改進的非完全約束加權最小二乘TDOA/FDOA無源定位方法

周恭謙, 楊露菁, 劉 忠

(海軍工程大學電子工程學院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

多站時差定位(time difference of arrival,TDOA)/頻差定位(frequency difference of arrival,FDOA)[1-7]一直是無源定位研究的熱點問題。針對該定位算法一般基于迭代和解析兩種方法進行研究。迭代定位解算方法有:極大似然估計法[8]、二次約束法[9]、基于約束總體最小二乘的單站TDOA/FDOA定位算法[10]以及約束加權最小二乘法[11](constrained weighted least squares, CWLS)。迭代定位解算方法在初值選擇不理想情況下,無法收斂到全局最優(yōu)解,且由于進行多次迭代,算法復雜度較高。而解析方法無需迭代,算法計算復雜度低。著名的兩步加權最小二乘法[12](two-stage weighted least squares,TSWLS)是該方法的代表之一,然而盡管此方法計算復雜度低,但定位偏差較大,當TDOA/FDOA噪聲較高時,定位精度會偏離克拉美羅下限(Cramer-Rao lower bound,CRLB)。綜上所述,此兩類方法存在各自的缺陷,如何在較高TDOA/FDOA噪聲環(huán)境下,在不增加算法復雜度的前提下,使定位精度仍然能逼近CRLB是現(xiàn)實亟需解決的一個問題,針對此問題文獻[13]提出一種基于定位誤差修正的運動目標TDOA/FDOA無源定位方法,在不增加算法復雜度的情況下提高了定位精度,但當噪聲增大時,定位精度偏離CRLB。文獻[14]提出一種TDOA/FDOA的序列二次規(guī)劃(sequence quadratic program, SQP)定位算法,該算法在噪聲較大時能夠達到CRLB,但由于引入SQP方法,需要進行多次迭代,算法復雜度高。文獻[15]提出一種改進的CWLS的時差頻差聯(lián)合定位算法,該算法在低噪聲環(huán)境下提高了定位精度,且算法不需要迭代,然而其在較高噪聲條件下定位精度仍無法達到CRLB。針對這種情況,本文提出一種基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束的TSWLS。該方法先將無源定位問題轉化為二次規(guī)劃問題,并對約束條件進行簡化,應用拉格朗日乘子法,求解目標定位的值,然后將得到的解析解在原約束條件下進行泰勒級數(shù)展開,利用獲得的結果進一步優(yōu)化解析解。最后通過仿真對比了所提算法和兩步法、改進的CWLS方法、基于定位誤差修正方法的均方根誤差(root mean square error, RMSE)和定位偏差。

1 多站TDOA/FDOA定位模型

第i個接收站到待測目標的距離可表示為

(1)

式中,‖*‖為求2范數(shù)運算。

待測目標到接收站i與到第一個接收站的距離差可表示為

(2)

對式(1)求導可得距離關于時間的微分方程為

(3)

對式(2)求導可得距離差關于時間的微分方程為

(4)

在實際應用中,包含噪聲的TDOA/FDOA觀測方程可重新表示成向量形式[7]為

α=αo+Δα

(5)

本文基于上述多站TDOA/FDOA定位模型,提出下述基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束WLS定位算法。該算法首先將無源定位問題轉化為二次規(guī)劃問題,并簡化約束條件,然后通過拉格朗日乘子法,求解目標定位值,然后將解在原約束條件下進行泰勒級數(shù)展開處理,利用求得的定位誤差進一步優(yōu)化定位結果從而獲得最終值。

2 基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束WLS定位算法

(6)

對式(6)關于時間求微分,可得到方程為

(7)

(8)

(9)

綜合式(8)、式(9)可求得其對應的矩陣表達式為

(10)

其中

(13)

(14)

首先,對式(10)求WLS解，即

(15)

W1=E[(EΔα)(EΔα)T]=EQαET

(16)

式中,Qα為噪聲向量Δα的協(xié)方差,將約束條件式(14)代入式(15),則約束條件下的WLS解等價于對式(17)求最小化,即

(17)

即將TDOA/FDOA無源定位問題轉化成了二次規(guī)劃問題。

(18)

其中

(19)

Σ11=Σ12=Σ21=diag (1,1,1,-1)；0表示對應維數(shù)的零矩陣；Σ為對稱可逆矩陣。再采用拉格朗日乘子[15]來對此條件極值求解，即

(20)

(21)

求解式(21)可得

(22)

(23)

(24)

式中,Λ=diag{η1,η2,…,η8}為對角矩陣。將式(24)代入式(23),可得到14階方程為

(25)

(26)

(27)

(28)

同時令

(29)

結合式(27)、式(28)和式(29)可得偽線性方程為

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

綜上所述,本文提出的基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束WLS定位算法的流程如下:

步驟2利用卷積運算將f(λ)轉化為標準多項式,通過求根運算對多項式方程求解,且由于拉格朗日乘子λ是實數(shù),所以方程的解只保留實數(shù)根;

步驟5將步驟4的結果代入式(35),計算在非完全約束條件下的估計誤差;

步驟6將步驟4、步驟5結果代入式(36)求解可得到目標位置和速度的最終估計值。

3 仿真實驗

在仿真實驗中,設定目標位置的單位為m,速度的單位為m/s。參考文獻[12]布站,如表1所示,接收站和目標的空間分布情況如圖1所示。

表1 接收站和待測目標的位置與速度

圖1 定位系統(tǒng)幾何分布Fig.1 Geometric distribution of the positioning system

(37)

(1) 近距離目標定位

圖2 近距離目標定位偏差值對比Fig.2 Comparison of location deviation of close range target

從圖2可以看出,隨著噪聲的增大,本文所提出的算法與CWLS算法對目標定位的偏差值均顯著小于兩步WLS算法及基于誤差修正WLS算法,這是因為兩步WLS算法和基于誤差修正的WLS算法在第一步對目標進行定位時,將目標的定位值與目標到參考接收站的距離及速度視為彼此獨立的,從而偽線性化處理非線性方程,得到目標的解析解,第二步利用約束關系提高目標定位解定位精度,當噪聲較大時,第一步目標定位偏差值隨之增大,此時第二步對目標定位精度的改進效果不明顯。當噪聲較小時,無論是對目標的位置估計還是速度估計,本文提出的算法定位偏差都是很小的,證明了該方法是漸進無偏的。此外,由于定位方程的非線性,在定位的過程中忽略了二階及其以上的噪聲,隨著噪聲的增大,噪聲對定位結果的影響將變得越來越顯著,定位偏差值將增大,但相比較而言本文算法是影響最小的,這是由于本文算法利用非完全約束加權最小二乘提高了定位解精度,同時利用泰勒級數(shù)在約束條件展開下對定位結果進行不斷修正,從而提高了定位精度。

圖3所示為不同TDOA噪聲強度條件下,TSWLS、改進CWLS、誤差修正的WLS和本文提出算法對近距離目標定位RMSE值對比結果。

圖3 近距離目標定位RMSE對比Fig.3 Comparison of location RMSE of close range target

從圖3可以看出,當噪聲較小時,本文算法與TSWLS算法以及基于誤差修正的WLS算法均可以達到CRLB。當噪聲增大到8 dB和16 dB時,TSWLS算法和基于誤差修正的WLS算法對目標位置的估計精度開始偏離CRLB,當噪聲增大到10 dB時和20 dB時,TSWLS算法和基于誤差修正的WLS算法對目標速度的估計精度與CRLB之間已經發(fā)生偏離。本文算法直到25 dB還未偏離CRLB。證明本文所提出算法相較于TSWLS算法和基于誤差修正的WLS算法具有更強的魯棒性。

(2) 遠距離目標定位

圖4 遠距離目標定位偏差值對比Fig.4 Comparison of location deviation of long distance target

圖5所示為不同TDOA噪聲強度條件下,TSWLS、改進CWLS、誤差修正的WLS和本文所提算法對遠距離目標定位RMSE值對比結果。

圖5 遠距離目標定位RMSE對比Fig.5 Comparison of location RMSE of long distance target

從圖4可以看出,當噪聲較小時,4種算法的定位偏差均較小,是漸近無偏的。隨著噪聲的增大,本文所提出的算法的定位偏差值是4種算法中最小的。

從圖5可以看出,與近距離目標定位的結果類似,本文所提出的算法在一定的噪聲條件下,對目標的定位結果能達到CRLB,相較于其他的算法具有更強的魯棒性。

最后對比10 000次Matlab仿真實驗4種算法所需的運算時間,TSWLS消耗的時間為16.125 s,誤差修正的WLS消耗的時間為18.681 s,CWLS消耗的時間為30.433 s,本文算法消耗時間為31.618 s。對比實驗可以發(fā)現(xiàn)，本文算法所需時間最長,主要這是因為本文算法第一步通過分解矩陣、多項式求根等方法求取拉格朗日乘子提高了計算復雜度,盡管如此本文算法進行一次定位耗時相對最少的TSWLS也只增加了1.5 ms,在滿足實時性的同時在較高噪聲環(huán)境下能夠保持良好的定位精度。

4 結 論

本文提出一種基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束的TSWLS。該方法先將無源定位問題轉化為二次規(guī)劃問題,簡化約束條件,應用拉格朗日乘子法,求得待測目標定位值,然后將得到的解在原約束條件下進行泰勒級數(shù)展開,利用獲得的結果進一步優(yōu)化解析解。實驗證明了該算法在較高噪聲環(huán)境下定位精度優(yōu)于兩步法、CWLS、基于定位誤差修正方法。