利用自適應(yīng)傅里葉分解的非平穩(wěn)無線信道的時頻表示

王賽飛 方 勇 王軍華

(上海大學，上海先進通信與數(shù)據(jù)科學研究院，特種光纖與光接入網(wǎng)重點實驗室，上海 200444)

1 引言

無線信道的分析與研究對于移動網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃，移動通信技術(shù)的升級與改進等具有重要意義[1]。隨著5G通信技術(shù)的發(fā)展，對無線信道特有的高速移動、分類廣泛、快速時變特征缺乏有效的研究方法。傳統(tǒng)的基于單一時域或者單一頻域角度來表示信道的脈沖響應(yīng)(CIR，channel impulse response)方法或者基于頻域功率譜密度的方法不能建立信道的全局特性表示。已有研究成果表明，如果同時從頻域和時域角度出發(fā)建立無線信道的特性分析函數(shù)，則能夠避免以往僅在單一域(時域或者頻域)內(nèi)進行信道時頻特性分析的缺陷。尤其是5G無線通信中，大多數(shù)終端處于快速移動狀態(tài)，信道狀態(tài)信息隨時間快速變化，導(dǎo)致信道非平穩(wěn)，呈現(xiàn)快衰落。研究如何準確同時在時頻域表征非平穩(wěn)時變信道的表示方法已成為近年來的學術(shù)熱點。

目前針對非平穩(wěn)快衰落時變信道的時頻表示算法主要通過短時傅里葉變換(STFT，short time Fourier transform)、小波變換(WT，wavelet transform)、魏格納-威爾分布(WVD，Wegener-Ville distribution)構(gòu)建信道的時頻二維分布，再實現(xiàn)對瞬時頻率(IF，instantaneous frequency)等特征參量的求解以實現(xiàn)信道的時頻表示。文獻[2]利用STFT算法實現(xiàn)了對小尺度衰落信道的時頻表示，通過窗函數(shù)在時間軸上的移動，將信道分割為若干離散片段，利用局部擬平穩(wěn)原理，采用傅里葉變換對每個離散片段進行處理，從而獲得了信道CIR的一系列平穩(wěn)離散片段頻譜，從而實現(xiàn)無線信道的非平穩(wěn)時變特性的觀察與提取。在小波域?qū)o線信道進行特征分析是文獻[3]的核心內(nèi)容，該文獻得出了小波信號在經(jīng)歷快時變信道傳播環(huán)境后的時頻譜圖，并探討了時頻表示性能與小波基函數(shù)間的關(guān)系。然而,在STFT時頻分析方法中，窗函數(shù)的類型和大小都會影響信道的時頻表示效果，窗長過長，則頻域特性會失真；而在小波域時頻分析方法中，首先面臨的是選擇何種基函數(shù)問題，其次是當前所選基函數(shù)的適用性問題，導(dǎo)致該方法不具備信道時頻分析的自適應(yīng)性，并且基函數(shù)的不斷修正過程使算法的實時性較差，無法滿足高速移動和快速時變場景下信道分析的需求。

為此，本文利用自適應(yīng)傅里葉分解提出一種基于信道自適應(yīng)傅里葉分解的Clarke無線信道的時頻表示，該方法無需借助窗函數(shù)，也不依賴于信道分解基函數(shù)，可克服STFT，小波變換等在時頻二維表示方面的缺陷。我們推導(dǎo)了信道的等效瞬時頻率表示、時頻二維分布模型，并在信道自適應(yīng)傅里葉分解的基礎(chǔ)上，利用能量誤差最小原則，重構(gòu)了信道函數(shù)。實驗結(jié)果驗證了本文所提出的表示方法對高速時變信道時頻表示的有效性和魯棒性。

2 Clarke信道的時頻表示問題

考慮非平穩(wěn)時變信道中的Clarke模型。文獻[4]推導(dǎo)了Clarke非平穩(wěn)時變信道下模型信道參數(shù)基于最小均方誤差準則(MMSE，Minimum mean square error)的Jakes功率譜密度函數(shù)以及時頻表示模型，以模型信道參數(shù)為中間變量建立了與Clarke非平穩(wěn)時變信道的變換域表示式，由此得出Clarke非平穩(wěn)時變信道的時變特征。

在Clarke非平穩(wěn)時變信道中，CIR可表示為[4]：

(1)

其中L為信號傳播時的可視傳播路徑數(shù)目，Cl是第l條路徑信號的幅度，ωc=2πfc是載波頻率，ωm=2πfm是最大多普勒頻偏，Al是第l條路徑信號的到達方位角，φl是初始相角，Cl、Al均服從[0,2π]的獨立均勻分布。據(jù)文獻[4],數(shù)據(jù)信號在Clarke信道中傳播時，由第i個符號在第l路徑上傳播生成的離散多普勒頻移按式(2)計算：

(2)

Ni是疊加的正弦波個數(shù)，i表示發(fā)送信號的序數(shù)(i=1、2、3…)，l表示當前路徑，fmax表示最大多普勒頻移。由式(3)可得第i個符號在第l路徑上傳播生成的離散多普勒系數(shù)ci,l：

(3)

式中，J0(·)表示第一類零階貝塞爾函數(shù)，τmax是信道的最大時延擴展，m表示積分變量。

(4)

(5)

τ表示接收信號的時延，T表示信道傳輸周期。據(jù)文獻[2]，Clarke信道模型基于Jakes功率譜密度的頻域結(jié)果可表示為：

(6)

(7)

(8)

然而根據(jù)所得Jakes功率譜的仿真結(jié)果以及式(6)發(fā)現(xiàn)，基于MMSE準則產(chǎn)生的Clarke頻率非選擇性衰落信道的功率譜密度符合典型的U型譜，但是這種單一頻域的功率譜密度只能反映信道能量在頻域的分布特征，且并未建立信道的時域同信道能量或者頻率的直接或間接聯(lián)系，因此不能整體的觀察到信道在時-頻域的聯(lián)合變化特征。此外，Clarke頻率非選擇性衰落信道的STFT為：

(9)

其中，γ(t)為實偶的窗函數(shù)。由于時間窗函數(shù)γ(t)的存在，信道CIRh(t)在每個局部離散平穩(wěn)區(qū)間內(nèi)都是時間域以及頻率域的二維表示。但另一方面，窗函數(shù)γ(t)的大小和類型都會制約STFT的分析性能。而且根據(jù)Heisenberg測不準原理的限制，時間分辨率以及頻率分辨率之間互相制約，同時獲得理想的時間和頻率分辨效果是不切實際的。因此，盡管STFT利用時間窗函數(shù)得到了信道的“局部性”頻譜，但是針對不同的信道頻段，合適的窗長也隨之改變，很難找到統(tǒng)一的時間窗長[6-9]。

本文根據(jù)自適應(yīng)傅里葉分解(AFD, adaptive Fourier decomposition)理論，在不借助窗函數(shù)或者特定基函數(shù)的情況下，對信道函數(shù)進行自適應(yīng)分解后依然能夠以較低的能量誤差恢復(fù)出原始信道函數(shù)，并進行信道的時頻域表示，下面將對利用AFD方法實現(xiàn)Clarke非平穩(wěn)衰落信道的時頻表示方法予以推導(dǎo)，并進一步將模型信道的時頻域特征同時表征出來，提高表示精度。

3 基于AFD的信道時頻表示方法

與FT、小波變換不同，AFD對信號進行分解時，其表示基函數(shù)都由能量極大選擇原則進行自適應(yīng)的選取，具有收斂速度快的特點，可實現(xiàn)對原始函數(shù)的最優(yōu)稀疏表示。本文將其引入，對無線信道進行分解，利用分解表示結(jié)果對信道進行時頻表示[10-16]。

本文根據(jù)[10]的方法對信道進行分解，分解的過程與匹配追蹤(MP，matching tracking)算法相似。

3.1 信道的AFD表示

首先對Clarke頻率非選擇性衰落信道的CIRh(t)按照式(10)轉(zhuǎn)換到Hardy空間，得到只含正頻率的信號h+(t)：

h+(t)=[h(t)+iHh(t)]/2+c0/2

(10)

其中Hh(t)是h(t)的環(huán)希爾伯特變換，i表示復(fù)數(shù)，c0c0是對h(t)進行傅里葉分解的第一項系數(shù)。

(11)

接著，我們對得到的h+(t)按照式(12)進行分解：

(12)

這里，〈?〉表示內(nèi)積運算，單分量hk(eit)由式(13)計算得到：

(13)

eak(eit)定義為單位?；腟zeg?核：

(14)

(15)

Bk(eit)是有理正交基，如式(16)：

(16)

在實際中，當分解過程滿足如(17)的誤差約束關(guān)系[8]時，分解結(jié)束，此時h+(t)取前N項作為近似：

(17)

式(17)中ε是最小化的分解誤差，N為分解項數(shù)。

最后按照式(18)從Hardy空間[10]轉(zhuǎn)換到時域，實現(xiàn)原始信道的重構(gòu)：

(18)

其中，ρk(t)是信號的幅值，θk(t)是極化相位[10]，且：

ρk(t)eiθk(t)=2〈hk(eit),eak(eit)〉Bk(eit)

(19)

進一步：

ρk(t)=|〈hk(eit),eak(eit)〉Bk(eit)|

(20)

3.2 基于AFD的信道時間-頻率分布

式(18)中，令gk(t)=ρk(t)cosθk(t)，由于基能量受限，因此滿足[10]中對單分量的定義，進一步的，可對gk(t) 建立如下的時頻二維分布：

(21)

可求得h(t)整體上的時間-頻率分布為：

(22)

此處H(t,ω)是Clarke信道函數(shù)的整體時間-頻率分布；又由于θ′(t)的取值是連續(xù)的，因此H(t,ω)是時頻二維分布的連續(xù)譜。

時頻分析的常用方法是傅里葉變換及其逆變換。傅里葉變換中，需要對h(t)在整個時間域求積分：

(23)

式(23)中，由于h(t)的變換是全局性的，導(dǎo)致建立的時頻分布僅是單一頻域的，并且不是連續(xù)譜。

3.3 基于AFD的信道能量譜密度

根據(jù)富比尼定理[10]，對時頻二維分布H(t,ω)在時間域上求積分可得Clarke信道在AFD變換域下的能量譜密度：

(24)

在傅里葉功率譜密度中，需要先對h(t)求自相關(guān)：

(25)

式(26)中，Hp是h(t)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，因此信道響應(yīng)的傅里葉功率譜密度是：

(26)

根據(jù)式(26)可得，傅里葉功率譜密度是一系列的沖激，幅值是其傅里葉級數(shù)系數(shù)的平方，即其傅里葉變換系數(shù)的平方，而基于AFD的功率譜密度是連續(xù)譜，可以更直觀連續(xù)地表示出信道的功率變化。

此時，將式(18) 帶入公式(26)，類比于傅里葉的級數(shù)分解，則P(ω) 可重新表示為：

(27)

4 AFD仿真模擬與性能分析

無線信道的時頻表示側(cè)重于信道的變換域分析，并給出信道的時頻表示譜圖。假設(shè)Clarke信道為雙徑傳輸，設(shè)置本文所用仿真參數(shù)及其數(shù)值如表1所示。

表1 Clarke信道仿真參數(shù)

本文對Clarke信道模型在AFD、FT以及STFT域下的時頻表示進行了Matlab仿真并進行了性能對比。針對AFD，設(shè)定自適應(yīng)傅里葉分解階數(shù)為50；針對FT，設(shè)置分解級數(shù)為110；針對STFT，設(shè)定抽樣窗口為漢寧窗，窗長為51?？紤]到載波信號的載頻為4000 Hz，所以抽樣頻率為8000 Hz。

圖1、圖2表明了信道幅度隨時間的變化情況，同時顯示了原始信道的重構(gòu)結(jié)果。相較與原始信號，AFD的重構(gòu)誤差為0.0024，而FT的重構(gòu)誤差為0.027。根據(jù)仿真圖像進一步表明AFD能夠表示Clarke非平穩(wěn)信道的時頻變特性。圖3給出了信道AFD以及FT重構(gòu)的能量誤差隨分解步長的變化關(guān)系，AFD方法對原始信道的逼近效果優(yōu)于傳統(tǒng)傅里葉變換方法，且收斂性較好。在信道重構(gòu)實現(xiàn)復(fù)雜度方面，F(xiàn)T和STFT兩種算法均需大量的先驗參數(shù)，如各次諧波系數(shù)、分段時長等，這將極大的增加系統(tǒng)執(zhí)行復(fù)雜度；并且STFT重構(gòu)信道時，只是分段進行，對于時延要求較高的場景，不能較好的適用。而AFD憑借MSP能夠精簡信道表示系數(shù)，降低系統(tǒng)負載，從而提升系統(tǒng)對于信道特征的快速判斷能力。根據(jù)圖4、圖5的信道譜圖，頻率軸的8000 Hz和200 Hz處出現(xiàn)了頻率峰值。圖6和圖7是分別基于AFD和STFT的時頻分布，結(jié)果表明在約4000 Hz和200 Hz頻點處存在較強的數(shù)值強度。顯而易見的是，AFD的頻點集中度要優(yōu)于STFT，而STFT表示中，窗長越長，頻率定位越模糊，頻率分辨率性能較差。另外，在快時變非平穩(wěn)信道中，信道特性隨著相對移動速度、地理環(huán)境、天氣等快速改變，則STFT方法將更不適用，而基于AFD方法沒有上述缺點。

圖1 基于AFD的信道重構(gòu)Fig.1 Channel reconstruction based on AFD

圖2 基于FT的信道重構(gòu)Fig.2 Channel reconstruction based on FT

圖3 重構(gòu)誤差隨分解步長的改變Fig.3 The change of reconstruction error with the step length of decomposition

圖4 基于AFD的信道譜圖Fig.4 Channel spectrum based on AFD

圖5 基于FT的信道譜圖Fig.5 Channel spectrum based on FT

圖6 基于AFD的信道時頻分布Fig.6 Time frequency distribution of the channel based on AFD

圖7 基于STFT的信道時頻分布Fig.7 Time frequency distribution of the channel based on STFT

5 結(jié)論

本文研究了無線信道的時頻二維表示方法，引入了一種基于AFD的非平穩(wěn)無線信道時頻表示方法。該方法克服了窗函數(shù)參數(shù)選擇，小波基函數(shù)的選擇判決準則問題，突破了信道時頻表示中現(xiàn)有方法的制約，并吸收了AFD的以最大選擇原理為基礎(chǔ)的自適應(yīng)傅里葉基的表示特性，通過對雙徑Clarke信道時域沖激響應(yīng)的AFD表示與仿真，得到了信道的單分量分解表示式、等效瞬時頻率表示式、時頻二維分布模型，證明了AFD相較于傳統(tǒng)傅里葉相關(guān)分析方法的優(yōu)越性，同時揭示了AFD的低誤差可重構(gòu)特性，適用于非平穩(wěn)高速無線信道。