數(shù)論中歐拉公式的一個(gè)初等證明及歐拉函數(shù)的性質(zhì)

唐軍強(qiáng)

（焦作大學(xué)基礎(chǔ)部，河南 焦作 454003）

歐拉在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域都做出了卓越的貢獻(xiàn)，數(shù)論中有一個(gè)函數(shù)以歐拉的名字命名。設(shè)n為任意給定的正整數(shù)，定義φ（n)為比n小且與之互素的自然數(shù)的個(gè)數(shù)（包括1在內(nèi)），例如比3小且與 3互素的正整數(shù)有 1和 2，從而有φ（3)=2。歐拉給出了計(jì)算φ（n)的公式，若自然數(shù)n可以表示為一些素因數(shù)的冪的乘積，即n=這里 p1,p2…pt為素?cái)?shù)，a1,a2…at為正整數(shù)，則有

該公式與另一個(gè)同樣是由歐拉給出的計(jì)算黎曼ζ函數(shù)在正整數(shù)點(diǎn)的公式[1,2]有相似之處，只不過黎曼ζ函數(shù)中要對(duì)所有的素?cái)?shù)取類似的乘積。二者之間是否具有某種聯(lián)系，現(xiàn)在還不清楚。本文給出歐拉公式的一個(gè)初等證明，并從該公式出發(fā)，討論這個(gè)定義在正整數(shù)集合上的φ（n)的性質(zhì)。

1.歐拉公式的證明

由于φ（n)代表比 n小且與 n互素的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，而與n不互素的自然數(shù)必然是p1,…pt或者其中一些組合的倍數(shù)，因此計(jì)算φ（n)只需要從n-1個(gè)正整數(shù)中減去這些不互素的自然數(shù)即可。在這n-1個(gè)自然數(shù)中，p1的倍數(shù)有-1個(gè)，p2的倍數(shù)有-1個(gè)，以此類推，pt的倍數(shù)有-1個(gè)。第一步計(jì)算，我們先減去這些倍數(shù)，得到下式

但是，如果一個(gè)正整數(shù)是 p1p2，p1p3…p1pt,…pt-1pt的倍數(shù)，則在第一步的計(jì)算當(dāng)中，這些數(shù)被減去了兩次，從而應(yīng)當(dāng)再加上一次。第二步的運(yùn)算就有下式

同 樣 地 ，如果一個(gè)正整數(shù)是 p1p2，p1p3…p1pt,…pt-1pt的倍數(shù)，則這些數(shù)在第一步的運(yùn)算當(dāng)中被減去了次，在第二步的運(yùn)算當(dāng)中被加了次，從而應(yīng)當(dāng)再減去一次。即有第三步的運(yùn)算

重復(fù)該過程，如果一個(gè)正整數(shù)是p1p2，p1p3…p1pt,…pp的倍數(shù)，則這些數(shù)在第一步中被減去了t-1t次，在第二步的運(yùn)算當(dāng)中被加了次，在第三步的運(yùn)算當(dāng)中被減了次，而-+-=-2，從而應(yīng)當(dāng)再加上一次，則有第四步運(yùn)算

由上面的過程可知，如果一個(gè)正整數(shù)是p1,p2，…pt中任意k(1kt）個(gè)素?cái)?shù)的倍數(shù)，則經(jīng)過第 k步的運(yùn)算之后，有

也就是說，無論 k為奇數(shù)或偶數(shù)，經(jīng)過 k步的運(yùn)算之后，剛好減去了一次。從而我們可以得到求φ（n)的公式如下

經(jīng)過整理之后，得到

而這正是（1）式的展開式。

2.歐拉函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)2 對(duì)于任意的正整數(shù)n＞2，φ（n)為偶數(shù)，但是，歐拉函數(shù)的值域并非是全體偶數(shù)。證明：當(dāng)n＞2 時(shí)，若 n 僅有素因子 2，即 n=2k（k≥2），由（2）式可知φ（n)能被整除；若 n有大于 2的素因子p，則p-1能被整除。

再來看，14這個(gè)偶數(shù)就不是任何正整數(shù)的歐拉函數(shù)值。假設(shè)存在一個(gè)n，使得φ（n)=14，則必有 ka-1(k-1)=14或者(p-1)(q-1)=14，這里 k,p,q均為素?cái)?shù)。由第一個(gè)式子可知ka-1(k-1)=2×7，由于k和k-1是互素的，從而應(yīng)當(dāng)有

可以看到這兩個(gè)方程組對(duì)于a均無整數(shù)解。而由第二個(gè)式子可以得到

解得 p=2,q=15和 p=3，q=8，但是 15和 8又不是素?cái)?shù)，從而這種分解也是不可能的。100以內(nèi)的不在歐拉函數(shù)值域中的偶數(shù)有：14,26,34,38,50,62,68,74,76,86,90,94,98。

性質(zhì)3 對(duì)于任意的正整數(shù)n有

性質(zhì) 4 （歐拉-費(fèi)馬定理[3]）設(shè)(a，n)=1，N=φ（n)則aN=1(mod n)

證明：取模 n的一個(gè)既約剩余代表系 r1，r2…,rN,由于(a，n)=1,ar1，ar2…,arN也是模 n 的一個(gè)既約剩余代表系，且有 ari=rai(mod n)，這里 a1，a2…,aN是 1,2,…N的一個(gè)排列。將這N個(gè)同余式連乘得

由于ri與n互素，兩邊消去ri，即得 aN=1(modn)

3.結(jié)語

素?cái)?shù)領(lǐng)域可以說是數(shù)學(xué)研究中出現(xiàn)最多“例外”的地方，人們對(duì)于普遍性規(guī)律的認(rèn)識(shí)，往往都是先通過分析計(jì)算、尋找規(guī)律、大膽猜測(cè)，然后尋找合適的證明。但是在素?cái)?shù)的研究領(lǐng)域，通過有限的計(jì)算獲得的規(guī)律性往往是不可靠的。例如歐拉曾經(jīng)猜想：對(duì)于每個(gè)大于2的整數(shù)n，任何n－1個(gè)正整數(shù)的n次冪的和都不是某個(gè)正整數(shù)的n次冪。但是在1966年，這一猜想被推翻。1988年，哈佛大學(xué)教授埃爾基給出了一個(gè)令人瞠目結(jié)舌的反例[4]，即：

如哥德巴赫猜想一樣極其簡(jiǎn)單的表述：“任意大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和”，200多年來難以獲得證明，即使能夠找到十萬億個(gè)偶數(shù)對(duì)該表述成立，也不能說問題已經(jīng)解決，因?yàn)槲覀儾恢?，在那遙遠(yuǎn)的地方，會(huì)不會(huì)有一個(gè)“例外”。

正是這些貌似簡(jiǎn)單，實(shí)則隱藏著無窮奧秘的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)著人們的好奇心，激勵(lì)著一代又一代的數(shù)學(xué)家為之奉獻(xiàn)終身。歐拉函數(shù)與黎曼函數(shù)乃至與素?cái)?shù)分布之間的關(guān)系，仍有待于進(jìn)一步的探索。