擬運動鏈，先對不同運動模式的并聯(lián)機構支鏈進行型綜合，選擇兩種運動模式共有的支鏈結構作為可選支鏈，再結合不同運動模式支鏈裝配的幾何條件，綜合了具有多種運動模式的并聯(lián)機構。文獻[12]使用具有多種運動模式的單環(huán)機構綜合了可實現(xiàn)3R2T與2R3T[13]兩種運動模式相互轉變的并聯(lián)機構。文獻[14]綜合了實現(xiàn)3T、3R、2R1T、2T1R三自由度運動模式相互轉換的并聯(lián)機構。這些并聯(lián)機構可以實現(xiàn)多種運動模式變換，絕大多數(shù)需要使用含有多個驅動副的單環(huán)機構。文獻[15]基于方位特征集，使用可變自由度支鏈、定自由度支鏈、六自由度支鏈綜合了具有兩轉兩平移和一轉三平移的并聯(lián)機構[16]。

然而，目前實現(xiàn)2T1R與2R1T運動模式轉變的并聯(lián)機構較少，本文使用位移流形理論對此類型的并聯(lián)機構進行綜合。

1 分支運動鏈綜合

使用Oxyz表示笛卡爾坐標系，其原點為O，正交基為(x，y，z)。使用(A，z)表示通過空間中一點A，方向平行于z的直線，結合運動副類型表示運動副的方向和運動副軸線上的點。平行于z軸過點N的轉動副對應的位移子群用{R(N,z)}表示。平行于軸線z的轉動副表示為zR。一條串聯(lián)運動鏈由構件1，2，…，i-1，i組成。構件i的可允許的位移可以表示為運動鏈中運動副所表示的位移子群的乘積。一個構件通過zRzRzR運動鏈與定平臺相連，這個運動鏈產(chǎn)生一個平面3維位移子群{G(z)}。如果運動鏈產(chǎn)生的相對于定平臺的運動不具有群的結構，就稱其產(chǎn)生一個位移流形。

{G(z)}表示平面位移子群，z表示平面位移運動所在平面的法線方向。{G(z)}可以被分解成為7種乘積形式[17],即

{G(z)}={T1(x)}{T1(y)}{R(N,z)}=
{R(N,z)}{T1(x)}{T1(y)}=
{T1(x)}{R(N,z)}{T1(y)}=
{R(A,z)}{R(B,z)}{T1(y)}=
{R(A,z)}{T1(y)}{R(B,z)}=
{T1(y)}{R(A,z)}{R(B,z)}=
{R(A,z)}{R(B,z)}{R(C,z)}

(1)

{G(z)}具有7種等效運動鏈。它們是xPyPzR、zRxPyP、xPzRyP、zRzRxP、zRxPzR、xPzRzR和zRzRzR。

1.1 構造定自由度運動鏈

HERVE[18]給出了位移子群兩兩求交以及乘法運算的運算結果，并指出位移子群求交集的運算滿足一般集合論中的求交法則。而在更多情況下由運動鏈(多個運動副組合而成)生成的剛體運動并不能滿足位移群的代數(shù)結構，而只是其中的位移子流形。

運動副和運動鏈可直接作為位移子群或位移子流形的生成元(或生成算子)；相應地，運動鏈末端相對于固定端的任一運動，無論其多么復雜，都可以表示成若干位移子群或位移子流形以及它們之間的乘積形式。通常情況下，運動鏈末端的運動可由運動鏈中所有低副生成的位移子群的乘積來決定。這些位移子群的乘積可能仍然是位移子群，但在大多數(shù)情況下這個乘積不具有群的代數(shù)結構，只是一個位移子流形。

M=M1‖…Mk表示由k條串聯(lián)的運動鏈M1，M2，…，Mk組成的并聯(lián)機構，它們都與共同的動平臺和定平臺相連接。用符號C表示機構末端的運動，則并聯(lián)機構動平臺的運動可表示為

CM：=CM1∩CM2∩…∩CMk

(2)

由式(2)可知，動平臺的運動應該是并聯(lián)機構支鏈運動的交集。

定理1：任意位移子群的乘積運動A·B可能構成位移子群，也可能不具有群的代數(shù)結構，只是一個位移子流形。一般情況下不滿足交換律，即A·B≠B·A。但是如果滿足交換律A·B=B·A，則A·B也是位移子群[19]。

由于并聯(lián)機構的動平臺運動模式需從2T1R向2R1T轉變，根據(jù)式(2)的求交運算可知，并聯(lián)機構的分支運動鏈，應至少可以實現(xiàn)2R2T的運動。2T1R是平面位移子群{G(z)}。{R(x)}是一維轉動子群。2R2T不屬于HERVE[18]枚舉出的剛體運動中存在的全部12種位移子群。因而，根據(jù)定理1可知2R2T是位移流形。具有2R2T位移流形的支鏈，可以通過對具有2T1R平面位移子群的支鏈進行等效替代得到：xPyPzRxR、zRxPyPxR、xPzRyPxR、zRzRxPxR、zRxPzRxR、xPzRzRxR、zRzRzRxR。

由于6自由度支鏈不給動平臺施加約束，因而也可用來實現(xiàn)2R1T運動模式向2T1R運動模式轉變的并聯(lián)機構的構造。GOGU[20]使用進化形態(tài)理論，對6自由度分支運動鏈進行了綜合，具體運動鏈結構如表1所示，表1中22～24號支鏈中存在局部自由度，表1中其他的運動鏈中不存在局部自由度。除了表1中的運動鏈以外，還有一些運動鏈中含有與2個以上構件相連的構件，即復雜運動鏈，也具有6自由度。

表1 6自由度支鏈等效運動鏈Tab.1 Equivalent kinematic chain of fixed six degrees of freedom branches kinematic chain

1.2 基于位移流形理論選取變自由度分支運動鏈

一般情況下，并聯(lián)機構支鏈結構可以根據(jù)位移子群或位移流形的生成元得到。定自由度支鏈位移流形為

{R(O,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}

(3)

根據(jù)動平臺具有的運動模式，構造變自由度運動鏈生成元為

{R(O,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}∩

({R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{R(C,y)}{R(B,z)}∪
{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(C,x)}{R(B,z)})

(4)

由于{R(O,z)}{T1(x)}{T1(y)}、{T1(y)}{T1(z)}{R(C,x)}平面位移子群在位移流形求交時，轉動副R所過的點在xoy、yoz平面可任意選取，得到

{R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}∩
{R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{R(N,y)}{R(B,z)}∪

({R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}∩
{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(N,x)}{R(B,z)}

(5)

由于{R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}與{R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{R(N,y)}{R(B,z)}的交集中必定不含有{R(N,y)}，得到

({R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}∩
{R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{R(B,z)})∪
{R(A,z)}{T1(y)}{R(N,x)}

(6)

由于{T1(z)}{R(B,z)}構成位移子群，得到

{R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{R(B,z)}=
{R(A,z)}{T1(x)}{R(B,z)}{T1(z)}

(7)

{R(A,z)}{T1(x)}{R(B,z)}構成平面位移子群，得到

{R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}{T1(z)}

(8)

將式(8)代入式(6)得到

({R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}{R(N,x)}∩
{R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{T1(y)})∪
{R(A,z)}{T1(y)}{R(N,x)}

(9)

根據(jù)式(9)得到

{R(A,z)}{T1(x)}{T1(y)}∪
{R(A,z)}{T1(x)}{R(N,x)}

(10)

從式(4)、(10)可知，能用來實現(xiàn)2R1T運動模式向2T1R轉變的位移流形生成元應具有的形式為

{R(A,z)}{T1(x)}{T1(z)}{R(C,y)}{R(B,z)}∪
{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(C,x)}{R(B,z)}

(11)

根據(jù)式(11)中生成元對應的運動鏈為zRyPzPxRzR、zRxRzPyPzR、zRyPxRzPzR、zRxRxRzPzR、zRxRyPxRzR、zRyPxRxRzR、zRxRxRxRzR。

1.3 變自由度支鏈位形變換分析

以zRxRxRxRzR分支為例，如圖1a支鏈zRxRxRxRzR中2個相鄰的轉軸通過一點時，可形成萬向鉸，可得到支鏈zxUxRxzU。2個zR轉軸共線時，支鏈末端的位移流形可表示為

{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(C,x)}{R(A,z)}

(12)

此時支鏈存在一個繞z軸的局部轉動自由度。當支鏈末端沿y軸移動有限位移，得到如圖1b支鏈位形，此時支鏈末端的位移流形可表示為

{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(C,x)}{R(B,z)}

(13)

當支鏈位形如圖1b所示，支鏈末端繞x軸做有限轉動，得到圖1c所示位形，此時支鏈末端的位移流形可表示為

{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(C,x)}{R(D,u)}

(14)

式(14)中1維轉動流形{R(D,u)}中的 轉軸u表示支鏈末端轉軸繞x軸轉動后得到的新的轉動軸線。當支鏈處于位形圖1a，支鏈末端位置姿態(tài)保持不變，支鏈存在1個繞z軸的局部轉動自由度，裝配在定平臺上沿z軸轉動后得到支鏈位形如圖1d所示，此時支鏈末端的位移流形可表示為

{R(A,z)}{T1(y)}{T1(z)}{R(C,y)}{R(A,z)}

(15)

同理支鏈末端在進行有限位移后，得到支鏈位形如圖1e、1f所示，從而支鏈末端的位移流形發(fā)生相應的變化。

圖1 變自由度支鏈變換位形Fig.1 Transform configuration of branched chain with variable degrees of freedom

1.4 綜合出的機構數(shù)目

分別從1.1節(jié)中具有2R2T位移流形的支鏈選取1條支鏈作為支鏈1，式(11)生成元對應的支鏈選取1條支鏈作為支鏈2，表1中的6自由度支鏈選取1條支鏈作為支鏈3，總共3條支鏈，連接動、靜平臺。第1支鏈，有7種支鏈結構；第2支鏈，有24種支鏈結構；第3支鏈，有7種支鏈結構。如果不考慮相鄰兩個單自由度運動副組合成多自由度運動副，也不考慮復雜運動鏈，則可得到7×24×7=1 176種機構構型。

2 并聯(lián)機構運動模式2T1R向2R1T轉變的自由度分析

2.1 2T1R運動模式自由度分析

現(xiàn)選取定自由度分支，即第1條支鏈B1A1，其結構為zRzRzRxR。選取變自由度分支，即第2條支鏈B2A2，其結構為zyUyRyzU。選取第3條支鏈B3A3，其結構為SPS。把3個支鏈與動平臺、定平臺組裝后得到圖2中的機構位形。

圖2 具有2T1R運動模式的并聯(lián)機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of parallel mechanism with 2T1R motion mode

在Bi點建立坐標系Bixiyizi，圖2中的第1支鏈在坐標系B1x1y1z1下的運動螺旋可表示為

(16)

式(16)中螺旋$ij表示支鏈i連接在定平臺上的第j個運動副。在支鏈1的一般位形下，式(16)中的4個運動螺旋線性無關，支鏈1在坐標系B1x1y1z1下的約束反螺旋為

(17)

圖2中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(18)

式(18)中的5個運動螺旋線性無關，支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(19)

由于支鏈3不對定平臺施加約束，因而動平臺上施加的約束如式(17)、(19)所示，圖2中動平臺上所施加的1個力螺旋和2個力偶線性無關，分別限制了動平臺沿定坐標Z軸的移動和沿平行于定坐標系X、Y軸的轉動。動平臺上施加的約束系不存在冗余約束，即υ=0。

采用修正的Kutzbach-Grübler公式計算機構自由度

M=6(n-g-1)+∑fi+υ

(20)

式中M——機構自由度

n——機構構件總數(shù)

g——機構的運動副數(shù)

fi——第i個運動副的自由度數(shù)

υ——冗余約束數(shù)

根據(jù)式(20)，可計算得到圖2所示機構位形下，機構自由度為

M=6×(11-12-1)+16+0=4

(21)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動1個局部轉動自由度，因而圖2中的動平臺具有3個自由度，結合式(17)、(19)可知，動平臺具有沿定坐標系X、Y軸的2個移動自由度和繞平行與定坐標Z軸的1個轉動自由度,即具有2T1R運動模式。

2.2 運動模式變換過程中機構自由度分析

2.2.1支鏈2轉軸共線位形下機構自由度分析

圖2所示機構位形下，動平臺沿平行于定坐標系XOY平面做有限位移后，支鏈2中的2個zR共軸，機構位形如圖3所示。此時支鏈2具有1個過B2繞平行于z2軸的轉軸轉動的局部轉動自由度。

支鏈3對動平臺不施加約束。圖3中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(22)

圖3 支鏈2中兩個轉軸共線的機構位形Fig.3 Mechanism configuration of two rotational axes collinear in branch 2

在圖3所示支鏈2的位形下，式(22)中的5個運動螺旋線性相關，支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(23)

由于支鏈1對定平臺施加的約束類型沒有發(fā)生改變，并且支鏈3不對定平臺施加約束，因而動平臺上施加的約束如式(17)、(23)所示，圖3中動平臺上所施加的2個力螺旋和2個力偶線性無關，分別限制了動平臺沿定坐標系Y、Z軸的移動和沿平行于定坐標系X、Y軸的轉動。動平臺上施加的約束系不存在冗余約束，即υ=0。根據(jù)式(20)，可計算得到圖3所示機構位形下，機構自由度為

M=6×(11-12-1)+16+0=4

(24)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動的1個局部轉動自由度，支鏈2中存在繞B2A2轉動的1個局部轉動自由度。因而圖3中的動平臺具有2個自由度，結合式(17)、(23)可知，圖3所示機構位形下，動平臺具有沿定坐標系X軸的1個移動自由度和繞平行于定坐標系Z軸的1個轉動自由度。當動平臺沿定坐標系X軸做有限位移后，動平臺又處于圖2所示機構運動模式，因而圖3所示機構所具有的運動模式是瞬時的。在圖3所示位形下，動平臺保持位姿不變，支鏈2過點B2繞平行于z2軸的轉軸轉動90°后，支鏈2中的平面位移子群運動鏈yRyRyR可變換為xRxRxR，得到圖4中的機構位形。

圖4 機構運動模式變換位形Fig.4 Motion pattern transform configuration of parallel mechanism

2.2.2運動模式變換位形機構自由度分析

圖4中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(25)

式(25)中的5個運動螺旋線性相關，支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(26)

動平臺上施加的約束如式(17)、(26)所示，容易發(fā)現(xiàn)圖4動平臺所受到的2個力螺旋和2個力偶線性相關，分別限制了動平臺沿定坐標系X、Z軸的移動和沿平行于定坐標系Y軸的轉動。動平臺上施加的約束系存在1個冗余約束，即υ=1。根據(jù)式(20)，可計算得到圖4所示機構位形下，機構自由度為

M=6×(11-12-1)+16+1=5

(27)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動的1個局部轉動自由度，且支鏈2中存在繞B2A2即平行于z2軸轉動的1個局部轉動自由度。在圖4所示機構位形下，當動平臺沿定坐標系Y軸做有限移動后，支鏈2末端會增加一個移動自由度，此時動平臺具有2R2T運動模式；當動平臺繞平行于定坐標系X軸的轉軸轉動后，動平臺具有2R1T運動模式。因而，圖4所示機構位形下的運動模式具有瞬時性。

2.3 2R1T運動模式自由度分析

當動平臺在圖4所示位形下，沿平行于定坐標系X軸的軸線做有限轉動后，機構處于圖5所示位形。

圖5 2R1T運動模式的機構簡圖Fig.5 Schematic diagram of parallel mechanism with 2R1T motion mode

圖5中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(28)

式(28)中的5個運動螺旋線性無關，支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(29)

結合式(17)、(29)發(fā)現(xiàn)圖5中動平臺上所受到的2個力螺旋和1個力偶線性無關，分別限制了動平臺沿X、Z軸的移動和沿平行于Y軸的轉動。動平臺上施加的約束系不存在冗余約束，即υ=0?？捎嬎愕玫綀D5所示機構位形下，機構自由度為

M=6×(11-12-1)+16+0=4

(30)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動的1個局部轉動自由度，因而圖5中的動平臺具有3個自由度，結合式(17)、(29)可知，動平臺具有沿定坐標系Y軸的1個移動自由度和繞平行于定坐標X、Z軸的2個轉動自由度。即動平臺在機構處于圖5所示位形時，具有2R1T運動模式。

3 支鏈中驅動副的選取

一般情況下驅動副應布置在定平臺上，或與定平臺盡可能靠近。因而，可選取支鏈1和支鏈2中與定平臺直接連接的zR轉動副為驅動副，支鏈3中選取連接兩個球副的移動副為驅動副。并聯(lián)機構驅動副選取是否合理，可以通過計算鎖定支鏈中驅動副后機構的自由度來驗證。當鎖定支鏈中驅動副后機構自由度為零，則說明驅動副選取正確。否則說明驅動副選取錯誤。

3.1 2T1R運動模式下驅動副合理性分析

鎖定圖6中虛線圓環(huán)所包含的支鏈1、2、3中的驅動副。

圖6 2T1R運動模式下機構的驅動副布置示意圖Fig.6 Schematic diagram of drive arrangement of mechanism in 2T1R motion mode

圖6中的第1支鏈在坐標系B1x1y1z1下的運動螺旋可表示為

(31)

在支鏈1的一般位形下，式(31)中的3個運動螺旋線性無關，支鏈1在坐標系B1x1y1z1下的約束反螺旋為

(32)

式(32)中，需滿足運動螺旋系與約束反螺旋互易積為零的條件，即

(33)

求解式(33)得到

(34)

圖6中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(35)

支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(36)

圖6中的第3支鏈在坐標系B3x3y3z3下的約束反螺旋為

(37)

在機構的一般位形下，圖6中動平臺上所受到的4個力螺旋和2個力偶線性無關，分別限制了動平臺沿定坐標系X、Y、Z軸的移動和沿平行于定坐標系X、Y、Z軸的轉動。動平臺上施加的約束系不存在冗余約束，即υ=0。根據(jù)式(20)，可計算得到圖6所示機構位形下，機構自由度為

M=6×(8-9-1)+13+0=1

(38)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動的1個局部轉動自由度，圖6中的動平臺具有0個自由度。圖6所示動平臺在一般位形下，當支鏈1、2、3中驅動副鎖定時，動平臺不具有任何自由度，處于鎖定狀態(tài)。因而，在動平臺具有2T1R運動模式時，驅動副的選擇是合理的。

3.2 運動模式變換過程中驅動副合理性分析

3.2.1機構支鏈2轉軸共線位形下機構驅動合理性分析

從2.2節(jié)中可知，機構運動模式變換過程中，機構處于圖3位形下時，機構動平臺相較圖2位形下減少1個自由度，然而支鏈2增加一個局部自由度。很明顯，在圖3位形下，所選驅動副可以實現(xiàn)對機構的控制。

3.2.2運動模式變換位形機構驅動合理性分析

當驅動圖6中的3個驅動副，使得機構處于圖7所示運動模式變換位形時，鎖定圖7中虛線圓環(huán)所包含的支鏈1、2、3中的驅動副。

圖7 運動模式變換位形下機構的驅動副布置示意圖Fig.7 Schematic diagram of drive arrangement of mechanism in transform motion mode

圖7中的第1、3支鏈的運動螺旋和約束螺旋形式和圖6中的第1、3支鏈的相似，可參見式(31)、(32)、(37)。圖7中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(39)

支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(40)

M=6×(8-9-1)+13+1=2

(41)

支鏈3中存在繞B3A3轉動的1個局部轉動自由度。支鏈1、2、3驅動副鎖定后，機構自由度不為1，所選驅動副不能實現(xiàn)對動平臺運動的完全控制。

3.2.3運動模式變換位形機構驅動副布置方法

并聯(lián)機構在圖7中運動模式變換的位形下，機構中支鏈2增加了一個局部轉動自由度，而運動模式變換時，需要鎖定支鏈2的驅動副。為了實現(xiàn)對機構的控制，可以增加一個輔助驅動副。在圖8中的支鏈1中，在與B1處轉軸相鄰的轉動副上布置驅動，使其在機構運動模式變換時工作。鎖定圖8中虛線圓環(huán)所包含的支鏈1、2、3中的驅動副、鎖定紅色圓環(huán)所包含的支鏈1中的輔助驅動副。

圖8 支鏈1中增加1個驅動副的機構運動模式變換位形圖Fig.8 Schematic diagram of drive arrangement of mechanism in transform motion mode with branch 1had 2 drives

圖8中的第1支鏈在坐標系B1x1y1z1下的運動螺旋可表示為

(42)

支鏈1在坐標系B1x1y1z1下的約束反螺旋為

(43)

支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(44)

圖8中的第3支鏈在坐標系B3x3y3z3下的約束反螺旋為

(45)

在機構的一般位形下，圖8中動平臺上所受到的5個力螺旋和2個力偶線性相關，分別限制了動平臺沿定坐標系X、Y、Z軸的移動和沿平行于定坐標系X、Y、Z軸的轉動。動平臺上施加的約束系存在1個冗余約束，即υ=1。根據(jù)式(20)，可計算得到圖8所示機構位形下，機構自由度為

M=6(7-8-1)+12+1=1

(46)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動的1個局部轉動自由度，圖8中的動平臺具有0個自由度。圖8所示動平臺在一般位形下，當支鏈1、2、3中驅動副鎖定時，動平臺不具有任何自由度，處于鎖定狀態(tài)。因而，在支鏈1中增加驅動副，可以實現(xiàn)機構運動模式的變換。

3.3 2R1T運動模式下的驅動副合理性分析

當動平臺從圖8所示位形，控制支鏈1、2、3中的驅動副和支鏈1中的輔助驅動副，使得動平臺做繞平行于定坐標系X軸的轉軸轉動后，得到如圖9所示機構位形。鎖定圖9中虛線圓環(huán)所包含的支鏈1、2、3中的驅動副后，圖9中機構位形下支鏈1、3的運動螺旋和約束反螺旋與圖8所示機構位形下支鏈1、3的螺旋和反螺旋系形式相同。圖9中的第2支鏈在坐標系B2x2y2z2下的運動螺旋可表示為

(47)

圖9 2R1T運動模式下機構的驅動副布置示意圖Fig.9 Schematic diagram of drive arrangement of mechanism in 2R1T motion mode

支鏈2在坐標系B2x2y2z2下的約束反螺旋為

(48)

在機構的一般位形下，圖9中動平臺上所受到的4個力螺旋和2個力偶線性無關，分別限制了動平臺沿定坐標系X、Y、Z軸的移動和沿平行于定坐標系X、Y、Z軸的轉動。動平臺上施加的約束系不存在冗余約束，即υ=0。根據(jù)式(20)，可計算得到圖9所示機構位形下，機構自由度為

M=6×(8-9-1)+13+0=1

(49)

由于支鏈3中存在繞B3A3轉動1個局部轉動自由度，圖9中的動平臺具有0個自由度。圖9所示動平臺在一般位形下，當支鏈1、2、3中驅動副鎖定時，動平臺不具有任何自由度，處于鎖定狀態(tài)。因而，在動平臺處于2R1T運動模式時，不使用輔助驅動副可以實現(xiàn)對機構的控制。

綜合3.1、3.2、3.3節(jié)的結果可知，提出的機構具有2T1R和2R1T兩種運動模式，在支鏈1中增加輔助驅動副后，所選取的驅動副能實現(xiàn)對不同運動模式一般位形下動平臺位姿的控制，因而其驅動副的選取是可行的。

4 結論

(1)通過位移流形理論和螺旋理論對2T1R運動模式向2R1T運動模式轉變的并聯(lián)機構進行了綜合，并以一種新型的變自由度機構為例，分析了其自由度變換的位形特征，驗證了其自由度的類型，確定了支鏈中作為驅動副的運動副。

(2)在運動模式變換時，機構的支鏈2增加了一個局部自由度，而運動模式變換時，需要鎖定支鏈2。在支鏈1中增加了一個輔助驅動副，此驅動副只在并聯(lián)機構構運動模式變換時工作，有效地實現(xiàn)了運動模式的變換。