解“最值問題”的幾種方法

陳龍

【中圖分類號(hào)】G634.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018） 11-0286-02

最值問題是我們所熟悉的問題，如今，經(jīng)歷了中學(xué)乃至大學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)，我們接觸到了各種各類的最值問題，同時(shí)我們也相應(yīng)學(xué)習(xí)了求解各類最值問題的方法，而這些方法也有助于我們解決生活中各式各樣的最值問題，下面我就為大家歸納下求解最值問題的幾種方法.

一、配方法

對(duì)于可以轉(zhuǎn)換成“一元二次函數(shù)型”的函數(shù)，我們都可以利用配方法對(duì)其最值進(jìn)行求解.

例1 求在區(qū)間內(nèi)的最值.

分析 本題看上去較為復(fù)雜，包括不同類型指數(shù)的運(yùn)算，但稍加觀察的話，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，此中的函數(shù)是可以轉(zhuǎn)化為“一元二次型的函數(shù)”，再之后，答案也就呼之欲出了：

又，有，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為；當(dāng)時(shí)，.

二、判別式法

對(duì)于一元二次方程，我們可以利用來判斷其是否存在實(shí)根，那么對(duì)于一個(gè)一元二次函數(shù)，若其值域不為空集的話，那么我們就可以認(rèn)為方程的判別式，由此求得原一元二次函數(shù)的值域，進(jìn)而就可以求得該一元二次函數(shù)在某定義域內(nèi)的最值情況.

例2 求函數(shù)的最值.

分析 本題可以利用配方法進(jìn)行求解，但過程較為繁瑣.觀察原題，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的值域不會(huì)為空集，因此可以考慮到利用判別式法進(jìn)行求解.解法如下：

原等式可化為：

（）

可以得到

若，則有；若，則有.

于是，則；若，則.

這邊需要注意的一點(diǎn)是，我們不能隨意的斷定等號(hào)是否會(huì)成立，還需要進(jìn)行一項(xiàng)后續(xù)工作，將等號(hào)的值代入原方程，觀察原方程是否有實(shí)數(shù)解，即是否有相應(yīng)的值與對(duì)應(yīng).若存在，我們就可以直接確定最值了.

三、換元法

對(duì)于一些特殊的函數(shù)，我們可以利用換元法對(duì)其進(jìn)行最值求解，基本思想是將某一部分當(dāng)做一個(gè)整體或者用一個(gè)新的變量來代替某一整體，達(dá)到化繁為簡，化陌生為熟悉，從而幫助我們更加便利的解決問題.換元法通常有三角代換和三角代換兩種.

例3 求函數(shù)的最值.

分析 對(duì)于這類含根號(hào)的函數(shù)，為了化繁為簡，換元法是比較大眾的方法.求解如下：

由于，則所隱含的定義域?yàn)?，于是，我們可以令?/p>

則

又，則，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值為

四、不等式法

不等式法求解最值問題主要是利用以下幾個(gè)重要的不等式及其變形來處理最值問題的.

不等式：（），其中

調(diào)和平均數(shù)： ② 幾何平均數(shù)：

③算術(shù)平均數(shù)： ④平方平均數(shù)（均方根）：

注意：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

在用不等式求函數(shù)的最值時(shí)，經(jīng)常需要配合某些變形技巧，結(jié)合已知條件進(jìn)而進(jìn)行求解.

例4 設(shè)，，記中最大數(shù)為，則的最小值為多少？

分析 本題的計(jì)算涉及到對(duì)數(shù)，準(zhǔn)確應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)其中的技巧.

由已知條件可得所求為中最大的數(shù)，不妨設(shè)中最大的數(shù)為A，則.由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為最小，那么A能否取到最小值2呢？容易知道，當(dāng)時(shí)，，即A可以取得最小值2，從而的最小值為.

五、單調(diào)性法

求解函數(shù)在指定區(qū)間的最值的時(shí)候，我們應(yīng)該考查該函數(shù)在該指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性情況.如果函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該函數(shù)的最值在區(qū)間的端點(diǎn)上取得.若函數(shù)在該區(qū)間上并不是單調(diào)的，則我們就可以考慮把該區(qū)間分割成若干個(gè)小的區(qū)間，目的是使得該函數(shù)在分割的每一個(gè)小區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個(gè)小區(qū)間上的最值情況，通過比較，得到整個(gè)區(qū)間上的最值.

例5 設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)于任意均有關(guān)系，若時(shí)，且.求在上的最大值和最小值.

分析 本題若能確定在上的單調(diào)性，其最值也就可以相繼求得.下面來考察在上的單調(diào)性：

設(shè)任意且，則.由題設(shè)可知，為奇函數(shù)，且，，則，

則在上單調(diào)遞減，即在兩端點(diǎn)處取得最值.

因?yàn)?，則，進(jìn)而.

又故在上的最大值為，最小值為

六、導(dǎo)數(shù)法

對(duì)于基本初等函數(shù)以及某些復(fù)合函數(shù)，我們可以利用導(dǎo)數(shù)這一工具有效的對(duì)其進(jìn)行最值求解.設(shè)在上是連續(xù)，在上是可導(dǎo)，則在上的最大值和最小值就是在內(nèi)的每個(gè)極值與中的最大值與最小值.利用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行最值的求解適用性廣，在解題的時(shí)候應(yīng)該優(yōu)先考慮.

例6 求數(shù)列的最大項(xiàng).

分析 結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，就可以較為簡便的求出該數(shù)列的最大項(xiàng).

設(shè)，則令，得，，又，可知，數(shù)列的最大項(xiàng)是第10000項(xiàng)，值為.

七、構(gòu)造方差法

由于方差恒大于或者等于0的特征，我們也可以利用方差解決某些的最值問題.

例7 確定最大的實(shí)數(shù)Z，使得實(shí)數(shù)滿足：

，.

分析 按照常規(guī)的思路，本題不容易攻克，可以巧妙的構(gòu)造方差進(jìn)行最值的求解.

由題設(shè)，知，

，構(gòu)造的方差得，

所以，解得，故Z的最大值是.

八、三角函數(shù)最值的常見求法

1.巧用定義域

求解三角函數(shù)的最值問題，在大多數(shù)的題目中，我們必須清楚該函數(shù)的定義域，這是解決題目的基礎(chǔ)和重要前提.

例8 已知，求得最大值和最小值.

分析 此類三角函數(shù)可以視作為

或的形式，求解其最值的過程中，根據(jù)已知條件中X的范圍，我們就可以求解出的最值.在本題中：原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

又因?yàn)?，可求得：，進(jìn)一步即可以求得，則可以得到函數(shù)的最大值為2，最小值為.

2.巧用已知條件

大多數(shù)的數(shù)學(xué)題型中，題干中所給出的條件都有其特殊的作用和功能，所以，在解題的過程中，我們不能忽視任意一個(gè)條件.

例9 已知，求的最小值.

分析 本題的題目比較單一，已知條件顯而易見的就一個(gè)，我們要做的是如何正確的去用好這個(gè)已知條件.當(dāng)然，我們也不能盲目地瞎猜，根據(jù)題目要我們求的東西去巧妙地利用好這個(gè)已知條件.

根據(jù)題設(shè)，我們可以得到

現(xiàn)在，我們只需要確定的取值范圍即可求解出原代數(shù)式的最小值.又，即所以可求得，故當(dāng)時(shí)，原式有最小值為

3.巧用換元法

對(duì)于一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)，為了求解的方便，我們可以去尋找題干的特點(diǎn)，化繁為簡，換元法一般是首選.

例10 已知，求的最大值和最小值.

分析 對(duì)于三角函數(shù)，我們應(yīng)該清楚，其存在著這么一種轉(zhuǎn)化關(guān)系：

此中就啟發(fā)我們可以運(yùn)用換元法快捷簡便地解決相應(yīng)三角函數(shù)的最值問題.

本題中，我們可以設(shè)

則.

又，

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

4.巧引輔助角

三角函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，自然也有其獨(dú)門的“法寶”——輔助角公式，能否巧妙地運(yùn)用輔助角公式也是能否成功解題的關(guān)鍵.

例11 求函數(shù)的最值.

分析 直觀地來看，這是一個(gè)分式代數(shù)式，分子、分母中均含有三角函數(shù)，這無疑給解題增添不少難度，但如果我們對(duì)其做一個(gè)稍微的變形，情況可能就不一樣了：

原函數(shù)可變?yōu)椋?，觀察這個(gè)等式的特點(diǎn)，聯(lián)想到輔助角公式，就可以得到：

（為輔助角）

即：

由得到：，

兩邊平方并整理，得：，

解得：，所以.