賈晨輝,高靖,邱明
(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽 471003)
混合氣體軸承結(jié)合了靜壓與動(dòng)壓軸承的優(yōu)點(diǎn),利用靜壓供氣方式使軸承轉(zhuǎn)子在啟動(dòng)階段形成靜壓承載能力,避免發(fā)生干摩擦;隨著轉(zhuǎn)速增加,利用螺旋槽產(chǎn)生的楔形動(dòng)壓效應(yīng)形成動(dòng)壓承載能力,從而避免持續(xù)供給軸承所需的高壓氣體[1-3]。動(dòng)靜壓氣體軸承在同類軸承中具有較高的承載力。
氣體軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性直接影響轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)行為及穩(wěn)定性,該特性可通過氣膜的動(dòng)態(tài)剛度和動(dòng)態(tài)阻尼系數(shù)反映[4],從而為軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供理論基礎(chǔ)。
通常采用數(shù)值求解的方法研究氣體軸承的靜動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[4]采用有限元法對(duì)動(dòng)靜壓軸承進(jìn)行優(yōu)化分析;文獻(xiàn)[5]采用有限差分法對(duì)靜壓軸承進(jìn)行性能研究??紤]到數(shù)值求解較為復(fù)雜,文中采用有限差分法計(jì)算氣膜的動(dòng)態(tài)剛度和阻尼系數(shù),在不同偏心率下研究供氣壓力和供氣切向角度對(duì)氣膜動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的影響規(guī)律。
球面螺旋槽動(dòng)靜壓氣體軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。軸承由定子與轉(zhuǎn)子組成,供氣孔在定子上,轉(zhuǎn)子上有螺旋槽,供氣孔位置與螺旋槽的分布不相互影響。圖中,β為螺旋角;ω為軸頸轉(zhuǎn)速;φ為供氣切向角;α0為轉(zhuǎn)子小端角;α1為螺旋槽起始端角;α2為轉(zhuǎn)子大端角;ps為小孔供氣壓力;br為臺(tái)寬;bg為槽寬;hg為槽區(qū)間隙;h0為臺(tái)域內(nèi)氣膜平均間隙。
圖1 球面氣體軸承結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of spherical gas bearing
以氣體潤(rùn)滑運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程以及節(jié)流孔流量方程為基礎(chǔ)[4,6],結(jié)合Newton黏性定律和Reynolds方程假設(shè),在球面坐標(biāo)系(圖2)下,推導(dǎo)供氣切向角可變的球面動(dòng)靜壓氣體軸承非線性動(dòng)態(tài)潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型[7-10]。
圖2 球面坐標(biāo)系Fig.2 Spherical coordinate
圖2中旋轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn)M(?,α,r),其中,?為周向坐標(biāo);α為沿旋轉(zhuǎn)素線的子午線方向坐標(biāo);r為M與旋轉(zhuǎn)素線的距離。
通過氣體潤(rùn)滑運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)出球坐標(biāo)系下沿周向和沿子午線方向的質(zhì)量流量方程分別為
式中:ρ為氣體密度;h為氣膜厚度;μ為氣體黏度;p為氣膜壓力;v為節(jié)流孔速度。
球坐標(biāo)系中連續(xù)性方程式為
式中:t為時(shí)間。
氣體狀態(tài)方程為
式中:pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓;ρa(bǔ)為空氣密度。
節(jié)流孔的流量方程為
式中:mi為通過第i個(gè)小孔的質(zhì)量流量;?orifice為流量系數(shù);Aorifice為小孔橫截面積;ψi為流量函數(shù)。
聯(lián)立(1)~(5)式可推導(dǎo)出球面動(dòng)靜壓氣體軸承非線性量綱一的Reynolds方程為
式中:Q為節(jié)流孔引入的氣體質(zhì)量流量因子;R0為轉(zhuǎn)子半徑;P為量綱一的氣膜壓力;H為量綱一的氣膜厚度;T為量綱一的時(shí)間。
為了便于求解,對(duì)(6)式進(jìn)行保角變換[11]。變換形式取ξ=ln[tan(α/2)],將(6)式由三維求解域轉(zhuǎn)變成求解域?yàn)槠矫婢匦蔚那蛎鎰?dòng)靜壓氣體軸承潤(rùn)滑分析方程[12]。氣膜的動(dòng)態(tài)特性表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子在外部隨機(jī)擾動(dòng)下偏離靜平衡位置,在其附近作變位運(yùn)動(dòng)時(shí)氣膜力的相應(yīng)變化情況,所以應(yīng)以不定常工況的Reynolds方程作為分析計(jì)算的基礎(chǔ)[4]。將(6)式變?yōu)?/p>
式中:Ve為徑向偏心距方向的量綱一的速度;ve為沿徑向偏心方向的速度;Vθ為轉(zhuǎn)子量綱一的角速度;vθ為轉(zhuǎn)子中心繞軸承中心轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度;Vz為轉(zhuǎn)子軸向的量綱一的速度;vz為軸心沿軸向方向的速度。
采用偏導(dǎo)數(shù)法[12]對(duì)動(dòng)態(tài)控制方程(7)式在位移與速度方向上的擾動(dòng)變量進(jìn)行求導(dǎo),從而得到擾動(dòng)壓力控制方程。求解域分為小孔區(qū)域(連續(xù)區(qū)域)、非小孔區(qū)域(包括連續(xù)與不連續(xù)區(qū)域)。以求解小孔區(qū)域?yàn)槔?,將?)式對(duì)ε求偏導(dǎo)。
等式左邊第1項(xiàng)為
等式左邊第2項(xiàng)為
等式左邊第3項(xiàng)為
等式右邊第1項(xiàng)為
等式右邊第2項(xiàng)為
將5個(gè)偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)式相加可得
穩(wěn)態(tài)控制方程為
將(14)式變形得
將(15)式代入(13)式,化簡(jiǎn)得出關(guān)于Pε的擾動(dòng)壓力控制方程為
由于氣膜厚度不連續(xù),分別計(jì)算臺(tái)區(qū)和槽區(qū)的氣膜厚度:
臺(tái)區(qū)量綱一的氣膜厚度為
槽區(qū)量綱一的氣膜厚度為
式中:Hb為量綱一的槽深;ε1為量綱一的軸向偏心率;e1為軸向偏心距;ε為量綱一的徑向偏心率;e為徑向偏心距。
對(duì)氣膜厚度方程求偏導(dǎo),代入(16)式可得關(guān)于Pε的擾動(dòng)壓力控制方程為
同理,對(duì)其余5個(gè)擾動(dòng)變量求偏導(dǎo),可得其他5個(gè)擾動(dòng)壓力的控制方程。
在廣義坐標(biāo)系下用有限差分法對(duì)(19)式離散化,推導(dǎo)出擾動(dòng)壓力的差分表達(dá)式。為了計(jì)算的方便與精確,在斜坐標(biāo)系下(x=?+ξ/tanβ,y=-ξ/sinβ)劃分網(wǎng)格,周向網(wǎng)格數(shù)為500(根據(jù)計(jì)算調(diào)整設(shè)定),徑向網(wǎng)格數(shù)為90;周向步長(zhǎng)0.012 56,徑向步長(zhǎng)0.019 23。網(wǎng)格劃分時(shí)周向槽臺(tái)邊界線到原點(diǎn)之間設(shè)定網(wǎng)格數(shù)50(根據(jù)計(jì)算調(diào)整設(shè)定),使該邊界線正好在網(wǎng)格點(diǎn)上;徑向槽臺(tái)邊界線計(jì)算時(shí)對(duì)網(wǎng)格數(shù)取整,使邊界線落在網(wǎng)格線上[6],網(wǎng)格劃分如圖3所示。
圖3 求解域網(wǎng)格劃分Fig.3 Meshing for solution domain
以求解小孔區(qū)域?yàn)槔?,先?duì)網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)平行四邊形abcd區(qū)域(圖4)進(jìn)行面積分,再利用格林公式得到相應(yīng)區(qū)域的線積分,最后采用有限差分法對(duì)積分公式離散化處理,得到擾動(dòng)壓力的差分表達(dá)式[4,12]。
圖4 氣膜厚度連續(xù)區(qū)域網(wǎng)格Fig.4 Continuous regional grid of gas film thickness
小孔區(qū)域關(guān)于ε擾動(dòng)壓力控制方程的差分表達(dá)式為
式中:Ai,j,Bi,j,Ci,j,Di,j,Ei,j,F(xiàn)i,j是與氣膜厚度Hi,j及穩(wěn)態(tài)氣膜壓力Pi-1,j,Pi+1,j,Pi,j-1,Pi,j+1有關(guān)的系數(shù)。同理可以求出其他5個(gè)擾動(dòng)壓力的差分表達(dá)式。
求解擾動(dòng)控制方程的邊界條件為:1)大氣邊界條件為
2)邊界對(duì)稱條件為
3)小孔處邊界條件為
式中:Pd為節(jié)流孔后端壓力。
采用超松弛迭代法對(duì)(20)式求解可得擾動(dòng)壓力Pε為
式中:λ為松弛因子,一般取大于1;k為迭代次數(shù)。
同理可以求出小孔區(qū)域其他5個(gè)擾動(dòng)壓力。非小孔區(qū)域擾動(dòng)壓力的求解與小孔區(qū)域類似,這里不再贅述。
在轉(zhuǎn)子穩(wěn)定位置給一個(gè)小擾動(dòng),轉(zhuǎn)子偏離穩(wěn)態(tài)平衡位置作變位運(yùn)動(dòng),氣膜壓力發(fā)生改變。軸承在?,ξ,z方向偏離穩(wěn)態(tài)平衡位置O1時(shí)的受力分析如圖5所示。
圖5 軸承受力分析Fig.5 Load analysis of bearing
軸心在穩(wěn)態(tài)平衡位置的壓力分布為
軸心動(dòng)態(tài)壓力分布為
將動(dòng)態(tài)壓力分布p在穩(wěn)態(tài)平衡位置的周圍展開為軸心偏離平衡位置的瞬時(shí)位移和瞬時(shí)變位速度的Taylor級(jí)數(shù)(只考慮一階小項(xiàng))[13]
式中:(pe,pθ,pz,pe,pθ,pz)分別為p隨(Δe,eΔθ,Δz,Δe,eΔθ,Δz)的變化率,即擾動(dòng)壓力。
對(duì)動(dòng)態(tài)壓力分布進(jìn)行積分,得到軸心作變位運(yùn)動(dòng)時(shí)各方向的氣膜力為
氣膜力是由氣膜壓力積分所得,通過氣膜力對(duì)各方向位移與速度求導(dǎo)可得氣膜的剛度和阻尼系數(shù)為
對(duì)于Fe,fe =cos?sin2α,
對(duì)于Fθ,fθ=sin?sin2α,
對(duì)于Fz,fz =cosαsinα,
式中:Sj為某個(gè)方向的位移擾動(dòng)。
采用C++編程計(jì)算軸承的剛度和阻尼系數(shù),流程圖如圖6所示。為了便于計(jì)算,采用承載力進(jìn)行判別,而不用氣膜力,保證轉(zhuǎn)子在穩(wěn)定位置附近發(fā)生小擾動(dòng)。
圖6 軸承剛度和阻尼系數(shù)計(jì)算流程圖Fig.6 Calculation flow chart of stiffness and damping coefficients of bearing
氣體軸承參數(shù)見表1。
轉(zhuǎn)速n=20 000 r/min,ps=0.3 MPa下,不同供氣切向角和偏心率對(duì)剛度、阻尼系數(shù)的影響(氣膜剛度和阻尼系數(shù)的增大或減小均是相對(duì)其絕對(duì)值而言)如圖7所示。
由圖7a—圖7c可知:在同一偏心率下,剛度系數(shù)Kee,Kθe,Kθθ隨供氣切向角的增加而減??;供氣切向角不變時(shí),除了Kee外,偏心率增大時(shí),剛度系數(shù)增加;除了Kee,Kθe,Kθθ外,供氣切向角對(duì)剛度系數(shù)的影響較小。
由圖7d—圖7f可知:在相同供氣切向角下,除了Bee,Bθe外,偏心率增大時(shí),動(dòng)態(tài)阻尼系數(shù)增加;阻尼系數(shù)Bee,Bθe受偏心率的影響較弱;當(dāng)偏心率不變時(shí),阻尼系數(shù)Bθθ,Bze,Bez,Bzz隨供氣切向角的增大而減??;除了Bθθ,Bez,Bze,Bzz外,供氣切向角對(duì)阻尼系數(shù)的影響較小。
圖7 供氣切向角和偏心率對(duì)剛度和阻尼系數(shù)的影響Fig.7 Influence of tangential angle of gas supply and eccentricity on stiffness and damping coefficient
n=20 000 r/min,φ=30°下,不同供氣壓力和偏心率對(duì)動(dòng)態(tài)剛度和阻尼系數(shù)的影響如圖8所示。
由圖8a—圖8c可知:除了Kee外,偏心率增大時(shí),剛度系數(shù)增加;除了Kee,Kθe,Kθθ,供氣壓力對(duì)量綱一的剛度系數(shù)的影響較??;在同一偏心率下,剛度系數(shù)Kee,Kθe,Kθθ隨供氣壓力的增大而增大。
由圖8d—圖8f可知:供氣壓力不變時(shí),除了Bee,Bθe外,偏心率增大時(shí),阻尼系數(shù)增加;阻尼系數(shù)Bee,Bθe受偏心率的影響較弱;當(dāng)偏心率不變時(shí),供氣壓力的增大,阻尼系數(shù)Bze,Bθθ,Bzz增加;除了Bze,Bθθ,Bzz外,供氣壓力對(duì)阻尼系數(shù)的影響較小。
圖8 供氣壓力和偏心率對(duì)剛度和阻尼系數(shù)的影響Fig.8 Influence of pressure of gas supply and eccentricity on stiffness and damping coefficient
將半球面氣體軸承的動(dòng)態(tài)剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)與穩(wěn)定性關(guān)聯(lián)起來,分析結(jié)論如下:
1)除了Kee外,偏心率增大,剛度系數(shù)增加;除了Bee,Bθe外,偏心率增大,阻尼系數(shù)增加。
2)供氣切向角增大,動(dòng)態(tài)剛度系數(shù)Kee,Kθe,Kθθ減小,阻尼系數(shù)Bθθ,Bez,Bze,Bzz減小。
3)供氣壓力增大時(shí),剛度系數(shù)Kee,Kθe,Kθθ增加,阻尼系數(shù)Bze,Bθθ,Bzz增加。